Файл: Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей.pdf

М. Планка о квантах энергии. Как известно, для теоретического вывода закона излучения абсолютно черного тела, согласующегося с опытными данными, Планк вынужден был ввести гипотезу, со­ гласно которой атомы вещества, которые Планк считал гармони­ ческими осцилляторами, способны поглощать энергию излучения не в любых количествах, а дискретными порциями, кратными неко­ торой минимальной величине. Эти порции Планк назвал квантами энергии от латинского слова quantum — количество). Согласноисходной гипотезе Планка наименьшая величина кванта энергии, которую может поглотить гармонический осциллятор, пропорцио­ нальна частоте колебаний осциллятора:

ei=hv,

где Іі — введенная Планком универсальная постоянная, впослед­ ствии названная его именем. Таким образом, согласно Планку, гармонический осциллятор может поглощать только кванты энер­ гии следующих величин: еп = nhv, п — 1,2, . . . . Но на такие же величины будет увеличиваться и энергия самого осциллятора. По­ этому исходную гипотезу Планка можно трактовать как услови& квантования энергии линейного гармонического осциллятора. Энер­ гия осциллятора может принимать только следующие квантован­ ные значения:

Энергетический спектр гармонического осциллятора, согласно Планку, представляет собой совокупность равноотстоящих уровней, расстояние между которыми равно Ііѵ.

Согласно полученному условию квантования (8.21) энергетиче­ ский спектр осциллятора тоже представляет собой систему равно-

л , отстоящих уровней, расстояние между которыми равно — — «ѵ,

4 fß Чтобы (8.21) полностью совпадало с'планковской формулой (8.22), должно быть выполнено условие:

- ^ = 1 , 4 Vß

откуда определим величину коэффициента ß:

Результаты строгого квантовомеханического рассмотрения гар­ монического осциллятора будут проведены ниже.

Наконец, рассмотрим кулоновский потенциальный ящик, в ко­ тором заключен электрон атома водорода и так называемых водородоподобных ионов, в которых вокруг ядра движется тоже только один электрон. Единственный электрон находится в куло­ новском поле ядра, и его потенциальная энергия равна согласно известной формуле электростатики произведению заряда электрона q = —е на потенциал ср поля ядра в месте нахождения электрона:

Будем для простоты орбиту электрона считать круговой. Вы­ ясним, какому квантовому условию подчиняется волна де Бройля, связанная с электроном в этом случае. Поскольку положения электрона повторяются каждый раз после прохождения расстоя­ ния, равного длине его круговой траектории 2лг, то и фазы волны де Бройля должны повторяться при прохождении волной этого расстояния. А это будет иметь место только в том случае, если на длине траектории укладывается целое число длин волн де Бройля:

Подобный случай в радиотехнике называется резонансом бегу­

радиус орбиты — непосредственно с потенциальной энергией, не­ обходимо, как и в предыдущей задаче, выразить кинетическую и потенциальную энергию через полную. В данном случае это можно сделать проще и определеннее, чем в предыдущем. Ниже в связи с постулатами Бора будет показано, что для круговой орбиты кине­ тическая энергия электрона равна половине абсолютной величины его потенциальной энергии:

£ » = т М -

Полная же энергия по модулю также равна половине потен­ циальной энергии:

£ = £ „ + ( / = - i |ü |_ |t / | = - ± | ü | .

Вследствие этого кинетическая энергия электрона равна модулю его полной энергии, а потенциальная энергия — удвоенному зна­ чению полной энергии:

Подставив (8.25) в (8.24) и решив полученное соотношение •относительно полной энергии, получим:

:276

■J/|£|=-V nß у2in , 1 1 nli

Z2 me'1

*8/iW ‘ ’

я= 1, 2, 3, ... . (8.26)

График кулоновского потенциального ящика и спектр энерге­ тических уровней (8.26) приведены на рисунке 78. Анализ фор­

о волне де Бройля, связанйой с движущейся частицей. Наука о движении микрочастиц представляет собой механику волн де Брой­ ля. Поэтому она и называлась вначале волновой механикой.

Чтобы теория микромира представляла собой логически строй­ ную научную теорию, необходимо иметь основной закон этой тео­ рии, подобный второму закону Ньютона в классической механике. Аналогично тому как второй закон Ньютона позволяет, зная на­ чальные условия, рассчитывать положение и скорость частицы в любой момент времени, так и в микромире необходимо иметь уравнение, с помощью которого можно рассчитывать параметры волны де Бройля для любой точки пространства в любой момент времени. Эта главная задача была решена в 1926 г. молодым тогда швейцарским теоретиком Эрвином Шрёдннгером, который открыл фундаментальнейшее уравнение, названное его именем.

Неизвестной величиной, входящей в уравнение Шрёдингера, является некая функция координат и времени — так называемая 'Г-функция (пси-функция). Она обладает следующим свойством: квадрат ее модуля равен вероятности нахождения частицы в дан­ ной точке пространства в данный момент времени. Строго говоря, Ч;-функция зависит от координат и времени. Однако во многих случаях, например для движения электрона в атоме, потенциаль­ ная энергия в данной точке с течением времени не изменяется, т. е. не зависит от времени явно. В таком случае и состояние частицы не будет зависеть явно от времени, т. е. будет, как говорят, ста­ ционарным. В этом случае можно ввести 'Ф'-функцию, зависящую только от координат: 4х(.ѵ, у, г). Уравнение, которому должна

277

удовлетворять эта функция, называется поэтому стационарны к уравнением Шрёдингера. Оно имеет вид:

Здесь m — масса частицы, Е — ее полная энергия, A4' в декарто­ вой системе координат представляет собой следующее выражение:

Знак А называется оператором Лапласа или лапласианом^! обо­ значает выражение

. д2 д2 д2 *дх2 + ду2 + дг2 '

Рассмотрим решения уравнения Шрёдингера для простейших случаев.

Свободно движущаяся частица

Поскольку внешние силы на частицы не действуют, ее потен­ циальная энергия постоянна и ее можно положить равной нулю (U = 0). Направим ось Z вдоль вектора скорости, остающегося постоянным по величине и направлению. Задача оказывается, как говорят, одномерной и от лапласиана остается только один член:

dz2

Уравнение Шрёдингера в этом случае приобретает предельно упрощенный вид:

Убедимся непосредственной подстановкой, что ему удовлетво­ ряет функция

выражающая изменение колеблющейся величины в бегущей волне.

ді\у

получим:

9 / 7 7

—k2A sin (со^— kz) -\—^ - E A sin (со/ — kz) = 0 .

Это соотношение должно быть тождеством, и оно им действитель­ но является. Из него находим:

k = ~ ^ 2 піЕ. ■

2 7 8

Но поскольку

у‘2тЕ = р,

то

п

А это есть не что иное, как исходное соотношение де Бройля (8.4) . Это отнюдь не означает, что из уравнения Шрёдингера «вы­ водится» соотношение (8.4). Наоборот, Шрёдингер искал и нашел такое уравнение, которое содержало бы соотношение де Бройля (8.4) — основное соотношение, определяющее волновые свойства частиц.

При решении уравнения Шрёдингера всегда принимается так­ же, что частота, входящая в выражение Ч/-функции, определяется полной энергией частицы согласно второму основному соотноше­ нию — формуле (8.5). Таким образом, уравнение Шрёдингера органически содержит в себе оба основных соотношения, опреде­ ляющие волновые свойства частиц, характеризующие корпускуляр­ но-волновой дуализм, •— формулы (8.4) и (8.5).

Итак, свободной частице в квантовой механике соответствует плоская монохроматическая волна де Бройля; она занимает все бесконечное пространство, амплитуда ее всюду постоянна. По­ скольку квадрат амплитуды волны де Бройля равен вероятности нахождения частицы в данной точке, полученное решение урав­ нения Шрёдингера означает, что имеется одинаковая вероятность нахождения свободной частицы, в любой точке пространства. С от­ сутствием наглядности у такого утверждения приходится мирить­ ся, поскольку совершенно ненаглядным является основное пред­ ставление квантовой механики — корпускулярно-волновой дуа­ лизм. Неиаглядность представления о вероятности, одинаковой во всем пространстве, усугубляется еще и тем, что плоская моно­ хроматическая волна сама по себе является идеализированным понятием: она бесконечна, не имеет ни начала, ни конца как в про­ странстве, так и во времени; в уравнений плоской монохроматиче­ ской волны координата z и время t могут иметь любые значения: --ООSC! z йС оо, -—оо ^ t ^ оо.

Волна, распространяющаяся в ограниченной области простран­ ства или длящаяся конечный промежуток времени, не может быть, строго говоря, плоской монохроматической волной. Волна, харак­ теризуемая постоянной частотой и постоянной амплитудой, но для­ щаяся конечный промежуток времени т, тем ближе по своим свой­ ствам к монохроматической волне, чем сильнее выполняется нера­ венство т Т, т. е. чем большее число периодов колебаний содер­ жит волновой процесс. Подробнее об этом будет сказано ниже,

в§ 4.

Вслучае свободной частицы уравнение Шрёдингера не накла­ дывает никаких ограничений на энергию частицы. Это значит, что энергия свободной частицы не квантуется, она может иметь любые значения. Квантоваться, принимать дискретные значения может

279