Файл: Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей.pdf

мулы для потенциальной энергии. Потенциальную энергию нужно вычислять для каждого вида сил взаимодействия (тяготение, силы упругости, силы Ван-дер-Ваальса в реальных газах, электроста­ тические силы и т. д.).

Рассмотрим подробнее потенциальную энергию тел в поле тяготения.

§ 5. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ

Рассмотрим систему, состоящую из двух однородных шаров или материальных точек. Пусть центры шаров находятся на рас­ стоянии г друг от друга и взаимно притягиваются друг к другу по закону Ньютона. Вычислим потенциальную энергию U этой системы. Для наглядности под одним телом можно подразумевать Землю, под другим — камень или системы: «Земля — спутник», «Солнце — планета» и т. д.

Для вычисления U согласно определению нужно вычислить работу силы тяготения по удалению двух теЛ на бесконечно боль­ шое расстояние друг от друга. Поскольку важно взаимное, т. е. относительное, удаление двух тел, то одно из них можно считать неподвижным, а-перемещающимся — другое тело. Вычисление по­ тенциальной энергии системы сводится к вычислению работы силы тяготения, действующей на одно из тел при его перемещении из данного места в бесконечность в поле ^другого тела. Поскольку сила тяготения различна в разных точках, то для вычисления ра­ боты ее на всем перемещении нужно просуммировать, т. е. про­ интегрировать, работы на элементарных, бесконечно малых пере­ мещениях, которые можно считать прямолинейными даже в слу­ чае криволинейное™ действительного перемещения. Рассмотрим общий случай: перемещение одного из тел в бесконечность про­ исходит по произвольной криволинейной траектории.

Рисунок 27 поясняет заме­ ну dl cos а na (—dr). Если че­

130

рез начальную и конечную точки элементарного перемещения dl провести окружности, то dl cos а = —dl cos ß = —dr\ изменение расстояния dr между телами при элементарном перемещении поло­ жительно; а dl cos а отрицательно, так как угол а тупой при уда­ лении тел друг от друга.

В процессе получения окончательной формулы (5.6) мы полу­ чили важный результат: форма пути перемещения никак не влияет на вид окончательной формулы. Это значит, что работа силы тяготения не зависит от формы пути. Силы, обладающие таким свойством, называются потенциальными, а системы, в которых действуют только такие силы, называются консервативными. По­ тенциальными являются все так называемые центральные силы, т. е. силы, зависящие только от расстояний между телами и на­ правленные по прямой, проходящей через центры взаимодействую­ щих тел. Сила тяготения — одна из центральных сил. Не все силы являются центральными. Например, сила магнитного взаимодей­ ствия токов таковой не является, сила трения — тоже. Причина этого в том, что эти силы зависят не только от расстояния между телами, но и от скоростей взаимодействующих тел.

Собственно, центральный характер силы тяготения и обусловливает'возможность введения потенциальной энергии как опреде­ ленной величины. Если бы работа силы тяготения зависела от фор­ мы пути перемещения, то она не могла бы служить мерой потен­ циальной энергии системы в данном ее состоянии.

Знание потенциальной энергии как функции состояния позво­ ляет просто вычислять работу силы тяготения, обходясь без ин­ тегрирования. Работу Аі, 2 силы тяготения по перемещению массы из одного положения в другое можно представить как сумму (ал­ гебраическую) двух работ: работы перемещения из первого поло­

приращению потенциальной энергии системы при этом перемеще­ нии. Это отнюдь не означает, что работа всегда отрицательна, про­ сто в математике под приращением функции понимают разность значений этой функции в конечном и начальном состоянии, а не наоборот. Само же «приращение» AU может быть как положи­ тельным, так и отрицательным.

Как видим из (5.6), потенциальная энергия двух тяготеющих тел отрицательна, как и должно быть согласно общему положению,

поверхности Земли, отрицательна. В школьном курсе физики она считается равной нулю.

Причина этого в том, что в курсе физики средней школы по­ тенциальная энергия отсчитывается от другого начального уровня, а именно от потенциальной энергии на поверхности Земли. По­ этому в средней школе за нуль принимается потенциальная энер­ гия на поверхности Земли, а не в бесконечности. При небольших (по сравнению с радиусом Земли) удалениях от поверхности Земли упрощенная формула дает практически тот же результат, что п более строгая формула (5.6). Для доказательства этого вы­ числим. пользуясь (5.6) и (5.6'), разность потенциальных энергий

Здесь учтено, что \M/R2 — go — ускорение силы тяготения к Земле на ее поверхности, и, кроме того, что R + к » R при к <g; R. Таким образом, применяемая в школьном курсе формула U = niogoh ■— это разность потенциальных энергий тела на высоте к и на земной поверхности, она справедлива для высот, во много раз меньших радиуса Земли (h<^R). Поскольку обычно интересуются работой силы тяготения, а она равна разности потенциальных энергий в начальной и конечной точках, то при малых высотах к упрощенная формула дает удовлетворительные результаты. .

Прежде чем применять полученные результаты к движению естественных и искусственных космических тел, рассмотрим еще один общий вопрос, имеющий важное значение для многих разде­ лов физики. Речь идет о так называемой потенциальной яме. Рас­ смотрение этого общего вопроса облегчит учащимся понимание физической стороны вопроса о запуске искусственных космиче­ ских тел.

§ 6. ПОНЯТИЕ О ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ

Отрицательный знак потенциальной энергии имеет большой физический смысл. Для определенности будем говорить о потен­ циальной энергии, обусловленной силами тяготения. Но рассуж­ дения будут справедливы для любой отрицательной потенциаль­ ной энергии, обусловленной любыми силами притяжения: тяго-

t32

Отрицательный знак потенциальной энергии системы тяготею­ щих тел сам по себе означает, что сила взаимодействия (тяготе­ ния) мешает взаимному удалению тел, является силой сопротив­ ления по отношению к их взаимному удалению. Работа ее в таких условиях отрицательна. Максимальное значение потенциальной энергии тяготения согласно (5.6) равно нулю, и это соответствует телам, удаленным на бесконечно большое расстояние друг от дру­ га, когда они уже не тяготеют друг к другу.

Наглядно эту ситуацию можно описать следующим образом. Тело, лежащее на поверхности Земли, находится в энергетической, пли потенциальной, яме. Понятие ямы как некоего углубления привлекается здесь только для наглядности и потому, что если представлять потенциальную энергию тела относительно Земли на разных расстояниях в виде уровней (горизонтальных линий), то папвысший уровень соответствует потенциальной энергии, равной нулю (г = оо), а уровни, соответствующие конечным г, будут располагаться под нулевым уровнем, и тем глубже под ним, чем ближе тело к поверхности Земли. Вопрос о том, что будет, если тело будет опускаться под поверхность Земли, мы рассмотрим далее отдельно. Про тела, лежащие на поверхности Земли, можно сказать, что они находятся на дне потенциальной ямы. Ебли тело неподвижно на поверхности Земли, то для перевода его на более высокий уровень потенциальной энергии ему нужно сообщить извне кинетическую энергию, равную разности уровней потенци­ альной энергии. Наконец, если телу сообщить кинетическую энер­ гию, равную глубине потенциальной ямы, то тело «выберется» из ямы и уйдет от Земли бесконечно далеко. Скорость тела, при кото­ рой его кинетическая энергия равна глубине потенциальной ямы, в случае поля тяготения называется второй космической скоростью, или скоростью Освобождения (от тяготения), или параболической скоростью. Смысл последнего названия станет понятным из даль­ нейшего.

Глубина потенциальной ямы, как видим, характеризует энер­ гию связи тела или. частицы в системе. Для освобождения тела (или частицы) от его принадлежности к системе ему нужно сооб­ щить извне энергию, совершить над ним внешнюю работу осво­ бождения. Эту необходимую работу называют по-разному для различных систем связанных частиц: в случае электронов прово­ димости металлов — работой выхода из металла, в случае удале­ ния электрона из атома — работой ионизации атома, в случае отрыва одной частицы молекулы от другой — работой диссоциа­ ции молекулы (например, диссоциация молекул электролитов на ионы). В случае выхода молекулы жидкости за пределы ее сво­ бодной поверхности говорят о работе испарения (или теплоте ис­ парения); при выходе же нуклона (протона или нейтрона) из ядра

133