Файл: Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей.pdf

влетворяет сила упругости: соотношение (8.9) представляет собой запись закона Гука. Однако имеются силы и иной физической природы, удовлетворяющие условию (8.9); они называются квазиупругими (от латин­ ского слова quasi.— к а к бы). Например, в случае математического маятника квазиуп­ ругой силой является проекция силы тяго­ тения на направление касательной к траек­ тории маятника в каждой точке (рис. 76).

Напишем второй закон Ньютона для дви­ жения тела, находящегося под действием силы упругости млн квазиупругой силы:

Это — дифференциальное уравнение для искомой функции x(t). Предположим, что его решением является уравнение гармониче­ ских колебаний (8.8). Подставив (8.8) в уравнение (8.10), получим:

—пш2Хт sin ü)t=—kXmsin соt,

откуда

Это общий результат: собственная частота гармонических коле­ баний любой природы равна квадратному корню из отношения двух величин, одна из которых характеризует инерционные, а дру­ гая — упругие свойства колебательной системы. Например, в слу­ чае математического маятника квазиупругая сила выражается так:

п ■ х г х= —mg sin а ж —mg у .

Поэтому

из катушки индуктивности без активного сопротивления и конден­ сатора с идеальным диэлектриком, дифференциальное уравнение для заряда на обкладках конденсатора можно получить из усло-

27Ö

\

вня, что напряжение на катушке равно напряжению на конден­ саторе:

Поскольку ток в контуре обусловлен убылью зарядов на обклад­

альное уравнение для колебаний заряда конденсатора такое же, что и для механических колебаний, причем аналогом массы яв­ ляется индуктивность катушки, а аналогом коэффициента упру­ гости — величина, обратная емкости конденсатора. Частоту элект­ ромагнитных колебаний в контуре найдем из общей формулы

•(8.11), воспользовавшись указанной аналогией:

Это хорошо известная формула В. Томсона.

Указанную аналогию весьма полезно проводить при изучении механических и электромагнитных колебаний. Напомним еще раз, какие величины взаимно друг другу соответствуют. Механическому

массе m как мере механической инертности — индуктивность кон­ тура L как мера «электромагнитной инертности», коэффициенту

нической внешней силе F — электродвижущая сила g или напря­ жение U на контуре (при анализе вынужденных колебаний и резо­ нанса).

Очень полезно обратить внимание учащихся на следующее общее положение: колебания могут происходить только в такой системе, которая обладает непременно двумя свойствами: инер­ ционными и упругими или соответствующими свойствами-анало­ гами. Поэтому в формулы для частоты или периода колебаний входят две величины, одна из которых характеризует инерционные, а другая — упругие свойства колебательной системы.

Вычислим потенциальную энергию гармонического осциллятора.

271

Потенциальная энергия гру­ за, на который действует уп­ ругая пружина, — это по­ тенциальная энергия самой пружины, растянутой пли сжатой на величину х, где х

— координата тела относи­ тельно положения, которому соответствует х = 0 (пру­ жина недеформированная). Согласно общему определе­ нию потенциальной энергии, которое было дано ранее, в главе 5, потенциальная энергия гармонического ос­

циллятора, т. е. потенциальная энергия пружины, упруго растяну­ той или сжатой на величину х, равна работе силы упругости при переходе пружины из деформированного состояния в начальное, недеформированное:

Потенциальная энергия гармонического осциллятора пропор­

маций пружины. Но если мы подставим в нее вместо х величину смещения гармонического осциллятора в виде (8.8), то найдем, что мгновенное значение потенциальной энергии осциллятора из­ меняется со временем -по следующему закону:

U{t) =-y&XmSin2Cöt,

или

U(t)=-^-kX?n cos2ai.

Нели в обычную формулу кинетической энергии Ек— — тѵ2 под­

ставить мгновенное значение скорости колеблющегося тела:

ѵ = - ^ ~ — аХтcos at,

или

v = — = —®Хтsin соt. dt

272

то получим выражения:

или

(8.16">

Сложив мгновенные значения потенциальной и кинетической энер­ гии и учтя, что согласно (8.11) пт 2= /г, найдем, что их сумма, т. е. полная механическая энергия Е, остается постоянной в любой, момент времени, т. е. сохраняется:

Это есть проявление закона сохранения энергии. Заметим, что максимальное значение потенциальной энергии равно максималь­ ному значению кинетической энергии, а каждое из них равно пол­ ному запасу энергии гармонического осциллятора:

Птахmax —ЕL- jк max —

Полная энергия осциллятора равна на основании закона сохра­ нения энергии той энергии, которая была сообщена ему в началь­ ный момент, при возбуждении колебаний. Этот неизменный запас энергии в последующие моменты времени по-разному распреде­ ляется между потенциальной и кинетическойэнергией, что обычна формулируется как переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно в процессе колебаний.

Если на графике, показанном на рисунке 77, провести горизон­ таль, соответствующую полной энергии Е осциллятора, то абсцис­ сы ее точек пересечения с потенциальной кривой определят область пространства, в которой может находиться колеблющееся тело. Вне этого отрезка тело находиться не может, так как в таком случае потенциальная энергия превысила бы полную'энергию, что означало бы нарушение закона сохранения энергии. Максималь­ ная абсцисса Хт представляет собой амплитуду колебаний. Дви­ жение гармонического осциллятора, таким образом, является фи­ нитным, т. е. может происходить в конечной области пространства.

Все это справедливо в классической механике. Учтем теперь волновые свойства осциллятора, т. е. что с осциллятором связана волна де Бройля. Осциллятор может находиться только внутри отрезка длиной 2Хт, только в отличие от рассмотренного ранееслучая стенки потенциального ящика теперь не вертикальные, а наклонные, образующие параболу (см. рис. 77).

Подобно уже рассмотренному случаю, будем исходить из того,, что и с гармоническим осциллятором, движущимся в ограничен­ ной области, связана стоячая волна де Бройля. Оба конца отрезка,. X — Хт и X = —Хт, равноправны. Поэтому данная задача, как и в рассмотренном случае, аналогична отысканию'-стоячих упругих:

волн D струне или трубе, закрытой или открытой на обоих концах.

де Бройля, выраженной через энергию, то получим выражение, со­ держащее энергию и целое число п, т. е. формулу квантования <’ энергии. Согласно исходной формуле де Бройля (8.2) длина волны де Бройля определяется импульсом движущейся частицы, а следо­ вательно, ее кинетической энергией:

Ру2тЕк

(р2 = 2тЕ в нерелятивистском приближении). Но согласно (8.16) ■амплитуда колебаний выразится так:

В левую часть входит кинетическая энергия осциллятора, а не полная энергия, как в правую часть. Это обстоятельство ослож­ няет задачу. Поскольку кинетическая энергия зависит от времени, то будет зависеть от времени и длина волны де Бройля. Обойдем эту трудность, максимально упростив задачу: вместо переменной длины волны X введем некую постоянную «эффективную» длину волны Я,о. Это значит, что переменную кинетическую энергию мы заменим некоторым ее «эффективным» значением, положив

где Е — полная энергия осциллятора, a ß — неизвестный коэф­ фициент, о котором только известно, что он меньше 1 (ß < 1).

h

Подставив (8.20) в (8.19), получим:

4 )/2mßE r k

формулу квантования энергии гармонического осциллятора:

274