сіЕ ß(v, T) = dv
Оказывается, что спектральная плотность излучения-и нспускательная способность связаны между собой следующим соотноше нием:
e ( v ,T ) = — w(v,T).
Тогда получим формулу Планка для испускательной способно сти абсолютно черного тела в зависимости от частоты и темпера туры:
е(ѵ, Т) dv— ^ ~ - |
--- ------dv. |
(7.34") |
|
/IV |
1 |
|
|
. ІіТ |
|
Сам Планк вывел эту формулу иным путем. Приведенный здесь вывод был получен позднее как одно из приложений квантовой статистики Бозе—Эйнштейна.
§8. ПРИМЕНЕНИЕ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ
КЭЛЕКТРОННОМУ ГАЗУ В МЕТАЛЛАХ
Вклассической физике совокупность электронов проводимости
вметалле рассматривается как обычный идеальный газ. Выясним, можно ли электронный газ в металле считать клас
сическим идеальным газом. Для этого найдем его температуру вырождения. Подставив в (7.31) массу электрона пге « ІО-30 кг, концентрацию электронов, равную по порядку величины концент
рации атомов |
Ю29 |
получим: |
|
tiQ^h2 |
1 0 4° к . |
|
2яmek |
|
|
Реальные температуры металлов значительно меньше Т0, и, сле |
довательно, электронный |
газ в |
металле всегда вырожден. Это |
квантовый газ, и описывать его классическим образом, строго говоря, нельзя. Именно поэтому классическая теория электропро водности металлов по ряду вопросов расходится с опытом (см. гл. 11).
Итак, электроны проводимости в металле образуют квантовый вырожденный ферми-газ. Его свойства, как сейчас увидим, сильно отличаются от свойств классического идеального газа.
Прежде всего оказывается, что при температуре, равной абсо лютному нулю, ферми-газ обладает энергией, и к тому же довольно большой. С позиций классической физики при Т = 0 все элект роны должны были бы покоиться, т. е. должны были бы все иметь
одинаковую кинетическую энергию, равную нулю. С позиций же квантовой теории это невозможно, так как электроны подчиняются принципу Паули, согласно которому в данном состоянии может находиться лишь один электрон. Все остальные свободные элект роны металла, т. е. практически все свободные электроны, даже при абсолютном нуле обладают различными энергиями: один элект рон имеет энергию Е\ = 0, второй — энергию Е2, третий •— Е$ и т. д. Последний, п-й электрон имеет максимальную энергию Ер. Максимальный уровень энергии электронного газа при Т = 0 назы вается уровнем Ферми Ер. Величина Ер, как оказалось, опреде ляется только концентрацией электронов. Вычислим эту величину.
Обозначим через pF максимальный импульс электрона при Т = 0, соответствующий энергии Ер. Объем Г фазового простран ства электронного газа равен произведению обычного объема ме талла V на объем Ѵр фазового пространства импульсов: Г — ѴѴР. В координатном пространстве объем, точки которого имеют коор
динаты, не превышающие заданного значения, — это объем шара
4 с радиусом а. Этот объем равен -^-яа3. Аналогично в пространстве
О
импульсов объем V фазового пространства импульсов электронов,
лежащих между 0 и pF, |
равен |
4 |
з |
О |
п р р . На один электрон прихо- |
|
|
|
дится фазовый объем, равный, как мы знаем, ячейке /г3. При Т — О все ячейки фазового объема, т. е. все дозволенные состояния, за няты электронами. Поэтому если мы объем фазового пространства ѴѴР разделим на /г3, то найдем число электронов в объеме метал ла V. А если разделим его на обычный объем металла V, то полу чим концентрацию электронов:
п 4 з V |
4 |
no=T T :~ 3 nfrF¥ v |
3 |
Отсюда найдем максимальный импульс электрона при Т = 0:
(& Г
I Воспользовавшись нерелятивистским соотношением между импуль сом и кинетической энергией (это можно делать не только при Т = 0, но и при достаточно высоких.температурах), получим сле дующую формулу для уровня Ферми:
F _ |
Р* - |
Ш ( Зп° Г |
F |
2me |
2пге \ 4JT / |
Подставив сюда использовавшиеся ранее числовые значения, полу чим:
10~19 дж = 5 эв.
Чтобы «почувствовать» эту величину, представим себе, что име ется классический идеальный газ, средняя энергия молекул кото рого равна найденной величине ÉF. Поскольку средняя энергия е газовой молекулы равна примерно кТ, то, положив е равной EF, получим:
Т = - ^к- & ІО4 °К.
Вот какой «горячий» идеальный газ эквивалентен в энергети ческом отношении электронному газу металла при абсолютном нуле температуры!
Продолжая сопоставление ферми-газа с классическим, найдем, каково было бы давление классического идеального газа, если бы концентрация его молекул была равна концентрации свободных электронов металла п0 Ä ІО29 1/лг3, а средняя энергия молекулы равнялась бы уровню Ферми. Как известно из кинетической тео рии газов, давление газа пропорционально объемной плотности кинетической энергии теплового движения его молекул, т. е. про изведению концентрации молекул на среднюю кинетическую энер гию теплового движения одной молекулы:
2 -
Р = - д - » о е .
Использованная ранее формула (7.9) является следствием этой
формулы, поскольку е = 3/2 кТ.
Подставив числовые значения п0 и е = Ер, получим:
р= 1 0 4 ат.
Иэто опять-таки при температуре электронного газа в металле, равной абсолютному нулю.
Полученные огромные значения температуры и давления клас сического газа, «эквивалентного» реальному электронному газу в металлах при абсолютном нуле температуры, очень убедительно свидетельствуют о том, что совокупность свободных электронов металла принципиально нельзя рассматривать как обычный газ классической физики. То, что мы рассматривали электронный ферми-газ при абсолютном нуле, не уменьшает общности этого вы вода: электронный газ в металле при любых реальных температу рах является специфически квантовым газом, и его свойства силь но отличаются от свойств «обычных» газов классической физики. Это проявляется, в частности, в теплоемкости и электропроводности металлов (см. гл. 9 и 11).
Г Л А В А g КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И АТОМНАЯ ФИЗИКА
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Программой по физике для средней школы предусмотрено изу чение некоторых вопросов квантовой оптики.' Обращается внимание на корпускулярно-волновой дуализм (двойственную природу) из лучения: всякое излучение представляет собой диалектическое единство противоположностей, обладает свойствами и непрерыв ной волны, и дискретных частиц. Корпускулярно-волновой дуализм излучения — это всего лишь одна сторона квантовых представле ний современной физики, он относится только к оптике. В основе квантовой механики лежит знаменитая гипотеза, выдвинутая в 1924 г. известным французским физиком-теоретиком Луи де Брой лем. Идея де Бройля состоит в обобщении, универсализации кор пускулярно-волнового дуализма: этот дуализм свойствен не только излучению, он является общим свойством поля и вещества. Конк ретно де Бройль предположил, что подобно тому как в оптике с излучением связывается представление одновременно о волне и о потоке особых частиц — фотонов (термин предложен Эйнштейном), так и, обратно, с любой движущейся частицей может быть свя зана некоторая волна. Она называется волной де Бройля. Для ко личественной характеристики волны, связанной с движущейся ча стицей, де Бройль воспользовался эйнштейновским соотношением между импульсом фотона и частотой соответствующего излучения (или длиной волны):
Еф |
he |
h |
(8.1) |
Рф= -----, |
Еф— hv— — , |
рф= — . |
С |
А |
А |
|
Здесь первая формула — это релятивистское соотношение между энергией и импульсом частицы. Как уже было показано, Е2 —
— с2р24~ /По2с4. Но поскольку для фотона масса покоя равна нулю (іщ = 0), то отсюда следует первая формула (8.1). Второе соот ношение (8.1) — это количественная формулировка исторически первого квантового представления — знаменитой гипотезы Макса Планка (1900 г.) о квантах энергии. В настоящее время в кванто вой механике вместо обычной, или линейной, частоты ѵ, т. е. числа колебаний в секунду, часто берется круговая, или циклическая, ча-
стота (ü = 2яѵ . В связи с этим вместо обычной постоянной Планка h = 6,625 • ІО-3'1 дж-сек используется так называемая «перечерк нутая» постоянная Планка:
2я = 1,05 • 10-34 дж • сек.
Ее впервые ввел П. Дирак, известный английский теоретик.
Де Бройль распространил формулу (8.1) на случай любых дви жущихся частиц: если в (8.1) вместо импульса фотона взять им пульс любой частицы, то величина X будет представлять собой
длину волны, связанную с данной движущейся частицей: |
|
Х = — . |
(8.2) |
Р |
|
В качестве примера вычислим дебройлевскую длину волны для двух конкретных частиц. Рассмотрим макроскопическую частицу,
например пылинку |
массой іщ = |
ІО-5 кг, движущуюся с обычной |
для ньютоновской |
механики скоростью щ = 10 м/сек: |
Іі |
6 82 ■ 10-34 |
6,62- 10-^/i = 6,62 • ІО-20 Â. |
Л і= — , Л і = '^ т - ігд-.і/ = |
Pi |
K r J • 1U |
|
Такая малая длина волны выходит далеко за пределы того диапазона длин волн, с которым имеет дело современная физика. Из этого примера можно сделать вывод: в случае движения, мак роскопических частиц их волновые свойства практически не про являются.
В качестве второго примера рассмотрим частицу микромира — электрон. Скорость возьмем не слишком близкую к скорости света, чтобы импульс можно было вычислить по ньютоновской механике: пусть ѵ2 = 10е м/сек. Массой электрона в таком случае будет масса покоя т0е = 9 -ІО-31 кг. Подставив эти данные в (8.2), вы числим дебройлевскую длину волны, связанную с электроном:
„ |
6,62-ІО-34 |
м — QJ • 10~10 лі= 6,7 Â. |
k2~ |
9 -ІО-31-ІО6 |
|
Эта длина волны принадлежит уже к диапазону рентгеновых лучей. Однако подчеркиваем, что это совершенно не значит, что дебройлевская волна, связанная с электроном, представляет собой электромагнитную волну — волну рентгеновского излучения. Сразу отметим, что ни в одном случае, ни для одной частицы дебройлевская волна никогда не может быть интерпретирована как электромагнитная волна или волна какого-нибудь другого физиче ского поля. Но сам факт, что дебройлевские волны по своему диапазону в случае частиц микромира лежат в рабочем диапа зоне физики, указывает на. возможность обнаружить на опыте волновые свойства частиц микромира. И действительно, в 1927 г. американские физики Дэвиссон и Джермер впервые обнаружили на опыте волновые свойства у пучка летящих электронов.
