Файл: Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей.pdf

dP— g-dm=QSg-dh.

Записываем условие равновесия сил:

{p+dp)S+dP = p-S,

откуда

dp — —Qgdh.

Как видим, dp является отрицательной величиной, т. е. атмос­ ферное давление уменьшается с высотой. Далее нужно знать соот­ ношение между плотностью газа и его давлением. Оно может быть получено из уравнения состояния идеального газа — ур-авнения Менделеева—Клапейрона:

р Ѵ RT.

М-

Из него сразу находим плотность Ѳ = т г :

J L 6= Р RT '

При неизменной температуре плотность газа пропорциональна его давлению.

Теперь можем записать:

йр = —р Щ г йк,

или

Проинтегрируем почленно это соотношение:

*4

Постоянную интегрирования С найдем из условия равенства ат­ мосферного давления на поверхности Земли ро'-

In до—0+С, т. е. С=1пДо-

После этого получим окончательно:

237

Это барометрическая формула. Из нее следует, что атмосферное давление убывает с высотой по показательному, пли экспоненциальному, закону. Гра­ фически зависимость, выражаемая ба­ рометрической формулой, представле­ на на рисунке 67. Атмосферное давле­ ние асимптотически стремится к ну­ лю по мере удаления от поверхности Земли. Это значит, что давление от­

Рис. 67. лично от пуля па любом, даже сколь угодно большом расстоянии от Земли.

Другими словами, земная атмосфера не имеет резкой границы и как бы непрерывно «улетучивается». В этом пет ничего удиви­ тельного: молекулы атмосферного газа находятся в потенциаль­ ной яме поля тяготения к Земле, по согласно распределению Максвелла скорости молекул различны, и всргда имеются моле­ кулы, кинетическая энергия которых превышает глубину потен­ циальной ямы. Такие молекулы имеют скорости, большие вто­ рой космической, п «убегают» от Земли. Такова обычная, печаль­ ная, но неизбежная участь атмосфер планет, если отсутствуют процессы, мешающие ее улетучиванию '. С атмосферой Луны, воз­ можно, и произошло такое явление.

С нашей, земной атмосферой дело обстоит более благополучно. Человечество интересует, конечно, судьба кислорода, необходимого людям для дыхания н для работы энергетических установок. Кис­ лород, безусловно, улетучивается из атмосферы, но эти естествен­ ные потерн ничтожно малы.

Показатель степени в барометрической формуле зависит от мо­ лекулярного веса р: чем больше молекулярный вес газа, тем быст­ рее уменьшаются с высотой его давление и плотность. Это привело бы в случае «спокойной» атмосферы (при отсутствии вертикального перемешивания) к изменению процентного содержания разных га­ зов в атмосфере: по мере увеличения высоты уменьшалось бы процентное содержание тяжелых газов, например кислорода, и уве­ личивалась бы доля легких, и прежде всего водорода. В действи­ тельности же вследствие вертикального перемешивания атмосферы этого не происходит и процентный состав атмосферы остается по­ стоянным до сравнительно больших высот.

Что касается сопоставления' барометрической формулы с действптельностыо, то следует иметь в виду, что эта формула получена при следующих упрощающих предположениях: атмосфера счита­ ется находящейся в равновесии, т. е. в ней отсутствуют макроско­ пические перемещения значительных масс газа; температура атмос­ феры во всех ее точках считается одинаковой — рассматривается изотермическая атмосфера. В действительности ни то, ни другое места не имеет. Что касается температуры атмосферы, то она довольно сложным образом зависит от высоты; это особый вопрос, который мы здесь ие будем рассматривать.

238

/ / = RT = 8,428 км

в соответствии с данным выше определением.

Смысл высоты однородной атмосферы можно выразить н дру­ гими словами. Если представить себе, что земная атмосфера сжата так, что ее плотность везде такая же, как у поверхности Земли, то толщина такой однородной атмосферы будет равна всего около 8,5 км. Это наглядное свидетельство сильной разреженности зем­ ной атмосферы на сравнительно больших высотах.

Возвращаясь к распределению Больцмана, найдем, как зави­ сит от высоты концентрация молекул в равновесной изотермиче­

Это значит, что если газ находится в поле тяготения, то в со­ стоянии равновесия его концентрация и плотность р = пт не остаются постоянными, а изменяются с высотой. Формуле (7.16) можно дать другое, более глубокое толкование.

Величина mgh в (7.16) представляет собой потенциальную энер­ гию молекулы на высоте Іі над Землей. Точнее, mgh равно разно­ сти потенциальных энергий молекулы на высотах h и 0 (на поверх­

ности Земли):

nigh = U — Uо.

Больцман обобщил формулу (7.17): под U он понимает не только потенциальную энергию, обусловленную силой тяготения, но и потенциальную энергию, обусловленную другими потенциаль­ ными силами (см. гл. 5 ).-В такой общей трактовке величины U формула (7.17) представляет собой математическую запись рас­ пределения Больцмана. Смысл его можно коротко пояснить сле­ дующим образом: молекул меньше там, где больше их потенци­ альная энергия. Увеличение потенциальной энергии связано с со­ вершением работы против какой-нибудь силы или сил. Например, увеличить потенциальную энергию в поле Тяготения на величину

240

Поэтому распределение Больцмана можно записать в другом виде:

Величина А представляет собой работу, совершаемую молекулой при переходе из области пространства с концентрацией молекул п0 в область с концентрацией п. Или, иначе, если в некотором месте равновесная концентрация равна л0, а для перехода из этого места в некоторое другое каждая молекула должна совершить работу А, то при равновесии в другом месте установится меньшая

эмиссию, величина А в этом случае представляет собой работу выхода электрона. Такой же множитель входит в формулу для давления насыщенного пара над жидкостью, где величина А яв­ ляется работой выхода молекулы с поверхности жидкости,- т. е. теплотой испарения (парообразования), отнесенной к одной моле­ куле, и т. д.

Распределение Больцмана относится не только к молекулам, но и к собраниям макроскопических частиц, на которых отражается беспорядочность теплового движения, — так называемых броунов­ ских частиц. К ним относятся частички дыма, капельки тумана в воздухе, шарики жира в молоке. Состояние этих сред с равно­ мерным распределением частиц по всему объему не является рав­ новесным. С течением времени их распределение стремится • к больцмановскому. Это особенно. заметно на молоке: с течением времени концентрация шариков жира увеличивается у поверхно­ сти молока и уменьшается е глубиной, стремясь к «перевернутому» распределению Больцмана. Дело в том, что в молоке сумма сил, действующих на шарик жира, — сумма силы тяжести и архиме­ довой силы — направлена вертикально вверх, тогда как в обыч­ ной барометрической формуле учитывается только сила тяжести, направленная вертикально вниз. Повышенная концентрация ша­ риков жира приводит к их слиянию в более крупные, в итоге на поверхности молока образуется сначала тонкий слой сливок. Этот слой выходит из «игры», так как сливки и молоко — это различ­ ные среды. После этого в молоке распределение шариков жира будет опять стремиться к больцмановскому с той лишь разницей, что началом отсчета глубиіш теперь будет нижняя граница уже образовавшегося слоя сливок. И так далее. В этом процессе мо­ локо все время не находится в состоянии равновесия. Применение сепараторов с физической точки зрения ускоряет этот процесс по­ тому, что вращение молока с достаточно большой частотой прнво-

дит к тому, что центробежная сила инерции (в системе отсчета, связанной с вращающейся частью сепаратора) значительно пре­ вышает силу, приводящую к отстаиванию сливок, из-за чего в се­ параторе осаждение сливок в направлении к оси сепаратора про­ исходит с гораздо большей скоростью.

Распределение Максвелла и распределение Больцмана •— это независимые равновесные распределения: первое характеризует распределение молекул по скоростям, или распределение молекул в пространстве скоростей, второе — распределение молекул в обычном, координатном пространстве.

Несмотря на различие концентраций частиц па разных высо­ тах, в любом месте распределение скоростей является максвеллов­ ским, соответствующим данной температуре, одинаковой для всего объема газа, находящегося в состоянии равновесия.

Иногда неправильно считают, что поскольку для поднятия на некоторую высоту молекула должна совершить работу против силы тяготения и, следовательно, потерять часть своей кинетической энергии, то на разных высотах не может быть одного и того же максвелловского распределения молекул по скоростям. Это не­ верно. Количество «быстрых» молекул, конечно, уменьшается с высотой, но только это не имеет никакого отношения к распреде­ лению Максвелла. Ведь согласно распределению Больцмана умень­ шается с высотой количество не только «быстрых», но и любых молекул. Доля же молекул, имеющих данную скорость, на всех высотах остается одинаковой и определяется законом Максвелла. При этом нужно иметь в виду, что температура газа на всех вы­ сотах принимается одинаковой, так как газ считается находящимся в состоянии равновесия. Распределение Максвелла, как и распре­ деление Больцмана, — это равновесное распределение. Следова­ тельно, подчеркнем еще раз, они относятся к газу, находящемуся в состоянии равновесия, когда в нем не происходит никаких мак­ роскопических процессов. Это означает, в частности, что темпе­

статическому состоянию газа, не изменяющемуся со временем. Они совершенно не затрагивают вопроса динамики, т. е. того, каким путем газ пришел в состояние равновесия. И только, если газ не нах-одйтся в состоянии равновесия, в нем будут идти те или иные макроскопические Процессы, и к. нему уже не будут относиться распределения Максвелла и Больцмана. Например, при различных температурах на разных высотах в газе будет идти процесс теп­ лопроводности в вертикальном направлении. Но .в пределе этот процесс приведет к выравниванию температуры на всех высотах, и тогда во всем объеме газа установится максвелловское распре­ деление скоростей.

242