Файл: Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей.pdf

чая волна, а их совокупность А,і, Яг, . . . , Я„. Важно только, чтобы на длине струны укладывалось целое число полуволн:

Эти рассуждения применимы и к дебройлевскнм стоячим вол­ нам, связанным с электроном в ящике. Подставив в (8.5') волно­ вое число к вместо Я и учтя формулу де Бройля (8.4), получим:

Это значит, что импульс, а следовательно, п скорость элект­ рона в ящике может иметь не любые значения, как это допу­ скает классическая физика, а принимать дискретный ряд значе­ ний: его величина является целым кратным от величины fin/l. Другими словами, импульс электрона, движущегося в ящике, кван­ туется. Заметим, что в (8.6) не входят характеристики электрона: ни его заряд, ни масса. Это значит, что полученная формула кван­ тования относится не только к электрону, но и ко всякой другой частице, движущейся в одномерном ящике. Это является след­ ствием универсальности формулы де Бройля — она описывает волны, связанные с движущимися заряженными и незаряженными частицами.

Энергию электрона в ящике найдем, используя рассмотренное в главе 3 нерелятивистское соотношение между импульсом и энер­ гией:

Из формулы (8.7) видно, что энергия электрона в ящике тоже квантуется. Совокупность дозволенных значений энергии состав­ ляет дискретный ряд значений. Различие в квантовании импульса и энергий состоит в том, что значения импульса пропорциональны целым числам, а дозволенные значения энергии пропорциональны квадратам п2 целых чисел. Другими словами, значения импульса представляют собой ряд равноотстоящих величин, тогда как допу­ стимые значения энергии составляют последовательность значений, возрастающих пропорционально п2. Дозволенные значения энергии электрона в ящике образуют последовательность энергетических уровней. Растояние между соседними энергетическими уровня­ ми возрастает с увеличением номера уровня. - Целое число п — номер энергетического уровня — называется квантовым числом. Никакими значениями энергии или импульса, промежуточными между дозволенными значениями, электрон в ящике обладать не может. Это аналогично тому, что если собственные частоты струны

266

кратны 100 гц, то струна не может колебаться ни с одной часто­ той, лежащей между этими значениями, например с частотой 150 или 237 гц. Причина квантования энергии и импульса заключается в дискретности, линейчатом характере спектра дебройлевских волн электрона в ящике.

На первый взгляд представляется, что формулу (8.7) кванто­ вания энергии можно получить из квантового соотношения (8.5) между энергией частицы, и частотой дебройлевской волны-, если воспользоваться известным соотношением между частотой и дли­

рость частицы, выражающуюся через импульс по формуле ѵ — р/т. При таком подходе для энергии получим выражение, отличающееся от выражения (8.7) только отсутствием множителя 2 в знамена­ теле. Однако при таком выводе формулы ошибка состоит в том,

рость частицы равна, как показывается в квантовой механике, так называемой группой скорости волны де Бройля. В учении о вол­ нах показывается, что при наличии дисперсии, т. е. в случае зави­ симости фазовой скорости от частоты, фазовая и групповая ско­ рости отличаются друг от друга. Для волн де Бройля дисперсия существует даже в вакууме. В этом состоит одно из отличий волн де Бройля от других волн, например электромагнитных.

Вывод, который следует сделать из этого замечания, состоит

втом, что исходные формулы квантовой механики (8.4) и (8.5) представляют собой два независимых соотношения, не вытекаю­ щих одно из другого. Иначе оказалось бы достаточно и одного соотношения — (8.4) или (8.5).

То обстоятельство, что рассматривается электрон, движущийся

вконечной области пространства, в «ящике», может быть описано более корректно на энергетическом языке: электрон движется, на­ ходясь все время в так называемой потенциальной яме, или в потенциальном ящике. Невозможность проникнуть за пределы

ящика означает, что на границах ящика потенциальная энергия электрона становится бесконечно большой. Выход электрона из такого ящика невозможен — электрон должен иметь бесконечно большую энергию, что противоречит закону сохранения энергии. С другой стороны, если бы электрон вылетел из ящика, т. е. стал бы свободной частицей, он обладал бы потенциальной энергией, равной нулю. Значит, потенциальная энергия электрона, находя­ щегося в ящике, отрицательна, а по модулю бесконечно Еелика (U = —оо). Таким образом, можно сказать, что электрон дви­ жется в потенциальной яме с бесконечно глубоким плоским дном и бесконечно высокими стенками: U = —оо при 0 ^ х ^ /; U = О

267

потенциальная энергия не может мгновенно (в точке) возрасти. Для этого потребовалась бы бесконечно большая сила. Кроме того, потенциальная энергия не может уменьшиться до —оо, так как при этом была бы освобождена бесконечно большая энергия, что про­ тиворечит закону сохранения энергии.

Реальные условия движения электрона в атоме отличаются от описанного идеализированного случая тем, что стенки потенциаль­ ного ящика не вертикальны. Физически это означает, что электрон на разных расстояниях от ядра обладает различными значениями потенциальной энергии, т. е. что, находясь на различных расстоя­ ниях от ядра, электрон по-разному взаимодействует с ним. Дви­ жение электрона в кулоновском поле ядра рассмотрено ниже.

Квантование энергии удобно представлять графически. Кванто­ ванные значения энергии, или уровни энергии, представляются отрезками на оси ординат, отсекаемыми горизонтальными отрез­ ками, параллельными оси абсцисс. Полная энергия частицы равна сумме потенциальной и кинетической энергии (Е — U Ек ). По­ тенциальная энергия в данном случае, как отмечалось, имеет одно и то же значение: U — —оо. Формула квантования (8.7), как видно из вывода ее, относится к кинетической энергии. Кинетиче­ ская энергия, конечно, положительна. Однако полная энергия ча­ стицы, равная сумме бесконечно большой по модулю отрицатель­ ной потенциальной энергии и конечной по величине положительной кинетической энергии, будет о т р и ц а т е л ь н о й величиной (Е = —оо -{- £ к < 0). Так и должно быть для связанной частицы. Только в пределе при п — оо кинетическая энергия станет беско­ нечно большой, а полная энергия станет равной нулю; тогда ча­ стица окажется свободной, т. е. она преодолеет бесконечно высо­ кий потенциальный барьер.

268

зонтальными отрезками, при­ поднятыми над начальным уровнем на положительные величины,

равные квантованным значениям кинетической энергии.

Следует иметь в виду, что на величину квантованных значений энергии решающее’ влияние оказывает вид потенциальной крі-шой, т. е. «форма стенок» потенциального ящика. Для иллюстрации этой идеи рассмотрим еще две задачи, важные также и сами по себе: задачу о квантовании энергии так называемого линейного гармонического осциллятора и задачу о квантовании энергии электрона в водородоподобном атоме.

Линейный гармонический осциллятор

Так называется всякое тело или частица, совершающие гармо­ нические колебания по некоторой линии, в частности по прямой.

осциллятора: груз на пружине, математический маятник при ма­ лых амплитудах и др. (Само название «осциллятор» происходит от латинского глагола oscillare — к о л е б а т ь с я . )

Кинематическое уравнение, т. е. зависимость координаты дви­ жущегося тела от времени, для гармонического колебания выра­ жается функцией синус или косинус:

x(t) = Х тcos at.

Причиной гармонического колебания является действие на тело возвращающей силы, т. е. силы, направленной к положению равно­ весия, причем возвращающая сила должна быть по абсолютной величине пропорциональна координате (смещению) .ѵ:

Знак «—» отражает то обстоятельство, что возвращающая сила всегда направлена к положению равновесия. Условию (8.9) удо­

269