Файл: Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей.pdf

то его момент инерции остается постоянным, его можно вынести

времени, называется угловым ускорением е:

du)

8 = “5 Г ‘

Тогда закон динамики для вращательного движения (4.16) можно будет записать в виде

Словами он формулируется следующим образом: произведение момента инерции на угловое ускорение тела равно моменту внеш­ них сил, действующих на это тело.

К закону (4.18) можно принта и опытным путем, с помощью так называе­ мого крестообразного маятника, или маятника Обербека, изображенного на ри­ сунке 26.

На крестовине симметрично располагаются грузы с одинаковыми массами. К концу нити, намотанной на шкив, могут прикрепляться грузы, различные по массе. Шкивов может быть не один, а не­ сколько различных радиусов. Сила натяжения инти создает момент, действующий на кре­

стовину с грузами.

Важно отметить, что при опускании груза на нити крестовина приходит в ускоренное вращение: угловая скорость возрастает со временем, крестовина вращается все быстрее и быстрее. Это имеет место при постоянном моменте силы. Момент силы сообщает телу (крестовине) угловое ускорение, т. е. изме­ няет его угловую скорость, совершенно ана­ логично тому, как при поступательном дви­ жении сила сообщает телу ускорение, т. е. изменяет его скорость.

О величине углового ускорения можно су­ дить по времени опускания груза: оно тем меньше, чем больше угловое ускорение. Ме­ няя массу опускающегося груза и радиус шкива, можно ’установить, что угловое уско­ рение тем больше, чем больше момент силы. При одном и том же моменте силы и при од­ ной и той же массе вращающегося тела уг­ ловое ускорение зависит от распределения массы вращающегося тела относительно осп

ПО

вращения: чем дальше грузы от оси вращения, тем меньше угловое ускорение. Можно сказать, что в этом случае инерция тела по отношению к вращению больше, хотя масса тела остается неизменной. Это значит, что во вращатель­ ном движении масса уже не является мерой инертности. Мерой инертности при вращательном движении служит момент инерции. Чем дальше данная масса расположена от оси вращения, тем больше ее момент инерции. В положении б, показанном па рисунке 26, момент инерции грузов больше, чем в положении а, когда грузы расположены ближе к оси вращения. Как видно из определения (4.14), момент инерции данного тела зависит от положения оси вращения; мо­ менты инерции тела относительно различных осей, вообще говоря, различны. В справочниках приводятся моменты инерции тел различной формы относи­ тельно осей, проходящих через центры масс' этих тел. Для вычисления момента инерции относительно произвольной оси вращения удобно пользоваться соот­ ношением, составляющим содержание так называемой теоремы Штейнера, пли теоремы Гюйгенса: момент инерции тела относительно произвольной оси равен моменту инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно данной оси, сложенному с произведением массы тела на квад­ рат расстояния между осями.

Целью приведенного здесь рассмотрения было показать, что динамика вращательного движения является результатом приме­ нения законов Ньютона к элементам вращающегося тела.

Из изложенного видно, что формулы динамики вращательного движения аналогичны соответствующим формулам динамики по­ ступательного движения. Оказывается, эта аналогия простирается довольно далеко, и формулы механики вращательного движения можно получить из механики поступательного движения, учтя следующее соответствие между физическими величинами; линей­ ному перемещению соответствует угловое перемещение, т. е. угол поворота, линейной скорости — угловая.скорость, линейному ус­ корению — угловое ускорение, массе — момент инерции, силе — момент силы, импульсу — момент импульса.

Воспользовавшись этой аналогией, можно без вывода получить верные формулы, например, для работы и мощности при враще­

Мощность при вращении равна произведению момента силы на угловую скорость вращения:

М=Мсо. (4.20)

Кинетическая энергия вращающегося тела равна половине про­ изведения момента инерции тела на квадрат угловой скорости вращения:

Идя таким путем, по аналогии можно построить механику вра­ щательного движения.

Ill

Эта аналогия выявляется и при анализе физического содержа­

Это значит, что если на тело не действуют внешние силы или действуют, но так, что векторная сумма их моментов равна нулю, то момент импульса тела остается постоянным по величине и на­ правлению (сохраняется). Это частный случай закона сохране­ ния момента импульса применительно к одному телу. Вот некото­ рые примеры его проявления.

Если при AI = 0 момент инерции тела при вращении изменя­ ется, то угловая скорость вращения тоже изменяется, причем так, что момент импульса тела остается постоянным:

Лещ= /г(02-

При уменьшении момента инерции угловая скорость увеличи­ вается, при увеличении момента инерции угловая скорость вра­ щения убывает. Этим пользуются балерины н фигуристы на конь­ ках: складывая руки на груди и сводя ноги, они уменьшают свой момент инерции; вследствие этого их угловая скорость вращения увеличивается. Наоборот, для быстрой остановки вращения они разводят руки и ноги в стороны, увеличивая тем самым свой мо­ мент инерции; угловая скорость при этом уменьшается, и погасить ее совсем уже не так трудно.

Если при М = 0 момент инерции тела остается постоянным, то из сохранения момента импульса вытекает сохранение вектора узловой скорости:

о —const при М = 0 и / = CQJISt.

При равенстве нулю момента внешних сил тело сохраняет ве­ личину и направление угловой скорости: оно или покоится, или равномерно вращается. Это есть выражение принципа инерции для вращательного движения, который можно сформулировать аналогично принципу инерции для поступательного движения: тело сохраняет состояние покоя или равномерного вращения до тех пор, пока момент внешних сил не изменит этого его состоя­ ния.

Важно отметить, что подобно тому как равномерное прямоли­ нейное движение не требует внешней силы для своего поддержа­ ния, так и для равномерного вращения (со = const) не требуется внешнего воздействия. Внешнее воздействие (сила в одном случае, момент силы — в другом) лишь изменяет скорость движения, со­ общая линейное ускорение в первом случае и угловое ускорение — во втором.

Иллюстрацией чрезвычайной распространенности вращатель­ ного движения во Вселенной является вращение нашей Земли,

112

V

Это значит, что если на систему тел не действуют внешние силы или, в общем случае, если результирующий момент внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то момент импульса системы тел остается постоянным (сохраняется). Это утверждение назы­ вается законом сохранения момента импульса системы тел.

Следует иметь в виду, что условие справедливости закона со-

чтобы на нее вообще не действовали внешние силы. Внешние силы могут действовать, нужно только, чтобы их моменты в сумме дали нуль.

Профессор Н. Е. Жуковский предложил наглядные демонстрации этого закона, они вошли в физику как «опыты на скамье Жуковского». Вот некото­ рые из них.

1. Учащийся пли преподаватель садится на скамью Жуковского, т. е. на стул (или табуретку), который может вращаться вокруг вертикальной оси благодаря подшипнику, берет в руки гири и сводит руки на груди. Затем дру­

практически равномерно, если трение в подшипнике и сопротивление воздуха (внешние воздействия) достаточно малы. Затем сидящий разводит руки в стороны. Вследствие этого скорость вращения уменьшается. Сближение же рук приводит к увеличению скорости вращения. И объяснить это очень просто, ис­ ходя из закона сохранения момента импульса.

Поскольку внешние силы не принимаются во внимание, то можно счи­ тать, что их момент равен нулю, а в таком случае должен сохраняться момент импульса вращающегося человека при разведении и сведении рук:

^2С02=Л<Т>1.

Так как при разведении рук момент инерции возрастает, а при их сближе­ нии уменьшается, то написанное соотношение объясняет, почему в первом случае скорость вращения уменьшается, а во втором — увеличивается. Этим широко пользуются артисты балета, фигуристы на коньках и спортсмены в упражнениях на перекладине, сальто и др.

2. Человек берет в руки за ось велосипедное колесо и садится с ним на неподвижную скамью Жуковского. Затем он располагает ось колеса вертикально и приводит его во вращение. При этом сам человек со скамьей приобретает

-э

ствия на колесо он равен нулю: /|Ші + /2 Ш2 = 0, так как <ві = ша=0. После воздействия на колесо в результате внутреннего взаимодействия по-прежнему должно быть:

/іО)/1-(-/2(0/2:= 0.

114