Файл: Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей.pdf

где а — коэффициент поверхностного натяжения ядра. Поскольку согласно (13.4) радиус ядра пропорционален А'/*, выражение для Е3 можно записать в следующем виде:

Ея= из • Д";3,

где ао — новый коэффициент пропорциональности.

Четвертый член учитывает положительную потенциальную энер­ гию, обусловленную кулоновским отталкиванием протонов в ядре. Можно показать, что она определяется формулой

5 AneoR

Заменив R согласно (13.4), получим:

£ 4 = CI3-Z2-/1-'.',

где коэффициент аз может быть рассчитан теоретически.

Два последних члена в (13.5) учитывают более тонкие свойства атомных ядер. Величина Es учитывает то обстоятельство, что ядра, содержащие различные числа протонов и нейтронов, имеют раз­ личную устойчивость. Устойчивость ядра согласно общему правилу связана с энергией: состояние системы частиц тем более устойчиво, чем меньше ее энергия.

Наиболее устойчивы ядра, в которых количество протонов и нейтронов одинаково: NP = Мп, Z = А — Z, т. е. А = 2Z. В таких ядрах на один нуклон приходится наибольшая энергия связи. В об­ щем же случае число протонов отличается от числа нейтронов в ядре.

Тогда ядро обладает добавочной энергией, величина которой

не зависит от знака аргумента---- — , т. е. от того, каких именно

частиц в ядре больше — протонов или нейтронов, эту функцию полагают квадратичной:

А — 2Z \2

т £і=щ( А ) ’

или

гV (Д — 2Z)2

£5= а 4 —---д — — ,

где коэффициент 'a^ находится из опытных данных.

Наконец, последний член в (13.5) учитывает то обстоятельство, что взаимодействие нуклонов зависит от ориентации их спинов. Из-за этого энергия связи у четно-четных ядер максимальна, а у нечетно-нечетных — минимальна. Это различие в энергиях ядер и

440

учитывает величина Е6, для которой чаще всего используется сле­ дующая формула:

£'б=±а5-'4~3/\

где as — эмпирически подбираемый коэффициент.

Знаки «—» и «+» относятся соответственно к четно-четным и нечетно-нечетным ядрам. Для четно-нечетных и нечетно-четных ядер поправка Es не вводится.

В настоящее время принимаются следующие числовые значе­

Формула Вайцзеккера позволяет рассчитать условие устойчи­ вости атомных ядер. Энергия ядра является функцией двух пере­ менных — числа 'протонов Z и массового числа А. Можно найти, при каком соотношении между Z и А энергия ядра JC(Z, /1) мини­ мальна. Для этого следует, как обычно, приравнять нулю произ­ водную от функции по интересующему нас аргументу:

Решая это уравнение относительно ZyCT и подставляя известные значения коэффициентов, получаем:

В качестве ZyCT нужно брать целое число, ближайшее к вы­ численному по формуле (13.6). Эта формула хорошо согласуется с опытными данными. Из нее, в частности, следует, что для не слнш-

у А

ком тяжелых ядер ZyCT ^ - ^ - ; т. е. число протонов равно числу

нейтронов.

Формула (13.5) позволяет вычислить энергию связи любогоядра. Действительно, энергия связи, как уже говорилось, равна разности между полной энергией покоя ядра и энергией покоя со­ ставляющих его нуклонов: Есп = Е — Е\. Строго говоря, энергия связи — величина отрицательная, так как при синтезе ядра энергия выделяется, и, следовательно, энергия ядра меньше энер­ гии покоя его нуклонов на величину выделенной энергии, которая поэтому и называется энергией связи. Однако очень часто под энергией связи ядра понимают положительную величину, равную модулю отрицательной энергии связи.

Учтя это и взяв приведенные выше значения коэффициентов, получим из (13.5) следующую формулу для полной энергии связи ядра:

£ сп= [ 15,75Л — 17,8.+' — Ъ,7\Г-А~'Ъ _

Эта полуэмпирнческая формула тоже называется формулой Вайцзеккера.

4 4 t

Оболочечная модель ядра

.Между свойствами ядер и свойствами атомов была замечена следующая аналогия. Имеются атомы, химически очень устойчи­ вые, неактивные — инертные газы. У них электронные энергети­ ческие оболочки целиком заполнены, причем заполнение каждой следующей оболочки приводит к образованию следующего инерт­ ного газа. Среди атомных ядер особо устойчивыми являются ядра, содержащие некоторые определенные числа протонов и нейтронов, названные магическими числами. Это навело на мысль, что энерге­ тическая структура ядра подобна структуре атома: нуклоны в ядре движутся так, что их энергии образуют отдельные оболочки. То об­ стоятельство, что логические числа существуют как для протонов,

протонов, отличаются тем, что в ядре с большим Z число застроен­ ных протонных оболочек на единицу больше. Так возникла идея построить своего рода периодическую систему ядер, подобную периодической системе элементов Менделеева. Она строится не­ зависимо для протонов и нейтронов. Оболочечная модель ядра была предложена позже капельной, в 1949 г., Гепперт-Майером и И. Иенсеном. В ее основе лежит представление о том, что нуклоны

вядре движутся по «стационарным орбитам», подобно электронам

ватоме, несмотря на существенное различие в характере сил,

действующих на нуклоны в ядре и электроны в атоме.

Как уже говорилось, нуклоны являются фермионами, как и электроны: их спин равен -)—’/г или — ' / 2 в единицах Й. Следова­ тельно, в соответствии с принципом Паулн энергии всех нуклонов ядра должны быть различными. На энергию нуклона влияет вели­ чина его момента импульса, причем, как и у электрона в атоме, момент импульса нуклона состоит из двух частей: из орбиталь­ ного момента импульса и спинового. Орбитальный момент им­ пульса нуклона квантуется. Его величина и направления' опре­ деляются условиями квантования, аналогичными тем, которые су­ ществуют для электронов в атоме:

биты» в пространстве, причем разным ориентациям соответствуют различные значения энергии нуклона, т. е. разные состояния ну­ клона. В каждом из этих 21 -f- 1 состояний спин нуклона может иметь одну из двух ориентаций, причем разным ориентациям спи­ нов тоже соответствуют различные состояния нуклона. Таким об-

442

разом, значению I орбитального квантового числа соответствует 2- (2/ — 1) различных состояний нуклона в ядре. Этим определя­ ется число нуклонов в ядре, которые могут иметь данное значе­ ние I.

Подсчет числа состояний нуклона можно провести другим пу-

тем. Можно ввести вектор J полного момента импульса нуклона,

равный сумме векторов орбитального L и спинового 5 моментов, импульса:

/ = L+S.

А\одуль его квантуется обычным образом:

Й^уТТТ+ТУ.

Здесь / — внутреннее квантовое число. Оно в отличие от I при­ нимает полуцелые значения:

j = l + ~ - при /^ 1 , у= -^- ПРИ ^=0-

* -і»

Проекция / 2 вектора / на какое-нибудь направление квантуется тоже аналогично Lz:

Jz — nifi.

Число tiij называется полным магнитным квантовым числом. Оно может иметь все полуцелые значения между —/ и —j—у, т. е. принимать 2/ -(- 1 разных значений. Следовательно, в ядре может быть не более 2/-)- 1 нуклонов, имеющих данную величину /'.

На первый взгляд кажется, что число состояний нуклона в ядре равно числу состояний электрона в атоме и, следовательно, оболочечная структура ядра должна быть точной копией перио­ дической системы Менделеева для атомов, а магические числа должны представлять собой суммы чисел элементов в периодах менделеевской таблицы: первое магическое числа — 2, второе — 10 (2 -f- 8), третье — 28 (2 -f- 8 -}—18) и т. д. Однако в действи­ тельности магические числа оказываются иными. В этом проявля­ ется специфика ядерных сил по сравнению с кулоновскими си­ лами, действующими на атомные электроны. Для ядра нельзя так просто указать «главное квантовое число», которое сразу опре­ деляло бы и номер оболочки, и число состояний в ней, как это имеет место в случае атома.

Оболочка в ядре — это совокупность близко расположенных

>энергетических уровней, занятых частицами; между соседними оболочками имеется довольно высокий энергетический барьер, т. е. сравнительно большая разница между верхним уровнем нижней оболочки и нижним уровнем следующей оболочки.

443

Ниже приводится таблица (см. табл. 6) заполнения нуклонных оболочек, построенная на основе проведенного рассмотрения. Гори­ зонтальные линии разделяют состояния, энергии которых сильно различаются, т. е. разделяют оболочки.

т.д.

Вкрайнем правом столбце таблицы приведены максимальные числа протонов или нейтронов при полностью заполненных всех

оболочках. Эти числа и являются магическими: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126. Оболочечная модель, как видим, позволяет теоретически объяснить важный результат экспериментов. Магические числа проявляются следующим образом.

Ядра, в которых хотя бы одно число — число протонов пли число нейтронов — является магическим, обладают большой ус-

444