Файл: Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей.pdf

волны, т. е. с направлением вектора k. Тогда выражение для ска­ лярного произведения упростится:

k r = k zz= kz .

Поэтому уравнение бегущей плоской волны, распространяющейся вдоль оси Z, записывают часто в следующем виде:

g(z, i ) = A sin (соt — kz).

Волновой вектор непосредственно связан с длиной волны, т. е.

сп р о с т р а н с т в е н н о й периодичностью волнового процесса. Угловая частота со связана известными соотношениями с линей­

ной частотой, т. е. числом колебаний в секунду ѵ и периодом коле­ баний Г.-

Величина со характеризует в р е м е н н у ю периодичность вол­ нового процесса. Сама же волна является процессом, периодичным одновременно и в пространстве, и во времени.

Таким образом, всякая волна характеризуется тремя величи­ нами: волновым вектором, частотой колебаний и амплитудой коле­ баний. Рассмотрим эти величины применительно к волне де Бройля.

Прежде всего, выражение для волнового вектора волны де

За направление волнового вектора, характеризующего направ­ ление распространения волны, связанной с движущейся частицей, естественно принять направление движения частицы, т. е. направ­ ление импульса частицы. Тогда получим следующее соотношение

между векторами k и р, играющее очень важную роль в современ­ ной физике:

Таким образом, одна из характеристик волны де Бройля -- волновой вектор — оказывается связанным с импульсом движу-

щейся частицы. Наличие постоянной Планка, связывающей k и р, является свидетельством специфически квантовой природы этой связи.

Формула (8.4) подтверждает высказанное ранее утверждение о том, что в квантовой теории именно импульс, а не скорость ха­ рактеризует движущуюсячастицу.

261

независимыми, невыводимыми одно из другого. Забвение этого может привести к ошибочным,выводам. .

Сложнее обстоит дело с выяснением физического смысла ампли­ туды волны де Бройля. Как это ни покажется странным, но перво­ начально этого не знали ни сам де Бройль, ни другие творцы квантовой механики. Постепенно была выработана современная, вероятностная интерпретация волн де Бройля: квадрат амплитуды волны де Бройля является мерой вероятности нахождения частицы в данной точке пространства.

Вероятностный смысл волны де Бройля можно понять, проана­ лизировав опыты. Вот один из них.

Если луч света направить на диафрагму с маленьким круглым отверстием, то на экране, поставленном за диафрагмой, будем наблюдать дифракцию света на круглом отверстии (рис. 71): в

262

центре — дифракционный максимум в виде светлого кружка с размытой границей, далее — чередующиеся темные и светлые кольца с размытыми краями (в монохроматическом свете).

Если же моноэнергетический пучок электронов, в котором все частицы обладают одинаковыми энергиями, пропустить через не­ большое круглое, отверстие, то на фотопластинке получим совер­ шенно такую же дифракционную картину (рис. 72). Это еще одно проявление волновых свойств электронов. Электроны распределя­ ются по фотопластинке далеко не равномерно: в средний крут их попадает больше всего, в область минимума не залегает ни один электрон, а в область за минимумом еще дальше от центра кар­ тины, они снова попадают, правда, в небольшом количестве.

Однако можно ли рассчитать точно траекторию одного элект­ рона II указать точно место экрана, в которое он попадает?

Для ответа на этот вопрос уменьшали в описанном опыте по дифракции электронов интенсивность электронного пучка, т. е. число электронов, падающих в единицу времени на единицу пло­ щади отверстия. Были приняты меры к тому, чтобы было воз­ можно зарегистрировать почернение фотопластинки от попадания даже одного электрона, подобно тому как в спинтарископе реги­ стрируются удары отдельных а частиц по вспышкам флуоресцирую­ щего экрана (сцинтилляциям). Результат опыта оказался следую­ щим.

При очень малой интенсивности электронного потока вспышки от них некоторым образом распределялись по экрану. Если через некоторый промежуток времени на экран направлялся снова такой же поток, то вспышки возникали уже в других местах экрана. Еслиопыт повторить третий и большее число раз, то оказывалось, что каждый раз электроны попадали в разные места экрана, од­ нако у всех распределений электронов по экрану имелись следую­ щие общие свойства: в средний круг попадает относительно наи­ большее число электронов, в область первого дифракционного максимума — гораздо меньше, второго максимума — еще меньше и т. д. Если наложить несколько таких распределений друг на друга, то они все вместе дадут распределение, получаемое от од­ ного интенсивного потока.

Но если через отверстие проходит один-единственный электрон, то он может попасть в любую точку экрана из числа тех, в кото­ рые попадали электроны в предыдущих опытах. Можно опыт с одним электроном повторить много раз. Тогда каждый раз элект­ рон будет попадать в разные точки экрана. Так что применительно к одному электрону п р и н ц и п и а л ь н о н е в о з м о ж н о точно определить, в какую именно точку экрана он попадет в конкрет­ ном опыте. Однако и в поведении одного электрона имеется опре­ деленная закономерность. Тот факт, что при повторении опыта с одним электроном он чаще попадает в центральный круг, а в об-

■ласть дифракционного минимума практически не попадает никогда, означает следующее: каждый электрон имеет некоторую вероят-

263

постъ попасть в ту пли иную точку экрана, причем веро­ ятность попасть в централь­ ный круг больше, чем в об­ ласть первого дифракцион­ ного кольца; вероятность же попадания в область ди­ фракционного минимума равна нулю. Другими слова­ ми, распределение вероятно­ стей попадания электрона в разные точки экрана харак­ теризуется определенной

функцией распределения, по­ нятие о которой было дано в предыдущей главе. Мы можем построить график этой функции в зависимости

от расстояния до центра дифракционной картины.

Из определения вероятности следует, что при достаточно боль­ шой интенсивности потока падающих на отверстие электронов вероятность попадания одного электрона на данный участок эк­ рана практически равна отношению числа электронов, упавших на данный участок в единицу времени, к интенсивности падающего потока. Но, чем большее число электронов попадает в данное место экрана, тем интенсивнее его почернение. Поэтому распределение почернения экрана в зависимости от расстояния до центра картины дает в то же время и распределение вероятностей попаданий од­ ного электрона в различные точки экрана. Оба распределения гра­ фически представляются одной и той же кривой, приведенной па рисунке 73. В пределах дифракционного максимума интенсивность тоже неодинакова: она максимальна в центре и плавно умень­ шается до нуля в минимуме. Интенсивности последующих макси­ мумов значительно меньше, чем центрального. Итак, вероятность попадания электрона в центр дифракционного максимума наи­ большая, а в область дифракционного минимума — равна нулю.

Таким образом, с одной стороны, с корпускулярной точки зрения интенсивность почернения дифракционной картины в дан­ ном месте экрана пропорциональна вероятности попадания элект­ рона в эту точку экрана. С другой же стороны, с волновой точки зрения интенсивность волны пропорциональна квадрату ампли­ туды соответствующей волны, в данном случае волны де Бройля, связанной с электроном. Сопоставляя обе трактовки одного и того же результата, приходим к фундаментальному выводу о том, что квадрат амплитуды волны де Бройля в данной точке простран­ ства является мерой вероятности нахождения частицы в данной точке пространства. В этом и состоит общепринятая теперь веро­ ятностная трактовка волн де Бройля, связанных с движущимися частицами.

264

§ 2. К В А Н Т О В А Н И Е Ф И З И Ч Е С К И Х В Е Л И Ч И Н В М И К Р О М И Р Е

Важнейшим следствием наличия у частиц также и волновых свойств является квантование: величины, характеризующие движе­ ние микрочастицы (энергия, импульс, момент импульса и др.), в ряде случаев квантуются, т. е. могут принимать не непрерывный, а дискретный ряд жестко определенных значений.

Рассмотрение квантования проведем в два этапа: сначала — в ознакомительном плане, вполне доступном для учащихся средней школы, а затем — более строго, путем анализа решений основного уравнения квантовой механики — уравнения Шредингера — при­ менительно к некоторым простейшим задачам.

Чтобы понять квантование величин, характеризующих движение электрона в атоме, рассмотрим вначале упрощенную модель дви­ жения связанной частицы, под которой для определенности будем понимать электрон.

Пусть электрон может двигаться в так называемом одномерном ящике шириной /. За пределы ящика электрон выйти не может. Если координаты стенок, ограничивающих ящик, обозначить через О и I, то условие задачи может быть сформулировано так: координата х электрона может иметь любое значение между 0 и I ( О ^ . х ^ . 1 ) . Выясним, какими могут быть значения энергии элект­ рона при его движении в таком одномерном ограниченном про­ странстве. Рассмотрим наиболее простой случай, в котором элект­ рон может обладать только кинетической энергией, так что взаимо­ действием его со стенками ящика можно пренебречь (это взаимо­ действие носит характер упругого отражения, подобно случаю идеального газа в сосуде). Итак, электрон может двигаться только прямолинейно от одной стенки до другой, поочередно отражаясь от них. Наглядно можно представить себе, что электрон движется в пустой тонкой трубке длиной /, с непроницаемыми для него тор­ цами.

Классическая физика на вопрос о величине энергии электрона в ящике дает следующий ответ: энергия можетиметь любые зна­ чения, составляющие непрерывную последовательность.

Учет же волновых свойств электрона приводит к другому от­ вету.

С электроном, движущимся в ограниченном пространстве, свя­ зана волна, которая, как и электрон, существует только в ограни­ ченном пространстве. Такой волной является, как известно, стоячая волна. Поскольку электрон по условию не может выйти за пре­ делы ящика, то дебройлевская стоячая волна, соответствующая электрону, должна иметь узлы на концах ящика, подобно волне на струне, закрепленной с обоих концов. Однако струна определенной длины, закрепленная на обоих концах, может колебаться не с одной частотой, а со многими. Она, как говорят, имеет спектр соб­ ственных частот. Это обусловлено тем, что физическому условию образования узлов на концах струны удовлетворяет не одна стоя-

265