Файл: Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей.pdf

часов находятся в одном месте, то их синхронизация не вызывает труда: простым переводом стрелок добиваются одинаковости по­ казаний обоих часов. Но если двое часов находятся в различных местах даже одной и той же «неподвижной» системы отсчета, дело осложняется.

Задача ставится так: в разных точках «неподвижной» системы отсчета К находятся двое одинаково точно идущих часов — назо­ вем их часы А и часы В. Причем часы А и В неподвижны относи­ тельно системы К- Часы нужно синхронизировать, т. е. добиться того, чтобы в тот момент, когда часы А показывают, например, ровно 12 ч, часы В показывали бы тоже ровно 12 ч. Для этого нужно, очевидно, иметь какой-то способ 'сообщить о показании часов А в место нахождения часов В. В принципе можно восполь­ зоваться любым сигналом, например звуковым или световым. У света перед звуком в этом отношении имеется два существен­ ных, но не принципиальных преимущества: во-первых, ззук не может, а свет может распространяться в вакууме, а часы А и В могут находиться в вакууме; во-вторых, свет распространяется гораздо быстрее звука. Но главное преимущество света не в этом. Свет обладает еще тем свойством, что во всех инерциальных систе­ мах отсчета независимо от движения своего источника он распро­ страняется в вакууме с одной и той же скоростью. Именно это свойство света, как мы видели, заставило изменить господствовав­ шее до Эйнштейна представление об абсолютности одновремен­ ности.

Итак, для синхронизации часов воспользуемся световым сигна­ лом. Наблюдатели при часах А и В уславливаются о следующем: из Л в В посылается световой сигнал в тот момент, когда часы А показывают ровно 12 ч. Допустим, часы Л и В находятся на рас­ стоянии 300 000 км друг от друга. Свет проходит такое расстояние за 1 сек. Значит, свет достигнет часов В в тот момент, когда часы Л покажут 12 ч 01 сек. И если на часах В в момент прихода свето­ вого сигнала поставить 12 ч 01 сек, то часы В окажутся синхрони­ зированными с часами А. В каждой точке системы отсчета К нуж­ но представить часы, синхронизированные между собой. По пока­ заниям часов, находящихся в некоторой точке, определяется время наступления события в этой точке.

Таким путем мы снабдили часами пока только одну «неподвиж­ ную» систему отсчета. Рассмотрим вторую инерциальную систему отсчета К', движущуюся относительно К. В качестве часов в К' возьмем такой же периодический процесс, что и для системы К, например излучение какого-нибудь атома. Этим будет обеспечена, одинаковость хода часов в К и К'. Но их нужно еще синхронизи­ ровать между собой. Это можно сделать следующим образом.

Поместим часы в начало координат системы К' и в тот момент, когда эта «движущаяся» система совпадает с «неподвижной» К, а часы К' будут находиться там же, что и часы К, поставим стрелки часов в К' так, чтобы они показывали то же время, что и часы в начале координат системы К. Так будут синхронизированы пока

39

что только единственные часы системы К' — часы, находящиеся в начале координат «движущейся» системы отсчета. Дальше оста­

одного и того же события в разных системах отсчета решается преобразованиями Лоренца, к рассмотрению которых мы пере­

ходим.

§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА

Пусть в некоторой точке пространства в некоторый момент времени свершилось некоторое событие, например вспыхнул свет. В СТО всякое событие характеризуется четырьмя координатами: тремя пространственными х, у, г и четвертой — врейеипбй t. Для того чтобы найти координаты события, нужно прежде всего вы­ брать систему отсчета и в ней — систему координат. Рассмотрим две инерциальные системы отсчета, движущиеся друг относительно друга со скоростью ѵ. В каждой системе отсчета введем декартову систему координат, причем для упрощения задачи оси абсцисс обеих систем направим параллельно скорости относительного дви­ жения систем отсчета. Более того, совместим оси абсцисс обеих систем, а другие оси возьмем попарно параллельными. Таким об­ разом рассматриваются две взаимно параллельные системы коор­ динат, движущиеся одна относительно другой вдоль общего на­ правления оси абсцисс. Какую из систем считать условно непод­ вижной, а какую — движущейся, конечно, совершенно безраз­ лично. Одну из систем, назовем ее системой К, будем считать неподвижной, а другую систему — К' — движущейся. Пусть си­ стема К' движется относительно К слева направо, т. е. в положи­ тельном направлении оси X системы К. Проекция скорости системы К' на ось X и системы К будет положительна: ѵх — ѵ > 0. Если же неподвижной считать систему К', а движущейся ■— систему К, то проекция скорости системы К на ось X' будет отрицательной,

роста систем отсчета. Как мы увидим, выводы, которые будут по­ лучены в дальнейшем, непременно соответствуют этому условию. ■Величины, относящиеся к «штрихованной» системе К', в даль­ нейшем будем . снабжать штрихами. Некоторое событие имеет координаты X, у, z, t в системе К и координаты x', y', z’, t' в системе К'. Требуется найти соотношение между координатами штрихованными и нештрихованными, основываясь на двух посту­ латах Эйнштейна. Другими словами, зная координаты некоторого события в одной системе отсчета, требуется найти координаты этого же события в другой системе отсчета.

40

Пусть в момент времени, когда обе системы координат совпа­ дали, в их общем начале координат вспыхнул свет. Счет времени будем вести от момента начала вспышки. В качестве события, ко­ ординаты которого мы хотим сравнить в двух системах отсчета, рассмотрим достижение светом некоторой точки пространства.

Найдем прежде всего соотношение между абсциссами х и х' этой точки. Вспышка произошла в начале координат как непод­ вижной, так и движущейся системы. Согласно второму постулату Эйнштейна, свет распространяется с одной и той же скоростью с как в системе К, так и в системе К'. Поэтому для координат точки, до которой дошел свет, будут справедливы следующие соотноше­ ния, выражающие закон равномерного движения света в обеих системах:

Полученного соотношения, однако, мало для нахождения связи между X и х'. Поэтому поступим следующим образом.

Попытаемся получить релятивистские преобразования из гали­ леевых преобразований, изменив их надлежащим образом. Именно будем искать релятивистские преобразования в виде:

а) прямые преобразования:

Здесь а и а' — безразмерные коэффициенты пропорционально­ сти, которые нужно найти.

Во-первых, используем то обстоятельство, что этн коэффици­ енты одинаковы: а' — а. Действительно, обе системы отсчета рав­ ноправны (первый постулат Эйнштейна), поэтому переход от одной системы отсчета к другой в преобразованиях координат должен сопровождаться, кроме замены штрихованных величин нештрихо­ ванными, только изменением знака скорости системы координат, о чем говорилось ранее. Временные координаты в разных систе­ мах мы обозначили по-разному, так как время одного и того же события в разных системах отсчета согласно СТО оказывается различным.

Перемножив почленно равенства (2.1) и (2.2), получим:

x x '= c ztt'— a2(x — vt) (x'-\-vt').

Подставим X и x' из (2.1) в правую часть произведения:

c2tt'— a?(c - v ) t - (с+и) t'.

Отсюда найдем искомый коэффициент а:

41

•V

Подставив найденное значение а в (2.2) и (2.2'), получим иско­ мые формулы преобразования координат в СТО:

J X— vt

(2.4)

y i - ß 2

x'-\-vt'

(2.5)

y i - ß 2

Оказывается, что в теории относительности преобразуются не только пространственные координаты, но и время. Подставив в (2.5) выражение для х' из (2.4) и произведя простые алгебраиче­ ские выкладки, получим:

( 2. 6)

y i - ß 2

Аналогично, исходя из (2.4) и подставив в него величину х из (2.5), получим:

(2.7)

Y i - ß 2

Вдоль осей ординат и аппликат скорость относительного дви­ жения систем отсчета равна нулю. Кроме того, мы выбрали систе­ мы координат так, что их оси абсцисс совпадают, а осп ординат и аппликат соответственно параллельны. В этом частном случае ордината и аппликата некоторой точки будет иметь соответственно одинаковые значения во всех системах отсчета:

преобразования координат и времени, играющие очень большую роль в СТО.

Преобразования Лоренца в виде (2.4) — (2.8) иногда называ­ ются частными преобразованиями Лоренца. Этим отмечается то обстоятельство, что они получены для частного случая относитель­ ного движения инерциальных систем отсчета: относительная ско­ рость систем имеет только одну компоненту — вдоль осп абсцисс. Общим является случай, когда относительная скорость систем от­ счета имеет составляющие по всем трем осям: vx, ѵ у , vz. Однако этот общий случай, не внося ничего принципиально нового, сильно усложняет математическую сторону рассмотрения вопросов. Мы ограничимся частными преобразованиями Лоренца.

42