§ 9 . 3 ] |
О П РЕДЕЛЕН И Е СИСТЕМЫ ПРИ КОНЕЧНОМ ВРЕМЕНИ |
481 |
слова, наилучшим образом аппроксимировать функцию Z (t), связанную только с полезной частью сигнала соотношением
Z { t ) = K \ g { t ) + U{t)\, |
( 9 . 3 1 ) |
где N — заданный оператор.
Формуле (31) для линейного оператора эквивалентна формула
СО |
|
Z ( t ) = $ [g(t— z ) + U ( t - т ) ] п (х) dz, |
( 9 . 3 2 ) |
—00
где п (t) — импульсная ная с его передаточной гичным (9):
переходная функция оператора N, связан функцией N (но) соотношением, анало
СО
|
|
п (£) = |
^ |
N (г'ш) |
eimtdw. |
|
( 9 . 3 3 ) |
|
|
|
— СО |
|
|
|
|
|
Выходная |
функция системы |
Y (t) |
связана с |
входной функцией |
X (t) соотношением |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— ’z)l('z)d- |
|
|
|
|
Y ( t ) = ^ X ( t |
|
|
( 9 . 3 4 ) |
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
или, принимая во внимание (28), |
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
Y |
( 0 - |
5 Г£ (t - г ) + |
и (£ |
- |
х) + |
V (t - |
X)) I (х) dz. |
( 9 . 3 5 ) |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
Погрешность е (t) системы в соответствии с (7) и (31) имеет вид |
|
e(t) = |
Y (t) — Z ( t ) = Y (t) — |
N [g ( t) + |
U ( £ )] . |
( 9 . 3 6 ) |
Погрешность s (t) можно представить как сумму неслучайной или систематической составляющей есио (t) и случайной или флюктуационной составляющей еи (t), т. е.
8 ( 0 — ®еис ( 0 + е сл ( 0 - |
( 9 . 3 7 ) |
Для еСІ]0 (t) имеем очевидное соотношение
т
8 снс (t) = \ g (t — т) I (z) dz— Ng (t); |
( 9 . 3 8 ) |
О
аналогично всд(£) определяется выражением
т
(t) = 5 [U (t - х ) + V (t - z)) I (x) d x — N / 7 ( 0 . |
( 9 . 3 9 ) |
о |
|
V2 31 А. А. Свешников, С. С. Ривкин
482 |
ВЫ БОР ОПТИМАЛЬНЫХ СХЕМ И ПАРАМЕТРОВ ГУ |
Ггл. 9 |
Рассмотрим первый случай, когда коэффициенты кд в выра жении (27) являются неизвестными.
Требование отсутствия систематической ошибки записывается в виде
В соответствии с (38) есис (t) является полиномом от t степени г, обращение в нуль которого возможно только в том случае, когда все коэффициенты полинома обращаются в нуль. Приравнивая эти коэффициенты нулю, получим (г + 1 ) дополнительное условие, которому должна удовлетворять импульсная переходная функ ция I (т) оптимальной системы
Тсо
[т)г = ^ z4 (т) dz == |
j тѵп(т)йт |
(ѵ = 0, 1 , . .. ,r) . |
(9.41) |
0 |
— CD |
|
|
Следовательно, в рассматриваемом случае необходимо найти импульсную переходную функцию I (t) системы, обращающую в минимум величину М [е2 (£)] и одновременно удовлетворяющую (r-j-1) условию (41), т. е. нужно решить изопериметрическую за дачу вариационного исчисления (найти условный экстремум не которого функционала от искомой функции, на которую наложен ряд ограничений). В вариационном исчислении доказывается, что эту задачу на условный экстремум можно свести к задаче опре деления безусловного экстремума функционала I, если положить
I = |
М [е2 (t)] — 2у0т]0 — ... |
— 2угт)г, |
(9.42) |
где постоянные у0, |
у15 . . . , уг — так |
называемые |
множители |
Лагранжа. |
|
|
|
В случае, рассмотренном Заде и Рагаззини [90], предполагается, что спектральная плотность Sx( u>) случайной функции X (t) — ■—g (t) представляет собой дробно-рациональную функцию от со, т. е.
|
|
С л ,Л |
|
Л , І ^ И 1 2 _ |
д а Р „ И ^ Н |
(9.43) |
|
|
|
|
где |
полиномы |
Pm(о>), |
Qu(a>), |
Р*т (<о) и (?*(«>) |
по-прежнему опреде |
ляются формулами (18), а |<2 , » |
| и |
о)Р |
полиномы степени п |
и соответственно т от |
|
с постоянными коэффициентами. |
|
При сделанных допущениях оптимальная импульсная переход |
ная |
функция |
I (і) имеет |
вид |
|
|
|
|
|
|
2 т |
|
|
|
|
|
|
|
l(t) = H D/ j + 2 С.еѴ + 2 |
[А 8 (м) (0 + |
Вд§<«’ (t - |
Т)] + |
|
j-o ' г |
' Р а ~ г ‘ |
' Р L‘ г |
|
|
|
|
+ |
1 <?„М12 |
N (im)SM (іо)etatdw |
( 0 < і < Г ) , |
(9.44) |
|
ЛпИІS |
2 |
§ 9 . 3 ] |
ОП РЕДЕЛЕНИ Е СИСТЕМЫ ПРИ КОНЕЧНОМ ВРЕМЕНИ |
ш |
где Т — время «памяти» системы, bJ (х) — обозначение ;'-й произ водной от дельта-функции, А д, Вд, С , Dj — постоянные, « —
корни уравнения | |
(іа) |2 =0, N |
(іш) — передаточная |
функция |
оператора N, а постоянные, входящие в правую часть равенства, |
определяются путем |
подстановки |
(44) в уравнение *) |
|
г+ |
|
|
|
( ң * ) к * ( *— |
= |
(9 - 4 5 ) |
ft— |
|
J |
|
которому удовлетворяет весовая функция оптимальной системы, и уравнивания коэффициентов как у одинаковых степеней £, так и у одинаковых показательных функций и в (г -j-1) соотношениях (42).
Для оптимальной передаточной функции L (s), пользуясь фор мулой (9), получим
L( s) = $ Z (i) e~,ldt = |
j |
. s t |
2 |
|
D * |
|
dt + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U'=o |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
2 |
ä |
|
- ( 4 |
- |
e^ |
r) + |
2 |
1 (/1*+e_,7’ß ») s?~r] + |
|
|
|
jt) = 0 |
|
P |
|
|
|
|
j= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
/ С О |
|
|
|
NHS |
|
|
1 |
|
|
|
+ |
S |
|
|
|
|
|
|
И |
dt. |
(9. 46) |
Дисперсия погрешности оптимальной системы выражается |
соотношением [66] |
|
т+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D мои= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D [ Z |
( 0 1 |
- |
5 |
z ( і |
— |
X) |
|
(т ) d x - ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
W |
o |
+ |
T i l i + |
• • • + |
T r V |
(9.47) |
Формула |
(47) |
существенно |
упрощается, если полезный сигнал |
не содержит случайной составляющей, |
т. е. |
U(t)—0. В этом случае |
|
|
|
D [в ( 0 U = W o + Т іЧ і + • • • + T r V |
|
( 9 - 4 8 ) |
Приведенные выше формулы относятся к случаю, когда коэф |
фициенты |
к |
в |
выражении |
(27) для |
неслучайной |
составляющей |
g (t) полезного входного сигнала являются неизвестными величи нами. Определение оптимальной динамической системы для случаев, когда коэффициенты к известны или являются случайными, аналогично вышеизложенному. Окончательные формулы можно
найти |
в ряде источников (см., например, [50], [70], [6в]). |
*) |
Знаки 0— и Т + показывают, что точки 0 и Г включены в область |
интегрирования.
484 |
ВЫ БОР ОПТИМАЛЬНЫХ СХЕМ И ПАРАМЕТРОВ ГУ |
[ГЛ. 9 |
Расчеты по определению оптимальных импульсных переходных функций динамических систем с конечной «памятью» существенно упрощаются при использовании приведенных в [ 70 ] таблиц, составленных для различных выражений спектральных плотно стей случайной составляющей полезного сигнала и помехи.
§9.4. Определение оптимальных параметров системы
сзаданной структурой
Применительно к гироскопическим устройствам широкое при менение может получить следующая задача синтеза: известна структурная схема ГУ и его динамические характеристики, опре деляющиеся дифференциальными уравнениями или соответствую щими передаточными функциями; требуется определить оптималь ные значения параметров ГУ. Решение подобной задачи может потребоваться, например, при выборе оптимальных значений пара метров гиротахометра, акселерометра, поплавкового интегрирую щего гироскопа и других ГУ, структурная схема которых задана.
При определении оптимальных параметров системы с заданной структурой речь идет не о выборе всех параметров системы, а лишь тех из них, которые могут быть легко изменены в широких преде лах и которые существенно влияют на точность системы.
Обозначим через р15 р2, . . ., уя параметры системы. Поскольку структура системы (передаточная функция линейной системы) и вероятностные характеристики входного сигнала и помехи из вестны, то критерий качества системы, например дисперсия ее ошибки е (t), может быть выражен в виде функции параметров системы
D [> (01 = F (рі, р2, .. .,рл). |
(9.49) |
Оптимальные значения параметров системы определяются из системы уравнений, которая получается приравниванием нулю частных производных критерия качества по неизвестным пара метрам системы
(9.50)
Решения ^ = |а°лт, ц2 = р.®лт, . . ., |ія = р.°пт системы уравне ний (50) определяют оптимальные параметры рассматриваемой динамической системы.
Указанный подход был применен Р. Филиппсом [19] для определения оптимальной динамической системы, передаточная функция которой выбрана в виде дробно-рациональной функции с неизвестными коэффициентами, значения которых определя лись при оптимизации качества рассматриваемой системы.
§ |
9 . 5 ] |
ОП РЕДЕЛЕН И Е |
КОРРЕКТИРУЮ Щ ИХ УСТРОЙСТВ |
4 8 5 |
в |
Подставляя найденные решения р™т, р..°ит, ... , р°ІІТ системы (50) |
зыражение (49), получим значение дисперсии оптимальной |
системы |
|
|
(9.51) |
|
|
|
|
|
Следует иметь в виду, |
что кроме простейших случаев |
система |
(50) представляет собой сложную систему нелинейных алгебраи ческих уравнений, решение которой является достаточно трудной задачей. При небольшом числе параметров для нахождения экстре мума функции F (рх, р2і • ■ч Ри) целесообразно составление таб лиц или графиков. Используются также приближенные численные методы, например, метод последовательных приближений, иногда называемый применительно к решаемой задаче методом подбора параметров, и метод наискорейшего спуска [50], [4].
Последнее время при решении подобных задач широкое приме нение находит также метод случайного поиска, состоящий в том, что электронной вычислительной машине задается некоторый ал горитм перебора значений искомых параметров, в результате которого отбирается совокупность параметров, обращающих функ цию F (р.х, и2, • • ря) в минимум *).
§ 9.5. Определение оптимальных корректирующих устройств системы с заданной неизменяемой частью
При решении задач синтеза автоматических систем часто при ходится рассматривать случаи, когда система состоит из некоторой неизменяемой части (объекта), принципиальная схема, динами ческие свойства и параметры которой известны, а также из коррек тирующего устройства или фильтра. Требуется определить схему корректирующего устройства, его передаточную функцию и параметры таким образом, чтобы расматриваемая система обладала необходимыми динамическими свойствами. Подобные задачи возни кают и в прикладной гироскопии, например при выборе корректи рующего устройства гировертикали, основанной на использовании трехстепенного астатического гироскопа и системы маятнико вой коррекции, при выборе корректирующей цепи гиростабили затора и т. п. В указанных случаях собственно гироскоп или гироскопическое устройство (его «механическая» часть) представ ляют собой «неизменяемую» часть системы с точки зрения ее дина мических свойств, и задача состоит в выборе рациональной схемы и параметров корректирующего устройства, обеспечивающих тре буемую точность гироскопической системы.
*) См. например, Теория и применение случайного поиска, под ред. Растрипша Л. А., Рига, 1969.
32 А. А. Свешников, С. С. Ривкин |
; |
