ность распада ядра в единицу времени не зависит от того, сколько времени это ядро «прожило». Например, ядро радия, взятое в два момента его «жизни»: в некоторый начальный и спустя, например, 5000 лет, обладает одинаковой вероятностью распасться в следую щую секунду или продолжать жить. Но вероятность распада в течение 1 сек и вероятность распасться в течение промежутка вре мени в несколько секунд существенно различны. Без всяких вы числений ясно, что вероятность распасться в течение часа будет
|
|
|
|
|
|
|
больше, чем |
вероятность распада в течение секунды. |
не распав |
Это ясно |
из закона (14.3). В нем N — число ядер, |
шихся |
за |
время от 0 до г1 и, значит, |
проживших отрезок времени, |
больший |
t. |
Если число No первоначально имевшихся |
ядер |
доста- |
точно |
велико, то по определению |
вероятности отношение |
N |
—— |
Л'о представляет собой не что иное, как вероятность каждому радио
активному ядру прожить любое время, большее t, т. е. от t до оо. Рассмотрим в заключение вопрос о средней продолжительности жизни радиоактивного ядра. Для этого надо вычислить все время, прожитое всеми из первоначального числа N0 имевшихся ядер, и разделить его на это начальное число N0. Прежде всего уточним понятие «число ядер, проживших время Ь>. Оно равно числу ядер, распавшихся за время между t и t'^-dt. Последнее согласно
(14.2) находится так:
d N = lN { t)d t .
Общая продолжительность жизни равна произведению продол жительности жизни t одного ядра на число ядер с такой продол жительностью:
t ■dN=KN (t) t dt.
Чтобы найти сумму продолжительности жизни всех ядер No, нужно просуммировать выражения XN(t)tdt для всевозможных продол
жительностей жизни от 0 до сю, т. е. вычислить интеграл
/
J lN {t)td t.
о
Тогда среднюю продолжительность жизни одного ядра полу чим, разделив этот интеграл на начальное число ядер N0 (при этом надо учесть, что N (t) = N 0e~u ):
ОО |
со |
|
т = - і - f k N 0e - u t d t = \ f j e - }-t d t = - j - . |
(14.8) |
Таким образом, средняя продолжительность жизни радиоактив ного ядра т равна обратной величине постоянной распада К. В этом отчетливо проявляется статистический смысл постоянной распада и, значит, статистический характер самого процесса радиоактив
ного распада. На основании (14.4) найдем простую связь между средней продолжительностью жизни ядра и периодом полураспада:
т = Т = 0,693 т = 1,44:Тш |
^14,9^ |
Средняя продолжительность жизни радиоактивного ядра равна примерно полутора периодам полураспада. При грубых оценках можно просто считать, что средняя продолжительность жизни ядра равна его периоду полураспада.
Средняя продолжительность жизни, как и всякая средняя ве личина, — величина статистическая. Она характеризует весь кол лектив в целом. Продолжительность жизни отдельных индивидуу мов может быть величиной как большей, так и меньшей средней. Например, тот факт, что средняя продолжительность жизни ядра радия равна 1,441590 = 2300 годам, а ядра радона — 5,5 суткам, означает, что в общем ядро радия проживает до распада во много раз большее время, чем ядро радона, хотя имеются ядра радия, распадающиеся в первые же секунды, так же как и ядра радона, которые распадаются только через тысячу лет.
§4. ПРИМЕНЕНИЕ ЕСТЕСТВЕННОЙ РАДИОАКТИВНОСТИ
ВГЕОЛОГИИ И АРХЕОЛОГИИ
Убыль числа радиоактивных ядер по закону (14.3) может слу жить средством измерения времени t, протекшего с того момен та, когда количество радиоактивных ядер было равно No, до мо мента, когда их количество стало равно N. Другими словами, ра диоактивность может выполнять роль часов. Согласно (14.3)
In No |
1,447’ ln No |
' |
N |
N |
В качестве N обычно берется |
количество |
нераспавшихся ядер |
в настоящее время, так что эта |
формула |
определяет возраст |
данной совокупности радиоактивных ядер. Практически для раз личных целей нужны часы с различным «ходом». Для определения «возраста» минералов, содержащихся в земной коре, следует брать «геологические часы», идущие достаточно медленно, т. е. процессы радиоактивного распада с периодом полураспада того же порядка, что и геологические эпохи — сотни миллионов -и миллиарды лет. Этому условию удовлетворяют изотопы урана (уран-238 и уран235), смесь которых составляет в основном природный уран. Пе риоды полураспада изотопов U-238 и U-235 равны соответственно 4,5 миллиардам и 900 миллионам лет.
В настоящее время химически чистый природный уран содер жит 99,28% изотопа 9 2 U 238, 0,714% изотопа 9 2 U 2 3 5 и 0,006% изотопа 92ІІ234, так называемого урана-2, являющегося продуктом распада 92и 238. Ввиду ничтожности содержания урана-2 им можно пренеб
речь. Как уже говорилось, изотопы урана gsU238 и 9 2 U 2 3 5 являются радионачальниками независимых радиоактивных семейств и в- конце концов превращаются в изотопы свинца. Поскольку ядра свинца — это в итоге распавшиеся ядра урана, то по соотношению количества свинца и урана в природном уране можно рассчитать промежуток времени, в течение которого накопилось данное коли
чество свинца вследствие распада урана. Схема |
расчетов такова. |
В качестве начального момента времени (t = |
0) выберем мо |
мент образования чистого урана, когда в нем нет свинца. Пусть спустя промежуток времени t после начального момента, в при родном уране содержится УѴи ядер урана, УѴрь ядер свинца. По скольку свинец — продукт распада урана, то в начальный момент все ядра были ядрами урана. Следовательно,
Л^о= Л^и+ Л/рь.
Поэтому
ѵѴц (0 — (Л^и+Л^рь) в '-и*.
Отсюда найдем возраст урановой руды t:
Л^и+Л^рь = |
1,44Г ln ^ 1-1 |
Л^рь |
Хи |
|
Nи |
В действительности расчет оказывается более сложным: изо топы урана U238 и U235 имеют, как указывалось, различные периоды полураспада и, кроме того, они превращаются в различные изо топы свинца. Но в принципе необходимые уточнения можно сде лать. Таким путем можно определить возраст минералов, содержа щих уран, и, следовательно, возраст земной коры, если считать, что уран образовался одновременно с земной корой. Определенный
таким |
способом |
возраст земной коры оказался равным |
примерно |
4 миллиардам лет. |
возраст |
В |
археологии |
радиоактивность помогаёт определять |
предметов, найденных при раскопках. Однако урановые часы для этого не годятся по следующим причинам: во-первых, предметы, являвшиеся продуктом деятельности человека, не содержали уращ а -во-вторых, урановые часы идут слишком медленно для человече ской истории. Здесь время измеряется столетиями или тысячеле тиями, поэтому в качестве часов может служить радиоактивный распад с периодом полураспада порядка нескольких столетий или тысячелетий. К счастью, сама природа создала необходимые часы.
Частицы, входящие в состав первичных космических лучей, об ладая колоссальной энергией, при взаимодействии с ядрами эле ментов, входящих в состав земной атмосферы, разбивают их на все возможные «осколки». Последние обладают тоже большой энер гией и составляют вторичные космические лучи. В результате взаимодействия космических лучей с ядрами атмосферного азота последние превращаются в ядра изотопа углерода с массовым числом 14 — в бС14. Этот изотоп углерода радиоактивен. Период
его полураспада равен примерно 5570 годам. Это вполне устраи вает археологов. Более того, постоянство интенсивности первичных космических лучей обусловливает постоянное количество радио активного углерода в атмосфере. Из радиоактивного углерода об разуется радиоактивный углекислый газ, который усваивается растениями совершенно так же, как и обычный С 02. Вместе с рас тительной пищей радиоактивный углерод попадает в организм жи вотных и, будучи усвоенным, входит в состав их тканей и органов. Природа искусно «метит» радиоактивными атомами все живое на Земле.
Если растение пли животное живет, то процентное содержание радиоактивного углерода по сравнению с обычным остается в нем постоянным во времени, так как потерн углерода восполняются питанием. Но если организм погибает, то питание прекращается и восполнения углерода больше не происходит. С этого момента начинается счет времени по радиоактивным часам: содержание радиоактивного углерода в организме или изделии из дерева на чинает убывать в соответствии с законом радиоактивного распада (14.3). Так можно определить время, протекшее с момента гибели организма. Схема расчетов такова.
С помощью счетчика радиоактивных излучений (изотоп 6С14 является ß-радиоактивным) было найдено, что радиоактивный углерод, содержащийся в 1 г живой или недавно полученной клет чатки (например, только что спиленного дерева), излучает 35 ß- частиц в течение 2 мин, т. е. в среднем 17,5 частиц в минуту.'Радио активность изотопа бСи, содержащегося в 1 г живой клетчатки, со ответствует 17,5 распада в минуту. Отсюда на основании (14.4) найдем, какое число ядер изотопа 6С14 обладает такой активностью:
t f = 4 ~ ^ = l , 4 4 • |
dt |
1,44 • 5570 • 365 • 24 • 60 • 17,5= 7,5 • 104 |
к dt |
|
Таким образом, на 1 г углерода, содержащегося в свежей клет чатке, приходится 75 миллиардов ядер радиоактивного углерода. Вследствие распада количество радиоактивных ядер будет убывать со временем согласно закону распада (14.3). Активность остающе гося радиоактивного углерода будет непрерывно уменьшаться, и если сравнить активность в момент времени t с активностью в мо мент t — 0, когда дерево только что погибло, то можно будет опре делить промежуток времени t. Действительно, согласно определе нию активности (14.5) можем написать следующие соотношения, относящиеся к моментам 0 и t :
Учтем, что согласно закону распада
N (t)= N o e-u ,
it разделим первое равенство почленно на второе. Тогда получим:
at
Отсюда определим искомое время і:
*==-і-1п— = 1,44П п — . |
К at |
at |
Если эту методику применять к деревянным изделиям, кото рые обнаружены при археологических раскопках, то, строго гово ря, таким путем можно узнать, когда погибло или было срублено дерево, из которого сделана данная вещь. Но поскольку дерево обычно рубится для того, чтобы из него что-то сделать, то факти чески тем самым будет определен и возраст найденной вещи. Рас
смотрим пример.
Пусть в найденной деревянной вещи на 1 г углерода клетчатки приходится 350 импульсов, зарегистрированных счетчиком в тече ние 40 мин, т. е. активность равна 350/40 = 8,75 распада в минуту.
По найденной формуле сразу определим |
возраст этой вещи: |
144Г 1п-^г^-==-т~п“ ’ ^ |
2 |
= Г—5570 лет. |
8,75 |
In 2 |
|
|
Мы изложили лишь принципиальную сторону метода. Техниче ская сторона его сложна, поскольку радиоактивность изотопа бСы мала, и для ее измерения разработана специальная аппаратура.
§ 5. ТЕОРИЯ РАДИОАКТИВНОГО а-РАСПАДА
Для понимания механизма а-распада важную роль сыграли опыты Резерфорда по рассеянию сс-частиц на ядрах урана. Было найдено, что а-частицы, испускаемые ThC' и обладающие энер гией 8,8 Мэв, отталкиваются от ядра по закону Кулона на любых расстояниях от ядра, вплоть до 30 фермы. Следовательно, высота кулоновского потенциального барьера ядра урана не ниже 8,8/Иэв. С другой стороны, а-частицы, испускаемые самим ядром урана, имеют энергию лишь 4 Мэв, т. е. значительно меньшую высоты потенциального барьера. Отсюда вытекает, что вылет а-частицы из ядра при распаде его представляет собой квантовый туннель ный эффект (см. гл. 8). Это основное представление позволило объяснить ряд экспериментальных фактов, касающихся а-распада. К ним относится прежде всего опытный закон Гейгера—Нэттола: чем больше постоянная распада радиоактивного изотопа, тем боль ше энергия испускаемых нм а-частиц. Количественно этот закон выражается следующей формулой:
ln ?.= .'4+ß ln R, |
(14.9) |
