Файл: Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 223
Скачиваний: 1
Рассмотрим выражение г dl sin а. Докажем, что оно равно удво-
енной площади сектора, описанного радиус-вектором г за промежу ток времени dt. В АОАВ угол А вследствие малости угла d<p мож но считать равным углу а (как соответственные при «параллель ных» прямых OB и ОА). Тогда величина dl sin а в АОАВ будет означать высоту этого треугольника, а основание ОА можно поло жить равным г ввиду малости dcp. Площадь треугольника dS опре деляется так:
d S= -— r d h = ~ - r d l sin а.
Отсюда
|
|
г dl sin а —2 dS. |
|
|
|||
Подставив это выражение в |
(5.9), получим: |
|
|||||
|
|
L = 2tn |
dS |
dS = |
1, |
(5.10) |
|
|
|
|
dt |
’ |
dt |
2m |
|
Поскольку |
L = const, |
то |
из |
(5.10) следует, |
что и |
||
|
|
|
dS |
--const. |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
Величина |
dS_ |
представляет . собой площадь, |
ометаемую радиус- |
||||
dt |
|||||||
вектором движущейся точки в единицу времени. Она называется векториальной скоростью. Таким образом, приходим к выводу, что при движении в поле тяготения секториальная скорость тела остается постоянной. Это и есть второй закон Кеплера, пли закон площадей. Из вывода этого закона следует, что он справедлив не только для движения планет солнечной системы, но и для всякого движения в поле центральной силы. Так, второй закон Кеплера выполняется для движения по параболическим и гиперболическим орбитам в поле тяготения, т. е. для всех космических объектов, ко торые можно считать тяготеющими к одному центру, для электрона в поле атомного ядра, для рассеяния а-частиц на атомном ядре.
Двух законов сохранения — энергии и момента импульса — оказывается вполне достаточно для исчерпывающего решения кеплеровой задачи.
Запишем выражение для полной энергии Е частицы в функции полярных координат и их производных по времени, т. е. соответ ствующих скоростей:
Е |
mvz |
(5.11) |
|
~2~ f £/('). |
|||
|
139
|
Скорость точки |
равна: |
|||
|
|
|
dl |
я |
( dl V |
|
|
|
dt ’ |
ri2- |
Ш - |
|
где dl — элементарный путь. Ему |
||||
|
соответствует изменение расстоя |
||||
|
ния точки от полюса на величину |
||||
|
dr |
и |
изменение полярного угла |
||
|
на |
с/ср |
(рис. 31), причем по тео |
||
|
реме |
Пифагора |
|
|
|
|
|
|
d/2=(rfr)2+(r.d<p)2. |
||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
~ ( і п - ) г+ ' гШ |
= |
ѵ'г + ^ |
|
(5. 12) |
|
|
|
|||
причем |
dm |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.13) |
|
|
° * = r ’-är=™> |
|
|||
|
|
|
|||
где |
dm |
|
|
|
|
— угловая скорость точки. |
|
|
|||
Соотношение (5.12) выражает разложение любого криволиней ного движения на два «составляющих» движения: на радиальное
(вдоль радиус-вектора) и азимутальное (по |
дуге окружности). |
|
Чисто азимутальным движением |
является, |
очевидно, движение |
по окружности, и формула (5.13) |
выражает соотношение меж |
|
ду линейной Уф и угловой со скоростью при таком движении. Чи сто радиальным является движение по прямой, проходящей через полюс.
Выразим другую сохраняющуюся величину —■момент импульса
движущегося тела — через угловую |
скорость |
(см. рис. 31): |
|||
|
|
|
|
dl |
|
L = mvr sin a— inr sin a ■ dt |
|
||||
d l sin a |
|
rdm |
dq> |
|
|
= mr- dt - |
r _ |
T |
: m r dt |
(5.14) |
|
-mr |
|
dt |
|||
Это соотношение является частным случаем более общего: момент импульса равен произведению момента инерции (для материаль
ной точки он равен тг2) на угловую |
скорость (см. формулу 4.15). |
|
Из (5.14) выразим a = |
dcp |
|
через L : |
||
L |
о |
U- |
Подставим это соотношение в выражение (5.11) для энергии Е:
|
U (г) |
= - Y ( v rz + rW ) + U [r) . = |
||
т |
L2 |
U (,') = т ( 4 г ) |
(5.15) |
|
~2 |
2пи1 |
|||
+ г/эф(Л)’ |
||||
где |
|
|
|
|
|
U*{r) = U ( r ) + ^ . |
,(5.16) |
||
Это так называемая эффективная потенциальная энергия. Найдем
- § ■ “ < 5 Л 5 > : ___________
- ^ = У |
| ( £ - а д . |
(Ы7) |
|
Отсюда |
|
|
|
dt= — |
dr |
■— . |
(5.18) |
] / 2 і |
(я - а д |
|
|
Далее, соотношение (5.14') можно записать так: |
|
||
|
L |
|
(5.14") |
скр— тг2dt. |
|
||
Подставив в (5.14") выражение |
для dt |
из (5.18), |
получим: |
G?cp ==—-• |
dr |
|
(5.19) |
|
|
||
т
г2У ± ( Е - и эф(г))
откуда
Ф= / л р = і / . |
dr |
(5.20) |
|
r2]/2m(£ — ІІ3ф(г)) |
|||
|
|
||
Формула (5.20) дает в общем случае любого |
центрального |
||
поля сил соотношение между полярными координатами г и ср дви жущейся точки, т. е. представляет собой уравнение траектории в полярной системе координат.
Для получения конкретного вида уравнения траектории нужно |
||
подставить в |
(5.20) выражение для потенциальной энергии |
и Эф(г) |
как функцию |
расстояния г и вычислить интеграл в правой |
части |
этой |
формулы. |
энергии |
U (г) возьмем |
потенциаль |
В |
качестве потенциальной |
|||
ную энергию в ньютоновском поле тяготения: |
|
|||
|
U(r) = - |
Мт |
а_ |
(5.60 |
|
У г |
г |
||
иі
где а = уМт, М — масса центра тяготения, т — масса движу щегося тела.
Такой же вид имеет потенциальная энергия в случае кулонов ского притяжения разноименных электрических зарядов:
|
L, _ |
\ді\ Ы _ |
а' ' |
|
|
4iteosr |
г |
где в системе СИ |
м |
н |
|
4ябое |
|
||
|
|
||
Поэтому ради общности выводов выражение для U возьмем
в виде U— ----— и подставим его в интеграл в правой части (о.20).
Интеграл вычисляется сравнительно легко, и получаем:
|
|
|
|
L |
та |
|
|
|
|
Ф = агс cos |
|
|
(5.21) |
|
где С — постоянная интегрирования, зависящая от выбора напра |
|||||
|
вления полярной |
оси. Выберем ось так, чтобы С — 0. Далее для |
||||
|
удобства введем |
следующие |
обозначения: |
' |
||
|
|
|
|
е= |
2EL2 |
(5.22) |
|
( |
|
|
та2 |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда уравнение |
траектории |
(5.21) |
можно будет |
записать в виде |
|
|
|
|
г |
Р |
|
(5.23) |
|
|
|
І+ е с о э ф |
|||
|
|
|
|
|
||
|
Это есть не что иное, как уравнение конического сечения в поляр |
|||||
|
ных координатах. В общем случае двух тел, взаимодействующих |
|||||
|
по закону (5.6') , каждое из тел движется по коническому сечению, |
|||||
|
причем обе траектории имеют общий фокус в центре масс системы. |
|||||
|
Как говорилось выше, при разных значениях экцентриситета е это |
|||||
|
уравнение определяет различные конические сечения. Так, эллипс |
|||||
|
соответствует |
значению е < |
1, а согласно (5.22) |
это будет иметь |
||
|
место при Е < |
0, т. е. когда |
полная |
механическая энергия движу |
||
|
щегося тела отрицательна. |
|
|
|
||
• |
Таким образом, первый закон Кеплера: «Планеты обращаются |
|||||
|
по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце» — |
|||||
|
является частным случаем полученного решения. |
|
||||
|
Прежде чем |
анализировать эллиптическое решение, покажем, |
||||
,как с помощью графика U3$,(r) можно наглядно выяснить общий характер движения в поле тяготения при различных знаках полной энергии Е.
142
