Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 217

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

4 8 6

Е Е В Ы БО Р

ОПТИМАЛЬНЫХ СХЕМ И ПАРАМЕТРОВ ГУ

[ГЛ . 9

 

Как известно,

корректирующее устройство может быть после­

довательным или параллельным. На рис. 9.1, а показано коррек­ тирующее устройство с передаточной функцией LK(s), включен­ ное последовательно с объектом (с неизменяемой частью системы),

имеющим передаточную функцию L0 (s); на рис.

9.1,

б

показано

параллельное

включение корректирующего устройства.

Предпо­

 

 

лагается,

что оптимальная

LH(s)

LJs)

передаточная функция L (s)

замкнутой системы опреде­

 

 

 

 

лена, например, с помощью

 

 

методов,

§

излагающихся

 

а)

в § 9.2

и

9.3.

Зная пе­

 

редаточную функцию L0 (s)

 

 

неизменяемой части систе­

 

 

мы, требуется

определить

 

 

передаточною

 

функцию

 

 

Ls(s)

корректирующего

 

 

устройства,

его структур­

 

 

ную схему и параметры.

 

 

Эта

задача

 

решается

 

6)

сравнительно

просто

для

 

стационарных

линейных

Рис. 9.1. Схемы

последовательного (а) и

систем. Принимая во внима­

параллельного (б) включения корректирую­

ние введенные выше обоз­

щих устройств.

 

 

начения, можно найти сле­

 

 

дующие

 

выражения

для

передаточных функций корректирующих устройств при последо­ вательном и параллельном их включении

т

L (s)

(9.52)

г

_Ln (s) L (s)

(9.53)

>

L ( s ) L 0(s)

’

Обычно оптимальная передаточная функция L (s) системы является дробно-рациональной или трансцендентной. В последнем случае и передаточная функция корректирующего устройства также будет трансцендентной, и ее не представляется возможным реализовать с помощью элементарных звеньев. Для приближенной реализации передаточной функции корректирующего устройства ее необходимо аппроксимировать дробно-рациональной функцией. Для этого обычно пользуются методом логарифмических частотных характеристик [70]. Существуют также различные приближенные аналитические методы аппроксимации трансцендентных функ­ ций (см., например, [36]).

§ 9 . 6 ] СУЩНОСТЬ МЕТОДА ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ КАЛМАНА

4 8 7

§ 9.6. Сущность метода оптимальной фильтрации Калмана

Как было указано в § 9.1, основными допущениями при построе­ нии фильтра Калмана являются: предположение, что случайные функции, характеризующие состояние системы, линейно связаны с нормальными (гауссовыми) белыми шумами и, следовательно, также являются нормальными; ошибки измерения ординат этих функций — нормальные белые шумы и, наконец, выбор в качестве критерия оптимальности минимума дисперсии ошибки системы.

Сделанных допущений оказалось достаточно для того, чтобы по­ лучить простой алгоритм построения оптимального фильтра, обладающий, в частности, тем свойством, что по мере получения добавочной информации от источников наблюдения имеется воз­ можность уточнять значения, получаемые с выхода оптимального фильтра и определяемые с учетом всей предыдущей информации, не производя ее новую математическую обработку.

Пусть имеется в общем случае нестационарная система,

характеризуемая

п случайными

функциями Х х (t), Х 2 (і), . . .

. . ., Х п (t), образующими н-мерный вектор X (t),

который будем

называть вектором состояний системы.

 

 

Предположим далее, что вектор состояний динамической си­

стемы удовлетворяет следующей системе уравнений:

 

^

= F (t) X(t) + G (t) U(t),

 

(9.54)

где F (t), G (t) — матрицы размерности [ßXn],

[nXH

соответ­

ственно; U (t)—r-мерный вектор,

компоненты которого

линейно

связаны со случайными функциями

типа белого

шума

и имеют

нулевые математические ожидания и корреляционные функции компонент, определяемые равенством *)

M[Uj(t)U,(T)] = qjl(t)b(t— :)

(/, 1 = і , 2 , ... , г).

'(9.55)

•Здесь

 

 

Q ( 0 =

IIQji (О II

(9-56)

— положительно определенная симметричная матрица размерности [гхН, а § {t—О — дельта-функция.

Вектор V (t) является входным сигналом и характеризует собой помеху на входе системы.

*) В работах, в которых излагается метод Калмана, для обозначения корреляционной матрицы компонент вектора V (г) используют символ «соѵ», т. е. полагают

соѵ [17(0, 17(01 = М [17(0, V' (т)] = Q ( t ) b ( t ~ z ) ,

где штрих означает символ транспонирования. В § 9.6 приняты обозначе­ ния Калмана, отличающиеся от обозначений в главе 9 данной книги.

32 *

488 В Ы Б О Р О П Т И М А Л Ь Н Ы Х С Х Е М И П А Р А М Е Т Р О В Г У [ Г Л . 9

С вектором X (t) соотношением

Y ( t ) = H ( t ) X ( t ) ,

(9.57)

где Я (і) — матрица размерности [ тХв ],

связан вектор Y (t),

компоненты которого определяются с ошибками V (t).

Следовательно, вместо вектора Y (t) результаты измерения

дают компоненты вектора Z (t), связанного

с Y (t) выражением

Z( t ) = Y ( f ) + V(t ),

(9.58)

где ошибки измерения V (t) в теории Калмана предполагаются линейно связанными с белым шумом и имеют нулевые математи­ ческие ожидания, а корреляционные функции компонент вектора V (t) определяются формулой

м [Vj (ОѴІ (Т)] = ГЛ (t) 3 (t-z)

(/, I = 1, 2, ..., m),

(9.59)

где мат])ица

Л(0=ІІО«(01

(9.60)

— симметричная положительно определенная матрица размер­ ности \тХт]. Предполагается, что компоненты вектора U (t) некоррелированы с компонентами вектора V (t). Объединяя (54) с (58) и учитывая (57), получим систему уравнений, характеризую­ щую состояние рассматриваемой динамической системы

*xgL = F(t)X(t) + G(t) U{t),

(9.61)

Z(t) = H{t)X(t) + V{t).

Так как в общем случае матрицы F, G, Н могут изменяться со временем, то система уравнений (61) характеризует нестацио­ нарную динамическую систему, уравнения которой имеют пере­ менные коэффициенты.

Если все элементы матриц F, G, Н постоянны, то система (61) является стационарной. Если II (t)=0 (или G=0), то система называется свободной.

Пусть t0 — начальный момент времени, тогда вектор X (t{)) характеризует начальное состояние системы и является вектор­ ной случайной величиной с нормальным распределением.

При сделанных предположениях векторы X (t) и Y (t) также будут нормальными.

Динамические устройства, выполняющие операцию линейной фильтрации и позволяющие получить заданный случайный про­ цесс из белого шума, часто’называют формирующими фильтрами.

В соответствии со сказанным первое уравнение системы (61) является уравнением формирующего фильтра. Поэтому иногда говорят, что в методе Калмана используется задание случайного

§ 9 . 6 ] СУЩНОСТЬ МЕТОДА ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ КАЛМАНА

489

процесса с помощью формирующего фильтра. На рис. 9.2 приве­ дена матричная блок-схема, соответствующая системе уравне­ ний (61).

Здесь фактически используется п интеграторов; квадратик

собозначением F it) показывает, как осуществляется обратная связь в системе; так, например, / ._z (t) есть коэффициент передачи

свыхода Z-ro интегратора на вход j-то интегратора.

Из теории линейных дифференциальных уравнений известно, что все решения этих уравнений выражаются через так называе­ мую фундаментальную матрицу решений Ф (t, t0), являющуюся переходной матрицей для системы уравнений. Матрица Ф (t , tQ)

Рис. 9.2. Матричнаяблок-схема,

соответствующая системе уравнений (9.61).

являетсяневырожденной и

удовлетворяетдифференциальному

уравнению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

g ,

(9.62)

при начальном условии

 

ф (д

*о) = і<

 

(9.63)

 

 

 

 

где I — единичная

матрица.

[см. (61)]

можно записать

в виде

Тогда решение

для

X

(t)

 

 

 

 

 

t

 

 

X (t) = Ф (t,

g

X (g

-j- (j Ф (t,

i) G (т) и (-) dr.

(9.64)

Если F = const,

 

 

 

 

to

 

 

t o

Ф(і, g = ef ('- 4

 

(9.65)

 

 

 

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений, характе­

ризующих алгоритм фильтра

Калмана.

При этом будем иметь

в виду случай непрерывного

фильтра,

теория которого

развита

в статье Р. Калмана и Р. Бьюси *).

Случай дискретного фильтра был рассмотрен в более ранней статье Р. Калмана *) и используется нами в примере 9.5.

*) См. подстрочное примечание на стр. 475.

Смотрите также файлы