Файл: Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей.pdf

или

1 эв. = 11 000° К.

Из (7.11) следует, что

кТ

(7.13).

иг ’

а наивероятная скорость согласно (7.9) выражается формулой

(7.14)

Если умножить числитель и знаменатель в (7.14) на число Авоггірдо NA = 6,025 ІО26 l/кмоль, то (7.14) можно будет записать в дру­ гом виде, удобном для практических расчетов:

(7.14')

где R = kNA — 8,31 • ІО3 дж/кмоль • град есть универсальная газо­ вая постоянная, р = /шѴА — масса кнломоля, т. е. число килограм­ мов, равное молекулярному весу.

Подставив числовые данные в (7.14'), найдем, что при комнат­

молекулы чаще всего движутся со скоростью ружейной пули. Кстати, скорость звука в газе равна примерно наивероятной

скорости, так что для молекул летать со сверхзвуковыми скоро­ стями — это обычное явление.

Следует иметь в виду, что сотни метров в секунду — это «нор­ мальная» величина скорости молекулы, и она слабо зависит, как

В таком виде формула удобна для запоминания и практических расчетов. Ее можно еще упростить, если отношение переменной скорости к наивероятной ѵ/ѵв обозначить одной буквой

Величина Q(È) не зависит явно ни от температуры, ни от

232

молекулярного веса газа (эти зависимости скрыты в параметре £). Существуют таблицы и график этой функции. График Q(|) при­ веден на рисунке 64. Он по

ратур и одного п того же вещества приведены на ри­ сунке 65. При большей тем­ пературе наивероятная ско­ рость больше и в то же время вероятность малых скоростей меньше, а боль­ ших скоростей — больше. Это соответствует тому об­ стоятельству, что при нагре­ вании газа его молекулы движутся в общем быстрее.

При большей температу­ ре кривая более «прижата» к оси абсцисс. Это обуслов­ лено тем, что площадь, огра­

ниченная кривой распределения у(о) и осью абсцисс, одинакова для всех кривых для любых температур. Объясняется это следую­ щим. Смысл кривой распределения таков. Согласно (7.5) произве­ дение ординаты кривой д(о), соответствующей выбранной скоро­ сти V, на величину интервала скорости dv дает вероятность того, что скорость молекулы имеет величину между ѵ и ѵЦ-dv. На ри­ сунке 65 эта вероятность представлена заштрихованной областью. Согласно (7.5') заштрихованная часть рисунка дает в то же время долю молекул, скорости которых лежат между в и а ф dv.

Сложив, все заштрихованные области, мы найдем вероятность того, что . молекула имеет какую-нибудь из возможных скоростей. Вероятность этого равна единице, так как это достоверное собы­ тие. Геометрически сумма заштрихованных областей дает площадь, ограниченную кривой распределения и осью абсцисс. Значит, эта площадь равна единице, причем для всех кривых.

Важно отметить, что ординаты кривой распределения непосред­ ственно еще не дают доли молекул, имеющих ту или иную ско­ рость. Как мы только что видели, эта доля равна произведению ординаты кривой на ширину интервала скорости:

233

и от величины интервала скоростей dv. Практически это значит, что д о л я молекул, имеющих скорости, лежащие между 480 и 520 м/сек, в два раза больше, чем доля молекул, скорости кото­ рых лежат между 490 и 510 м/сек.

Для иллюстрации вышеизложенного рассмотрим конкретный пример: найдем процент молекул азота N2 (ц = 28), скорости ко­

торых при комнатной температуре (27° С) лежат между 600 и 610 м/сек.

Чтобы не вычислять каждый раз значений показательной функ­ ции, удобнее для подобных' расчетов пользоваться функцией п(|), график которой представлен на рисунке 64.

Прежде всего вычисляем иаивероятнейшую скорость:

---ѵв •

Ѵ= 1 § - = М З- Д |= ^ |= 0 ,0 2 4 .

После этого применяем формулу (7.8"'):

Дм

- Д - = 0 (I). Д |= 0 ,6 • 0,024 = 0,0144.

Полученный результат отнюдь не означает, что скорости поряд­ ка 600 м/сек соответствует малая доля молекул. Количество таких

то и процент молекул при прочих равных условиях получился бы тоже в 5 раз большим. Отсюда, в частности, следует, что если мы хотим сравнить доли молекул, имеющих различные скорости, на­ пример: 200, 400, 600, 800 м/сек, то во всех случаях следует брать один и тот же интервал скорости.

Рассмотренный пример можно отнести практически и к атмос­ ферному воздуху. Атмосферный воздух представляет собой смесь различных газов. Условно его можйо рассматривать как некий однородный газ с молекулярным весом, равным 28,89 (пример­ но 29).

234

Распределение Максвелла было открыто, как уже говорилось, в 1860 г. Однако сделанные из него выводы были убедительно под­ тверждены на опыте значительно позже — в 1920 г. немецким фи­ зиком Штерном.

Л. Больцман в 1877 г. доказал,- что распределение Максвелла является единственным, точнее, наиболее вероятным из всех воз­ можных, равновесным распределением скоростей газовых молекул. Если газ предоставить самому себе, то каково бы ни было его на­ чальное состояние, начальное распределение скоростей молекул, он придет в состояние равновесия, и установится максвелловское распределение. Последнее имеет место только в равновесном со­ стоянии газа, когда в нем невозможны никакие макроскопические процессы. В случае же протекания в газе макроскопических про­ цессов, например явлений переноса (теплопроводность, внутреннее трение), распределениескоростей газовых молекул уже не будет максвелловским.

§ 5. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА

Кроме распределения Максвелла, в физике очень важную роль играет другое равновесное распределение — так называемое рас­ пределение Больцмана. Распределение Максвелла характеризует распределение молекул по скоростям. Распределение Больцмана характеризует распределение молекул по координатам при усло­ вии, что на каждую молекулу действует внешняя сила, но газ тем пе менее находится в состоянии равновесия. С помощью распре­ деления Больцмана можно найти, как изменяется концентрация молекул (число молекул в единице объема) в земной атмосфере в зависимости от высоты при учёте силы тяготения, действующей на каждую молекулу. Независимое рассмотрение этой задачи по­ может вывести распределение Больцмана и, кроме того, рассеять некоторые распространенные заблуждения, касающиеся атмосфер­ ного давления.

В кинетической теории газов показывается, что давление газа р пропорционально концентрации молекул п и абсолютной темпе­ ратуре газа Т:

p = nkT,

где к — 1,38 - 10-23 доіс/град — постоянная Больцмана.

Если мы найдем, как изменяется атмосферное давление с высо­ той, то сможем определить характер зависимости концентрации молекул от высоты.

Выведем формулу, выражающую зависимость атмосферного давления от высоты. Она называется барометрической формулой. Часто считают, что атмосферное давление обусловлено весом стол­ ба воздуха. Это, однако, не совсем так. Достаточно указать на то, что в кабинах космических кораблей воздух не имеет веса, но тем не менее производит давление. На самом деле давление газа

235

При отсутствии внешних сил молекулы газа равномерно рас­ пределяются по всему объему, предоставленному газу. При отсут­

ствии силы тяжести земная атмосфера, стремясь занять весь предоставленный ей объем, рассеялась бы в космическом простран­ стве. Сила тяжести выполняет роль «крыши» для земной атмос­ феры. Эта сила сама по себе при отсутствии беспорядочного теплового движения молекул атмосферы привела бы к оседа­ нию атмосферы на поверхности Земли. Тепловое движение препят­ ствует этому, стремясь, наоборот, рессеять молекулы по всему про­ странству. Одновременное наличие этих двух противоположных тенденций приводит к тому, что имеет место в действительности: к неравномерному распределению молекул по высоте, к уменьше­ нию их концентрации с высотой над поверхностью Земли.

Это обусловливает и уменьшение атмосферного давления с вы­ сотой.

Для вывода количественной зависимости атмосферного дав­ ления от высоты нужно использовать следующие представления.

Атмосферное давление, как и любое давление, направлено во все стороны. Учтем далее, что речь идет о давлении атмосферы, находящейся в состоянии равновесия. Это значит, что любой эле­ мент объема атмосферы находится в состоянии равновесия, т. е. что равна нулю векторная сумма сил, действующих на него со всех сторон.

Пусть элемент объема атмосферы представляет собой цилиндр, основание которого имеет произвольную форму и площадь 5. В частности, это может быть прямой параллелепипед (рис. 66). Важно лишь, что нижнее основание находится на высоте /г, кото­ рая тоже произвольна, а верхнее основание — на высоте h~\-dli над поверхностью Земли, где dh — бесконечно малая величина. Обозначим атмосферное давление на высотах /г и /г -\- dh соот­ ветственно через р и р r-f- dp.

Запишем условие неподвижности нижнего основания элемента объема — равенство сил, действующих на него сверху и снизу. Снизу на него действует одна сила pS, обусловленная атмосфер­ ным давлением на высоте h. Сверху же на нижнее основание дей­ ствуют две силы: одна, обусловленная силой тяжести элемента объема, и втор.ая, обусловленная атмосферным давлением на вы­ соте h-~-dh. Эта сила равна (p-j-dp)S. Сила же тяжести, дей­ ствующая на элемент объема, выразится так:

236