Файл: Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей.pdf

энергия только связанных частиц, например электрона в атоме. Это общее правило, которое иллюстрируют рассмотренные выше

в (8.27) потенциальную энергию линейного гармонического осцил­ лятора:

ние Шрёдингера привести к следующему виду:

Как показывается в математической физике, это уравнение

имеет решения не при любых значениях коэффициента •£-,

а только при определенных:

Уравнение Шрёдингера приводит к выводу о квантовании энер­ гии гармонического осциллятора. Формула квантовой механика (8.29) похожа на первоначальную формулу Планка (8.22): дозво­ ленные значения энергии оказываются равноотстоящими друг от друга на величину Ігѵ0.

Однако между формулами (8.29) и (8.22) имеется существен­ ное расхождение в величине н а и м е н ь ш е й энергии гармониче­ ского осциллятора. Согласно первоначальной формуле Планка, а также классической физике наименьшая энергия осциллятора равна нулю и соответствует неподвижному осциллятору, находя­ щемуся в положении равновесия. На этом основано представление классической физики о том, что при температуре, равной абсолют­ ному нулю, частицы в кристаллах должны быть неподвижными,, они, как говорят, должны «замерзнуть».

Согласно же формуле квантовой механики (8.29) минимальная энергия осциллятора (при п — 0) имеет конечную величину:

1

Ома никакими способами, никаким охлаждением не может быть уменьшена, а тем более отнята у осциллятора. Такой энер­ гией осциллятор обладает и при Т = 0; поэтому величина Е0 на­ зывается нулевой энергией. Согласно современным представлениям наличие нулевой энергии проявляется в так называемых нулевых колебаниях, которые частицы, составляющие кристалл, совершают при абсолютном нуле температуры. Только эти колебания не носят характер теплового движения.

Наличие нулевой энергии приводит к ряду типично квантовых явлений. Например, становится возможным понять, почему гелий является единственным веществом, которое может существовать в жидком состоянии при абсолютном нуле.

Это обусловлено двумя причинами. С одной стороны, силы взаимодействия атомов гелия очень малы (инертный газ!), так что глубина потенциальной ямы невелика. Другая причина свя­ зана с малостью массы атома гелия по сравнению с другими инерт­ ными газами. Согласно формуле (8.11) собственная частота осцил­ лятора тем больше, чем меньше его масса. Малость массы атома гелия обусловливает сравнительно большую частоту ѵ его колеба­ ний, а это согласно формуле (8.29) является причиной сравнитель­ но большой величины нулевой энергии 1/2hx.

Вследствие этого атомы гелия, и при абсолютном нуле дви­ жутся столь интенсивно, что гелий оказывается жидким и при Т = 0. Поскольку причина этого лежит в наличии нулевой энергии, имеющей сугубо квантовую природу, жидкий гелий называется квантовой жидкостью. Именно вторая причина — малость мас­ сы — позволяет понять, почему из всех инертных газов только ге­ лий может быть жидким при абсолютном нуле.

Туннельный эффект

Пусть на пути частицы, обладающей энергией Е, находится об­

281

Может ли тело очутиться в области, расположенной за го­ рой? На этот вопрос классическая механика дает категорически отрицательный ответ: при условии І/0 > Е тело не может очутить­ ся за горой, так как это противоречит закону сохранения энергии (тело должно совершить работу, превышающую его энергию).

Квантовая же механика на подобный вопрос отвечает иначе: если на пути частицы массой т и энергией Е стоит потенциальный барьер высотой U0 > Е, то имеется отличная от нуля вероятность того, что частица пройдет сквозь этот барьер, т. е. окажется в об­ ласти III. Вероятность D преодоления потенциального барьера, или коэффициент прозрачности потенциального барьера, как показы­ вается в квантовой механике, определяется с точностью до несу­ щественного множителя порядка единицы следующим выражением:

Прозрачность барьера сильно зависит от двух факторов: от «де­ фицита» энергии и 0— Е и от ширины барьера I. Представление об этом дает таблица 2, построенная для UQ-— Е = 5 эв-и разных значений /, имеющих порядок атомных размеров (несколько анг­ стрем).

10 Â) его прозрачность уменьшается чрезвычайно сильно: от до­ вольно большой величины 0,1 (через барьер проходит примерно

практически ни одна частица. Конечно, не следует забывать, что

и ширины барьера его прозрачность резко уменьшается.

Полезно иметь в виду следующее, хотя и формальное, но по­ лезное правило: наличие постоянной Планка в формуле, харак­ теризующей какое-либо явление или процесс, является свидетель­ ством квантовомеханической природы данного явления или про­ цесса. Если в формулах квантовой механики положить h равной нулю, то формулы квантовой механики переходят в соответствую­ щие формулы классической механики или теряют смысл. В этом проявляется принцип соответствия применительно к квантовой ме­ ханике, подобно тому как релятивистские формулы переходят в формулы ньютоновской механики, если в них скорость света в ва­ кууме считать бесконечно большой.

282

Рассматривая с этих позиций формулу (8.30), можно утверж­ дать, что поскольку в нее входит h, то прохождение, или просачи­ вание, частицы через потенциальный барьер —• явление типично квантовое. В пределе при /і-»-0 стремится к нулю и прозрачность барьера ( D 0), т. е. в классической механике прохождение ча­ стицы через потенциальный барьер невозможно. Любопытно, что в классической волновой оптике известно подобное явление — это полное отражение света на границы раздела двух прозрачных сред. Внешне оно, как известно, состоит в следующем: при падении света из среды с большим показателем преломления (оптически более плотной) на границу раздела ее со средой, оптически менее плотной, под углом падения, большим предельного, падающий луч полностью отражается от границы раздела; во вторую среду свет не проникает. Это хорошо известно. Но вот английский физик Кундт проделал следующий опыт, результат которого удивил фи­ зиков. Он подкрасил менее плотную среду флуоресцирующим ве­ ществом. Можно быЛо ожидать, что оно не будет светиться при полном отражении падающего на него света. В действительности же наблюдалось свечение тонкого слоя, прилегающего к границе. Значит, свет проникал и во вторую среду. Это удивительно.

Известный русский физик А. А. Эйхенвальд рассмотрел этот вопрос теоретически, опираясь на уравнения Максвелла для элек­ тромагнитного поля и считая свет электромагнитными волнами. Из решения следовало, что при полном отражении свет проникает во вторую среду, только амплитуда колебаний поля во второй среде убывает по экспоненциальному закону по мере удаления от границы раздела (.4 ~ е~кх) .

Физики вспомнили об этом тонком явлении волновой оптики именно в связи с прохождением через потенциальный барьер. Его можно понять, рассматривая просачивание сквозь барьер дебройлевской волны. Экспоненциальный закон зависимости прозрачно­ сти барьера от его толщины является следствием экспоненциаль­ ного убывания амплитуды волны де Бройля с расстоянием в «за­ прещенной» среде.

Явление прохождения частицы через потенциальный барьер удивительно в том отношении, что оно не сопровождается потерей энергии: частица, пройдя барьер, обладает той же энергией, что и перед барьером. Это дало повод назвать данное явление образно туннельным эффектом, потому что частица при прохождении через барьер не «взбирается» на его вершину, а проходит ниже, как че­ рез туннель. Этот эффект широко проявляется в микромире. В част­ ности, выход а-частиц из ядра при радиоактивном распаде пред­ ставляет собой туннельный эффект (см. гл. 14).

§ 4. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ГЕЙЗЕНБЕРГА

Очень важным математическим выражением корпускулярно­ волнового дуализма в квантовой механике являются знаменитые соотношения неопределенностей, открытые в 1927 г. Вернером Гей-

283