Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

§ 9.2. Определение оптимальной динамической системы при бесконечном времени наблюдения

Как было указано в § 9.1, в задаче Винера на вход динамической системы поступает сумма управляющего воздействия (полезного сигнала) U (t) и возмущающего воздействия (помехи) V (t), кото­ рые являются стационарными случайными функциями времени (будем считать й=г;=0). Рассматриваемая система должна на своем выходе воспроизводить некоторый требуемый сигнал Z (t), который связан с U (t) заданным функциональным соотношением

т. е. ее реакция на единичную импульсную функцию должна обра­ титься в нуль для if 0. Следовательно, импульсная переходная функция I (t) (весовая функция) должна удовлетворять условию

Погрешность е (t) системы определяется разностью между действительным выходным сигналом Y (t) и требуемым выходным сигналом Z (t), т. е.

В связи с этим условие минимума средней квадратической ошибки может быть записано в виде

Задача синтеза оптимальной системы считается решенной, если определена импульсная переходная функция 1(х) или связан­ ная с ней взаимно однозначными соотношениями передаточная функция системы L (іш):

СО

L (іш) = J I (t) e~imidt,

где Su (ш) и (о>) — спектральные плотности случайных процес­ сов U (f )n F (t) соответственно, а Suv ( ш) — их взаимная спектраль­ ная плотность,

Если Z (<) является результатом применения оператора N к текущим или будущим значениям ординат функции U (t), то I65]

г=1к=1

в верхней полуплоскости.

Если функция Z (t) является результатом применения опера­ тора N к ординатам функции U (t) в прошлые моменты времени, то

ляющее и возмущающее воздействия приложены к различным точ­ кам системы, дано в [47], [49]. При этом рассматривается случай, когда кроме полезного сигнала U (t) и помехи V (t) на систему действует возмущение, точка приложения которого не совпадает с точками приложения U (t) ж V (t).

конечное, т. е. система должна обладать, как говорят, конечной «памятью», реагируя только на входные данные, поступающие в си­ стему не ранее чем за время Т до настоящего момента времени. Во-вторых, входной полезный сигнал, помимо случайной состав­

В зависимости от имеющихся сведений о составляющей g (t) следует различать три случая: а) о коэффициентах кд ничего не известно; б) значения коэффициентов кд заданы; в) коэффициенты kq являются случайными и известны их вероятностные харак­ теристики.

Таким образом, в отличие от рассмотренного к § 9.2 случая Винера входная функция системы X (t) содержит неслучайное слагаемое g (t), т. е. выражается формулой

где [g (t) -\-U ([)] и F (t) по-прежнему обозначают полезный сигнал и помеху, а функции U (t) и V (t) будем считать стационарными, несвязанными случайными функциями с нулевыми математиче­ скими ожиданиями.

На выходе динамической системы получаем некоторую вели­ чину Y (t). Для импульсной переходной функции системы I (<) вместо одного условия (6 ) для рассматриваемой системы с конеч­ ной «памятью» должны выполняться следующие два условия:

Первое из них, аналогичное (6 ), является условием физической осуществимости системы; второе — отражает сделанное предполо­ жение о невосприимчивости системы к сигналам, поступающим в систему ранее чем за время Т до настоящего момента времени (конечная «память» системы).

Входной сигнал X (t) должен быть преобразован в некоторый выходной сигнал Y (t), который должен, в определенном смысле