Файл: Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей.pdf

Чтобы найти квантовую функцию распределения fvв, т. е. сред­ нюю «заселенность» каждой клетки фазового пространства, нужно,

очевидно, разделить число заселяющих частиц АN (Е) на число клеток Ag(E):

/кв—ncp(É)— (7.27)

Вывод, который мы здесь не приводим, дает для квантовых функций распределения следующие формулы: в статистике Бо'зе— Эйнштейна формулу

Как видим, внешне квантовые распределения мало различаются между собой и мало отличаются от классического: между собой они отличаются «лишь» знаком у единицы в знаменателе, а от классического распределения — «только» наличием этой единицы в знаменателе. Однако квантовые н классическая функции рас­ пределения сильно различаются физическим содержанием. Срав­ ним квантовые функции распределения (7.28) н (7.29).

Если А <С 1,/го дробь в знаменателях в (7.28) и (7.29) значи­ тельно больше единицы; поэтому последней можно пренебречь, и

Это значит, что квантовые статистики переходят в классическую при малых значениях параметра вырождения А (Л < 1). Следо­ вательно, отличие квантовых газов от классического должно про­ являться при Л > 1. Квантовые газы при А 1 называются выроэісденными. Вырожденные квантовые газы обладают удивитель­ ными свойствами, резко отличными от свойств классического иде­ ального газа.

При А <С 1 система частиц ведет себя как классический иде­ альный газ; при А 1 система частиц является квантовым газом. Значение А = 1 является граничным. Расчеты показывают, что величина А определяется следующим выражением:

248

где по — концентрация частиц, т ■— масса частицы.

Введем понятие температуры вырождения. Это такая темпера­ тура То, при которой А = 1. Приравняв • единице правую часть в (7.30), найдем, что температура вырождения определяется сле­

В выражение для температуры вырождения входит постоянная Планка /г. Это свидетельствует о том, что понятие температуры вырождения имеет сугубо квантовую природу, ему нет места в классической физике.

Если температура газа значительно меньше температуры вы­ рождения (Г <с То), то А 1 н газ будет вырожденным, его кван­ товые свойства будут проявляться особенно резко. Наоборот, если

ТТ0, то А <С 1 и газ будет обладать свойствами классического

идеального газа. ) Что означают практически эти условия?

Рассмотрим водород при комнатной температуре и нормаль­ ном атмосферном давлении. Концентрация молекул равна практи­ чески числу Лошмидта:

Подставив в (7.30) числовые данные, получим: А = 3 • 10-5 <С 1. Это значит, что при данных условиях совокупность молекул во­ дорода ведет себя как классический идеальный газ и квантовые свойства его практически не проявляются. Это очень важное об­ стоятельство; оно оправдывает применение к газам классической статистики. Ведь атомы и молёкулы — Это, строго говоря, кван­ товые частицы, они подчиняются законам квантовой механики, и совсем не очевидно, что к ним можно применять классическую статистику, основанную на законах ньютоновской механики.

Вообще, молекулярные газы Никогда не бывают вырожденными. Согласно (7.30) для вырождения (Л > 1) нужны или сверхвысо­ кие концентрации частиц, что имеет место, например, в атомных ядрах, или сверхнизкие температуры, когда существование газа уже невозможно.

С другой стороны, для фотонного и нейтринного газов А = оо, так как масса покоя фотона и нейтрино равна нулю. Температура вырождения для этих газов бесконечно велика. Следовательно, фотонный газ является вырожденным, специфически квантовым газом при любой температуре. Именно поэтому попытки объясне­ ния законов излучения абсолютно черного тела с позиций класси­ ческой физики потерпели неудачу.

249

§ 7. ПРИМЕНЕНИЕ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ К ИЗЛУЧЕНИЮ АБСОЛЮТНО ЧЕРНОГО ТЕЛА

Для нахождения закономерностей излучения абсолютно черного тела следует решить основную задачу — найти спектральную плот­ ность излучения, т. е. энергию единицы объема излучения абсо­ лютно черного тела, приходящуюся на единичный частотный ин­ теграл — от г до V -{- 1.

Будем рассматривать излучение абсолютно черного тела как совокупность частиц — фотонов, движущихся по всевозможным направлениям со скоростью, равной с, внутри замкнутой полости, заполненной излучением. Мы принимаем, следовательно, такое из­ лучение за некоторый фотонный газ, пли бозе-газ, так как он под­ чиняется квантовой статистике Бозе—Эйнштейна.

Для решения поставленной основной задачи нужно знать две величины: во-первых, энергию одной частицы, т. е. фотона, н, вовторых, плотность распределения фотонов по энергиям или по ча­ стотам. Энергия фотона равна, как известно, Ііѵ. Нужно узнать далее, сколько фотонов обладает энергией, соответствующей час­ тотному интервалу между ѵ и ѵ -{- dv. Для этого нужно знать прежде всего, сколько фотонов находится в среднем в одной клетке фазового пространства и сколько клеток приходится на частотный интервал от ѵ, до ѵ -|- dv. На первый вопрос отвечает формула (7.28) распределения Бозе—Эйнштейна, па второй — формула (7.26). Перемножив энергию фотона Ііѵ и правые части (7.26) и (7.28) , мы решим поставленную задачу.

В общей формуле (7.26) следует только учесть специфику час­ тиц — фотонов и выразить их импульс через частоту. Фотон это особая частица, она движется с единственной скоростью, рав­ ной скорости света с в вакууме, с которой не могут двигаться «обычные» частицы. Отнюдь не очевидно, что импульс фотона должен вычисляться по обычной формуле как произведение массы на скорость. Для вычисления импульса фотона нужно воспользо­ ваться общим релятивистским соотношением между импульсом и

вив найденные выражения для 'р и dp в (7.26), найдем число кле­ ток фазового пространства, соответствующих частотам от ѵ до

V - f - dv.

250

Д р -z 4яѵ2 dv dV.

Для дальнейшего нужно учесть еще, что любое данное значе­ ние импульса имеют два фотона, соответствующие свету, поляри­ зованному по кругу вправо и влево (по и против часовой стрелки). Это удваивает число фотонов.

После этого мы сможем найти энергию излучения, заключен­ ную в элементе обычного объема dV и приходящуюся на интервал

Разделив dW на объем dV, найдем объемную плотность излу­ чения, т. е. энергию, содержащуюся в единице объема полости,, заполненной излучением:

dWdV = dw. i

Как видно из (7.34), объемная плотность dw может быть пред­ ставлена так:

e hT — 1

Величина

w(v, T)

dW dVdv

называется спектральной плотностью излучения. Она равна энер­ гии, содержащейся в единице объема и приходящейся на единич­ ный спектральный интервал (от ѵ до v - f 1).

Формула (7.34), пли, что по существу то же самое, (7.34') пред­ ставляет собой знаменитую формулу Планка для излучения абсо­

лютно черного тела.

Часто в качестве характеристики излучения абсолютно черного тела берут не спектральную плотность излучения w (ѵ, Т), а так называемую дифференциальную испускательную способность, пли дифференциальную энергетическую светимость. Ее также называют монохроматической удельной мощностью излучения абсолютно чер­ ного тела. Это величина е(ѵ,Т), равная энергии, испускаемой за единицу времени единицей площади поверхности абсолютного чер­

-)- dv), разделить на ширину этого участка dv:

251.