Файл: Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей.pdf

кул по объему. Тогда начнется макроскопический процесс диффу­ зии (самодиффузин) в вертикальном направлении, сверху вниз, и в пределе в газе установится больцмановское распределение мо­ лекул по высоте, описываемое барометрической формулой. Про­ цессы могут идти только в неравновесных системах, в состоянии же равновесия никакие процессы в системе, в частности в газе, не­ возможны.

Распределения Максвелла и Больцмана, которые были рассмот­ рены порознь, в современной статистической физике объединя­ ются в одно — в распределение Максвелла—Больцмана. Рассмот­ рим его применительно к газу, находящемуся в поле тяготения. Пусть концентрация молекул газа у поверхности Земли (h — 0) равна /?о. Определим, сколько молекул находится в среднем на

На языке теории вероятностей эту задачу можно сформулиро­ вать так: какова вероятность того, что молекула газа находится па заданной высоте и при этом имеет заданные компоненты, ско­ рости, т. е. заданный вектор скорости? Ответ на этот вопрос в отдельности нам уже известен: на второй вопрос отвечает распре­ деление Максвелла, а на первый — распределение Больцмана. От­ вет на «сдвоенный» вопрос получим с помощью теоремы умноже-. имя вероятностен:

представляет собой элемент объема фазового пространства моле­ кулы. При этом мы используем независимость вероятностей того, что молекула находится в элементе объема dxdydz и имеет скоро­ сти, заключенные в элементе dvx - d~oy • duz объема пространства ско­

ростей.

Формула (7.19) является важнейшей формулой статистики Максвелла—Больцмана.

§ 6. ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О КВАНТОВЫХ СТАТИСТИКАХ

Классическая статистика Максвелла—Больцмана исходит из следующих основных представлений.

Во-первых, хотя все молекулы однородного газа, например кис­ лорода, считаются одинаковыми, тождественными, тем не менее их в принципе можно отличать друг от друга, например, присвоив те или иные номера или буквы (1, 2, 3, ... или а, Ь, с ...).

Рассмотрим конкретный пример: имеется две молекулы, на­ зовем их а и Ь, и чётыре ячейки (ящика), в которых нужно раз­ местить эти молекулы. Определим, сколькими способами можно разместить две молекулы по четырем ячейкам. В приведенной ниже таблице (см. табл. 1) указаны все возможные распределения.

представляют собой различные равновероятные события, хотя, в сущности, некоторые распределения совпадают между собой. Имен­ но, распределения 5 и 11, 6 и 12, 7 и 13, 8 и 14, 9 и 15, 10 и 16 от­ личаются только названиями молекул, но самн-то молекулы совер­ шенно тождественны друг другу.

Во-вторых, в классической статистике (в соответствии с клас­ сической механикой) принимается, что молекула может обладать любыми энергиями, другими словами, что энергетический спектр молекулы непрерывен.

В-третьих, классическая статистика допускает, что любое зна­ чение энергии может иметь какое угодно число молекул.

Наконец, в-четвертых, в классической статистике элемент объ­ ема фазового пространства сіГ является величиной произвольной, могущей принимать непрерывный ряд значений.

В микромире господствуют законы квантовой механики, от­ личные от законов классической механики. Поэтому статистика микрочастиц, или квантовая статистика, основанная на квантовой механике, своими исходными принципами и результатами должна отличаться от классической статистики.

Оказалось, что различные микрочастицы, например фотоны и электроны, не могут описываться единой квантовой статистикой.

244

Дело в том, что в системах одних микрочастиц действует один из основных законов квантовой механики — принцип Паули (см. гл. 8), системы же других микрочастиц не подчиняются принципу Паули. Например, система электронов подчиняется принципу Паули, совокупность же фотонов — нет. Оказалось, что подчинение частицы принципу Паули определяется величиной ее спина, именно тем, равен ли спин целому или полуцелому числу постоянных

квантовые статистики: статистика Бозе—Эйнштейна, созданная в 1924—1925 гг. индийским физиком Бозе и независимо от него Эйн­ штейном, и статистика Ферми—Дирака, созданная в 1926—1927 гг. итальянским физиком Ферми и английским теоретиком Дираком. Статистика Бозе—Эйнштейна — это статистика частиц с целочис­ ленным спином (фотоны, я- и /(-мезоны), статистика же Ф ермиДирака относится к частицам с полуцелым спином (электроны, протоны, гипероны). Принадлежность к той или иной квантовой статистике является важной характеристикой микрочастицы. Это отражается и в терминологии: частицы, подчиняющиеся статистике Бозе—Эйнштейна, называются бозонами; частицы же, подчиняю­ щиеся статистике Ферми—Дирака, — фермионами.

Обе квантовые статистики характеризуются общими принци­ пами, в корне отличными от принципов классической статистики. Кроме того, квантовые статистики различаются и между собой.

В о - п е р в ы х , в противоположность классической статистике обе квантовые статистики исходят из принципа неразличимости тождественных частиц. Поэтому в приведенной выше таблице рас­ пределения 5 и И соответствуют принципиально одному состоянию, то же относится и к другим парам, перечисленным выше. Так что распределения с № 5 по № 16 соответствуют в квантовых статисти­ ках не 12 состояниям, как в классической статистике, а всего лишь 6 состояниям. Разница, как видим, существенная.

В о - в т о р ы х , в квантовых статистиках используется то об­ стоятельство, что в микромире энергия систем связанных частиц квантуется, т. е. может принимать не непрерывный, как в класси­ ческой физике, а дискретный ряд значений.

В - т р е т ы і X , в обеих квантовых статистиках в противополож­ ность классической статистике принимается, что существует наи­ меньший элемент объема фазового пространства, ячейка фазового пространства, соответствующая каждому состоянию. Ее величина h3 оказывается связанной таким соотношением:

Происхождение такой величины фазовой ячейки можно пояс­ нить следующим образом.

В классической физике каждое состояние представляется точ­ кой в фазовом пространстве. Состояния могут меняться непрерыз-

245

но, так что фазовое пространство сплошь заполнено состояниями (точками). В этой связи в классической статистике возникла оп­ ределенная трудность: было неясно, какой объем фазового прост­ ранства приходится на одно состояние.

В квантовой механике (см. гл. 8) очень важную роль играют

соотношения неопределенностей Гейзенберга, которые коренным об­ разом меняют ситуацию.

Механическое состояние системы по-прежнему определяется ко­ ординатами и импульсами. Однако в силу принципа неопределен­ ности координата и соответствующая ей проекция импульса не могут о д н о в р е м е н н о иметь точных значений: координата ле­ жит в интервале от х до .ѵ-ф-Дх, а импульс — в интервале от рх до Рх~\- Др.ѵ- При этом Ах II Арх связаны между/ собой соотноше­

Вследствие этого минимальная ячейка двумерного фазового объ­ ема пространства координат и импульсов принимается равной h, а ячейка шестимерного фазового пространства — равной /г3.-

Заметим, что в современной физике, в частности, в квантовой механике, в качестве характеристики состояния берется импульс, а не скорость. Если в статистике Максвелла—Больцмана фазо­ вое пространство — это пространство координат и скоростей, то в квантовых статистиках фазовое пространство — это обязатель­ но пространство координат и импульсов, причем в квантовой ме­ ханике не может быть «клеточки» фазового пространства меньшей, чем h3.

Сколько частиц может одновременно находиться в одном и том же состоянии, т. е. в одной клетке фазового пространства? Клас­ сическая статистика отвечает: сколько угодно. В квантовых стати­ стиках этот вопрос решается различным образом. Квантовая ста­ тистика Бозе—Эйнштейна отвечает на этот вопрос так же, как и классическая статистика: в одной клетке фазового пространства объемом h3 может находиться сколько угодно бозонов, например фотонов.-Квантовая же статистика Ферми—Дирака принимает в соответствии с принципом Паули, что в одной клетке фазового пространства не может находиться более одного фермиона.

Основная задача всякой статистики — найти функцию распре­ деления. При ознакомлении с распределением Максвелла была введена функция распределения скоростей g(y) как вероятность того, что молекула имеет скорость, заключенную в единичном ин­ тервале между значениями о н ѵ 1. В обобщенной классической статистике — статистике Максвелла—Больцмана, характеризуе­ мой распределением (7.19), вводится функция распределения, или плотность распределения, под которой понимают число частиц, об-

,ладающнх энергиями, заключенными в единичном объеме фазо­ вого пространства (dt = 1). Функция распределения Максвелла— Больцмана, определяемая (7.19), может быть записана так:

246

A'

где A' — постоянная величина, которая, как видно из (7.19), оп­ ределяется выражением

В обеих квантовых статистиках функция распределения опре­ деляет среднее число частиц, обладающих энергией Е и находя­ щихся в одной клетке фазового пространства. Другими словами, квантовая функция распределения —■ это средняя заселенность одной клетки фазового пространства, соответствующей данной энергии Е. (Следует иметь в виду, что при рассмотрении кванто­ вой статистики здесь используется так называемое квазикласси­ ческое приближение квантовой механики.)

Пусть AN (Е) — число частиц, обладающих энергией Е. В квантовой теории можно говорить о конкретном значении энергии, а не об интервале энергии, потому что энергия квантуется. Нужно еще знать, сколько ячеек фазового объема содержится в элементе фазового объема, соответствующего данной энергии Е. В кванто­ вой теории энергия не только квантуется. В силу принципа неоп­ ределенностей Гейзенберга каждый энергетический уровень «раз­ мазан» по фазовому пространству между значениями Е и Е -j- ДЕ. Ему соответствует не точка, а некоторый элемент объема фазового

причем это импульсы всевозможных направлений. Подобно тому, как в распределении Максвелла мы вычисляли элемент объема фазового пространства скоростей, элемент объема фазового прост­ ранства импульсов найдем как объем шарового слоя между сфе­ рами радиусов р и р -j- Ар:

Обозначив элемент объема обычного координатного пространства через АѴ, найдем элемент объема фазового пространства импуль­ сов п координат:

А так как объем минимальной ячейки, или клетки фазового объ­ ема, равен /г3, то в элементе объема (7.25) будет содержаться сле­ дующее число клеток:

(7.26)

247