Эта формула имеет совершенно та кой же вид, как и общая формула (8.37) для спектральных серий водоро
3 - серия Пашена да. Для их полного совпадения не обходима только одинаковость число
2 -серия Бальмера вых множителей перед биномом в скобках. Множитель в (8.37)
cRa= |
3-108 — |
• 1,097 • ІО7— = |
1-серия Лаймана |
• сек |
|
м |
|
|
|
= |
3,29-1015( — |
/ |
Рис. 83. |
\ |
сек |
весьма хорошо совпадает с теоретическим множителем в (8-45). Это совпадение является свидетельством того, что теория Бора действительно объясняет закономерность водородного спектра. Тео рия Бора дает объяснение происхождению спектральных серий.
Сопоставление эмпирической формулы (8.37) с формулой тео рии Бора (8.45) приводит непосредственно к выводу, что серия Лаймана испускается при переходе’ электронов на первый энерге тический уровень с вышележащих уровней, серия Бальмера — при переходах на второй уровень с вышележащих, серия Пашена — при переходах на третий и т. д. Общим для линии одной серии яв ляется нижний энергетический уровень (рис. 83). Предельная час тота или предельная длина волны серии излучается ионизирован ными атомами при захвате ими электронов на соответствующий энергетический уровень. Чем больший процент атомов совершает данный переход, тем больше интенсивность соответствующей спект ральной линии. Однако теория Бора не смогла решить задачу о расчете интенсивности различных спектральных линий. Эта задача оказалась под силу только квантовой механике.
Теория Бора объяснила эмпирический комбинационный прин цип Ридберга—Ритца (правило частот Бора выражает этот прин цип). Теория Бора вскрыла физический смысл спектральных тер мов: спектральный терм — это величина, равная энергии уровня, деленной на постоянную Планка.
В заключение рассмотрим опытное подтверждение основной идеи Бора о квантовании энергии атома — опыт Франка и Герца, осуществленный в 1913 г. \Хотя опыт хронологически относится к тому же году, когда Бор сформулировал свои постулаты, опыт Франка и Герца ставился непосредственно для другой цели — для нахождения потенциалов ионизации ртути. Идея метода опытного определения потенциалов ионизации состоит в следующем.
Берется ламповый триод, баллон которого наполнен парами исследуемого газа. В опытах Франка и Герца брались пары ртути под давлением около 0,1 мм рт. ст. Позднее такие ионные триоды получили распространение под названием тиратронов. Электриче ская схема опыта напоминает схему для снятия вольт-амперной
характеристики триода (рис. 84). Отличие состоит в том,
что |
ускоряющее |
напряже |
ние |
величиной в |
несколько |
десятков вольт |
приложено |
между сеткой С и катодом К, анод же имеет потенци ал, который на несколько де сятых долей вольта (0,3— 0,5 в) ниже потенциала сет ки, так что поле между сет кой и анодом является тор мозящим для электронов, прошедших через сетку. В процессе опыта с помощью потенциометра П плавно увеличивалось ускоряющее сеточное напряжение Ѵс и при этом регистрировался анодный ток I. Ожидалось, что при ускоряющем напря
|
|
|
|
жении, |
равном |
потенциалу |
ионизации фі, |
произойдет |
пробой |
газового |
промежут |
ка |
вследствие ионизации га |
за |
ускоренными |
электрона |
ми, |
и это приведет к резко- |
• му |
возрастанию |
тока. На |
пряжение, при котором начнется этот резкий скачок тока, и будет потенциалом ионизации. Вид ожидаемой вольт-амперной характе ристики представлен на рисунке 85 штриховой линией. На опыте же вольтгамперная характеристика (сплошная линия) обнаружила два провала, т. е. два минимума тока, соответствующих напряже ниям 4,9 в и 2-4,9 = 9,8 в, и резкое возрастание тока при напря жении 10,4 в. Одновременно спектроскопические наблюдения пока зали, что при напряжении, равном и кратном 4,9 в, пары ртути
излучают ультрафиолетовую линию длиной волны |
= 2537 Â. |
Эти результаты блестяще подтвердили теорию Бора: электрическая часть опыта подтвердила идею квантования энергии, а оптическая часть опыта — правило частот Бора.
Действительно, резкое уменьшение тока при напряжении 4,9 в свидетельствует о том, что электрон, ускоренный до энергии 4,9 эв', отдает ее целиком атому при неупругом столкновении и не может преодолеть даже слабого тормозящего поля анода. При напря жении, большем 4,9 в на величину задерживающего напряжения, например при Uc = 5,5 в, электроны будут отдавать 4,9 эв атомам ртути и, имея 0,6 эв избыточней энергии, смогут преодолеть задер живающий потенциал анода. Регулируя задерживающий потен циал, можно изменять величину тока в минимуме. В зависимости
зоз
от давления паров, провалов кривой может быть разное количе ство — один, два и более. Если давление паров таково, что рас стояние между катодом и сеткой больше средней длины свободного пробега, то кривая будет иметь только один провал при напря жении 4,9 в; если длина промежутка катод-сетка будет равна или чуть больше удвоенной длины свободного пробега, то кривая бу дет иметь два минимума: первый — при напряжении 4,9 в и вто рой — при удвоенном напряжении 2 • 4,9 в = 9,8 в; в этом случае электрон отдаст по 4,9 эв двум атомам: первый раз — на началь ной половине пути и второй раз — на оставшейся половине пути.
Таким образом, минимумы вольт-амперной характеристики сви детельствуют о том, что атом ртути при неупругом столкновении с электроном может забрать у него только определенную энер гию — ровно столько, чтобы перейти из основного состояния в пер вое возбужденное. Поэтому напряжение 4,9 в называется первым потенциалом возбуждения ртути. Первым потому, что согласно тео рии Бора у атома есть не только первое, но и другие возбужден ные состояния; им должны соответствовать более высокие потен циалы возбуждения. И они тоже были обнаружены на опыте. В учебной литературе о них обычно не говорится, чтобы лишними деталями не затенять главного — подтверждения идеи кванто вания энергии атома.
Наконец, резкое возрастание тока при напряжении 10,4 в сви детельствует о том, что потенциал ионизации ртути равен 10,4 в.
Оптическая часть опыта Франца и Георга подтверждает тре тий постулат Бора, или правило частот Бора: если подсчитать
энергию фотона, соответствующую излучаемой длине |
волны |
Лі = |
= 2537 Â, то она окажется равной |
как раз работе |
возбуждения |
4,9 эв: |
|
|
|
|
s i= h —-=6,62- ІО“34-- |
3- ІО8 |
дж •______1_ |
=4,9 |
эв. |
/-1 |
2537- ІО-10 |
1,6 - 10-19 дж |
|
|
|
|
эв |
|
|
Это значит, что при поглощении энергии 4,9 эв атом ртути пере ходит в возбужденное состояние; при переходе же в основное со стояние он эту энергию отдает в виде излучаемого им фотона.
§ 7. ТЕОРИЯ БОРА С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Несмотря на опытное подтверждение основных положений и результатов теории Бора, скоро обнаружились ее слабые стороны. Насколько блестяще теория Бора объяснила спектры атома водо рода и водородоподобных ионов, настолько беспомощной она ока залась при объяснении спектра следующего за водородом атома гелия, содержащего всего на один электрон больше водорода. По степенно складывалось убеждение, что Бор правильно помял лишь некоторые простейшие закономерности атомных процессов. Нача лись интенсивные поиски более общей теории. Они увенчались со-
зданием волновой, или квантовой, механики. Мы не будем изла гать здесь систематически квантовую механику, а рассмотрим лишь некоторые ее результаты и теорию Бора с ее позиций.
1. Прежде всего интересно знать, в каком отношении нахо дится квантовая механика к формуле Бора (8.42) для квантова ния энергии электрона в атоме водорода и водородоподобном ионе. Оказывается, что квантовая механика дает точно такую же формулу, что и теория Бора. Квантование энергии является есте ственным, неизбежным следствием разрешимости уравнения Шрё дингера для данной задачи и не требует никаких дополнитель ных соотношений, подобных постулатам Бора.
Рассмотрим, как решается уравнение Шрёдингера для атома водорода в простейшем случае — для так называемого основного состояния атома водорода. Ему соответствует минимальная энер гия и сферически симметричная волновая функция. Последнее означает, что волновая функция зависит только от расстояния г точки от начала координат, или полюса, в котором находится ядро, и не зависит от того, в каком направлении от ядра находится эта точка. Можно показать, что уравнение Шрёдингера для этого случая имеет вид:
dP4 |
2 |
dW |
, 2т |
( р |
, |
е2 \ |
Т = 0 . |
(8.46) |
dr2 |
+ г |
dr |
1Р |
\ |
1 |
4ябог/ |
Дифференциальные уравнения этого вида (обыкновенные диф ференциальные уравнения второго порядка) имеют в качестве решения показательную функцию
Здесь b — безразмерная постоянная, а0 — тоже'постоянная вели чина, имеющая, каквидно, размерность длины.
Продифференцировав (8.47) и подставив первую и вторую про изводные в (8.46), получим:
___Й*_/ J ____2 |
\ |
е2 _ Е |
2т \ «о2 га0 |
) |
4яеог |
Это уравнение будет тождеством при выполнении следующих условий: ч
|
JP__2 |
е2 |
fp |
|
(8.48) |
|
2т а0г |
|
|
4 я е о / ' ’ |
2та£' |
Из первого соотношения находим величину а0:
4яеоЙ2
ао = -------- тг~ ■
тег
Но это есть формула для радиуса первой боровскоп орбиты атома водорода. Подставив это значение а0 во второе соотноше-
2 0 |
З а к а з № |
7 G 8 1 |
305. |
мне (8.48), найдем энергию, соответст вующую основному состоянию атома водорода:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Er |
|
nie'1 |
|
|
|
|
|
|
8^e02 |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это выражение совпадает со значе |
|
нием энергии, даваемым теорией Бора |
|
для основного состояния атома водо |
|
рода |
(Z — 1, |
« = 1 ) . |
И для |
других |
|
возбужденных |
состояний |
атома |
водо |
|
рода квантовая механика дает ту же |
|
формулу квантования |
энергии, |
что |
|
и теория Бора. Однако математиче |
|
ское |
рассмотрение |
этого |
вопроса |
го |
|
раздо сложнее, чем рассмотрение ос |
новного состояния атома, и приводить его здесь не будем. |
механика |
2. |
Рассмотрим теперь, как |
согласуется |
квантовая |
с воровскими представлениями |
об |
электронных |
орбитах |
(о |
них |
неизбежно еще долго будет говориться в курсе физики, средней школы).
С помощью волновой функции (8.47) найдем вероятность того, что электрон атома водорода в его основном состоянии находится на расстоянии г от ядра. Вопрос следует поставить так: какова вероятность dw того, что электрон находится на расстоянии or ядра, заключенном между г и г -j- dr, т. е. в шаровом слое, объем которого dV = 4лг2 • dr.
Так как |ТГ|2 представляет собой плотность распределения веро ятностей, то
dw = |T f d V = |4 f 2лг2 dr.
Подставив сюда выражение (8.47) для волновой функции, по- -лучим:
frZe -2 r/a0 . 4 я г 2 й?Г= Q (л) d r,
Q(г) = Ь2е~2г!а° • 4лг2.
График этой функции представлен на рисунке 86. Приравняв нулю
dg (г)
производную ——— , найдем расстоянияе гт, которому соответст
вует максимальная вероятность: rm — ÜQ.
Это замечательный результат, вскрывающий истинный смысл боровских радиусов орбит.: боровские орбиты — это геометрические места точек, для которых вероятности нахождения электрона мак симальны по сравнению с любыми другими точками.
Согласно квантовой ■механике представление об электронных орбитах в атоме не имеет смысла, оно противоречит соотношениям неопределенностей Гейзенберга. Электрон в атоме может нахо-
