Файл: Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей.pdf

говорят об энергии связи ядра, приходящейся на один нуклон (или удельной энергии связи). 1

Некоторые из этих вопросов будут подробнее рассмотрены в соответствующих местах книги, а сейчас разберем один из них.

§ 7. ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ

Материал этого параграфа является теоретическим введением к вопросу о движении искусственных спутников Земли и других космических тел, который будет рассмотрен на его основе.

Пусть имеется система, состоящая только из двух тел, тяго­ теющих, как иногда говорят, гравитирующих по закону Ньютона. Требуется найти, как движется каждое тело. Эта задача назы­ вается «задачей двух тел» в теории тяготения или задачей Кеп­ лера. Совершенно так же решается и задача о движении каждого из разноименных электрических зарядов, притягивающихся друг к другу по закону Кулона, например электрона и ядра водородо­ подобного нона, состоящего из ядра и одного электрона. В современной физике обе эти задачи рассматриваются как частные случаи одной и той же задачи — задачи Кеплера, которая форму­ лируется так: найти движения двух тел, взаимно притягивающихся по закону «обратных квадратов». Сила притяжения здесь обратно пропорциональна квадрату расстояния между телами.

Мы будем иметь в виду в основном гравитационную задачу Кеплера. Она упрощается, если одна из масс во много раз меньше другой. Но этот случай как раз и важен для «космических» задач о движении искусственных и естественных спутников Земли, Солн­ ца и других «центров тяготения». В этом случае можно говорить, что движется меньшая масса относительно «неподвижной» боль­ шой массы, которая поэтому и называется центром тяготения.. Строго говоря, оба тела движутся относительно нх общего центра масс, но даже в случае такого «большого» спутника Земли, как Луна, их общий центр масс лежит внутри Земли, и практически существенным оказывается движение именно спутника — Луны, т. е. задача формулируется следующим образом: найти движение тела (материальной точки) относительно «центра тяготения» (т. е. относительно другой материальной точки).

Решение этой задачи приводит к следующему результату: тра­ екторией движения может быть одно из конических сечений: эл­ липс, парабола или гипербола. По какой именно из этих трех кри­ вых будет двигаться тело, зависит от знака полной энергии, т. е. суммы кинетической и потенциальной энергий: Лк + U. Полная энергия сохраняется, так как сила тяготения потенциальна, а си­ стема из двух рассматриваемых тел консервативна. Прежде чем решать задачу Кеплера, сделаем отступление в область аналити­ ческой геометрии и напомним основные сведения о конических сечениях.

Общее название трех кривых (конические сечения) обуслов­ лено тем, что они могут быть получены сечением поверхности круг-

134

и частиц в макро- и микрокосмосе (планеты и электроны атомов). Точ­

ка О — центр эллипса, точки А, В, С, D — его вершины, Fі и F2— фокусы (рис. 29). У эллипса и гиперболы имеется по два фокуса, у параболы — один. Эллипс может быть определен как геометри­ ческое место точек, сумма расстояний которых от двух данных точек F1 и F2 постоянна. Если М — произвольная точка эллипса, то для нее

МЕ1+ М /72=2а,

тде 2а — длина большой оси эллипса (ОА = а — большая полуось эллипса). Расстояние между фокусами F\F2 — 2с на­ зывается фокусным расстояни­ ем. Отрезок BD — 2b и его по­ ловина OB — b — это соответ­ ственно малая ось и малая по­ луось эллипса.

Отношение фокусного рас­ стояния к длине большой оси называется эксцентриситетом ж эллипса:

135

Так как

с= у'а? — Ь‘\

то эксцентриситет может быть выражен через полуоси эллипса:

Как видим, эксцентриситет эллипса меньше единицы (е < 1), причем, чем меньше отношение Ь/а, т. е. чем сильнее «сплюснут» эллипс, тем больше его эксцентриситет, тем дальше друг от друга отстоят его фокусы. Это обстоятельство поясняет смысл слова «эксцентриситет», в переводе означающее «внецентренность», рас­ хождение центров (фокусов). Понятие же «фокус» эллипса имеет «оптический» смысл, о чем полезно сообщить учащимся. Слово «фокус» в переводе с латинского означает «очаг». Эллипс обла­ дает геометрическим свойством, которое может быть использовано в оптике: фокальные радиус-векторы MFі и MF2 любой точки эл­ липса М образуют равные углы а с нормалью (т. е. перпендикуля­ ром к касательной) к эллипсу в этой точке (М). А это можно истол­ ковать как оптический закон отражения: угол отражения равен углу падения. И если отражающую поверхность (зеркало) сделать эллиптической и в одном из ее фокусов поместить источник света, то лучи, отраженные от зеркала, пересекутся в другом фокусе п могут поджечь легковоспламеняющееся вещество, помещенное в нем.

Максимальное значение эксцентриситета эллипса равно еди­ нице: оно соответствует значениям 6 = 0, а — оо. В этом частном случае эллипс предельно сплюснут, как говорят, «вырожден», он превращен в прямую линию.

Другой предельный случай эллипса — его «вырождение» в

.окружность, когда малая полуось равна большой (6 = а) и экс­ центриситет обращается в нуль (е = 0).

Наконец, еще одной величиной, характеризующей эллипс, яв­ ляется так называемый параметр р: половина длины хорды, про­ ходящей через фокус и перпендикулярной большой оси.

При теоретическом анализе вопросов, связанных с движением по эллиптическим орбитам, важную роль играет уравнение эллип­ са, т. е. соотношение между координатами любой точки эллипса. Приведем его в декартовой и полярной системах координат.

Поместим начало О декартовой системы координат в центре эллипса, а взаимно перпендикулярные оси ее направим вдоль осей эллипса: ось абсцисс (ОХ) — вдоль большой, ось ординат (ОУ) — вдоль малой оси. Тогда между координатами х н у любой

136

точки N эллипса в этой системе координат существует соотноше­ ние:

+ 1 1 = 1 а2^ й2

где а и b — соответственно большая и малая полуоси эллипса. Это соотношение называется каноническим уравнением эллипса.

Однако в случае движения относительно центра тяготения удоб­ нее ввести не декартову, а полярную систему координат. Полюс этой системы координат поместим в одном из фокусов эллипса (например, F\ на рисунке 29). Далее из полюса проводим полу­ прямую, т. е. луч F \ X , — полярную ось. Положение любой точки эллипса может быть охарактеризовано двумя величинами: рас­ стоянием г точки от полюса (полярный радиус) и углом ср между полярным радиусом и полярной осью — полярным углом. Это по­ лярные координаты. Угол ср отсчитывается от полярной оси и мо­ жет иметь любые значения между 0 и 2я рад.

Уравнение конического сечения в полярной системе координат, т. е. соотношение между полярными координатами г и ср любой точки эллипса, имеет вид:

где р — параметр эллипса, е — его эксцентриситет.

Уравнение (5.8) справедливо для любого конического сечения, причем конкретный вид кривой определяется только величиной эксцентриситета е: при е С 1 — эллипс, при е = 1 —■парабола, при е > 1 — гипербола.

Теперь вернемся к кеплеровой задаче.

Задача о движении в поле тяготения формулируется следующим образом. Найти траекторию движения материальной точки с мас­ сой т относительно другой материальной точки с массой М, во много раз большей массы т и являющейся «центром тяготения». Задачу можно решить, если воспользоваться законами сохранения

энергии Е и момента импульса L, имеющими место в данном слу­ чае. Полная механическая энергия — сумма кинетической и потен­ циальной энергии — сохраняется, так как сила тяготения потен­ циальна; момент импульса сохраняется потому, что сила тяготе­ ния — центральная сила и ее момент относительно центра тяго­ тения равен нулю. Момент силы согласно основному закону вра­ щательного движения равен и з м е н е н и ю момента импульса тела. Так как момент силы тяготения равен нулю, то момент им­ пульса движущегося тела будет оставаться постоянным. Отсюда вытекают следующие два вывода.

Во-первых, сохранение момента импульса означает неизмен-

ность направления вектора L в пространстве. Это-будет иметь

137

место только тогда, когда траектория лежит в плоскости, проходя­ щей через центр тяготения. Этот вывод непосредственно следует из определения момента импульса точки, движущейся относитель­ но «неподвижного» центра тяготения:

L = r\/nv,

L = mvr sin а — rnv ■h — mv4r,

где г — полярный радиус-вектор точки с массой т относительно

центра тяготения, ѵ — скорость этой точки, /г — плечо импульса,

v(f — азимутальная проекция скорости (см. рис. 21 и 31).

>

Вектор L, как видим, перпендикулярен плоскости, в которой

лежат векторы г и тѵ. Эта плоскость проходит через центр тяго­ тения.

Неизменность направления вектора L означает неизменность

положения плоскости (г, ѵ) в пространстве. Это значит, что вектор

скорости тела ѵ лежит все время в одной плоскости, т. е. что движение в поле тяготения одного тела является плоским движе­ нием.

Это проявляется в движении искусственных спутников Земли следующим образом.

Плоскость орбиты спутника неизменна в пространстве относи­ тельно «неподвижных» звезд, а Земля вследствие суточного вра­ щения поворачивается относительно плоскости орбиты спутника, пересекая ее разными своими участками, как бы «навивая» орбиту на себя.

Второй вывод из закона сохранения момента импульса состоит в том, что из постоянства модуля момента импульса вытекает вто­ рой закон Кеплера. Докажем это.

Рассмотрим бесконечно малое перемещение точки т по ее ор­ бите: за бесконечно малый промежуток времени dt она пройдет по орбите дугу dl,

138