Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

§ 9Л. Общая характеристика методов определения оптимальных динамических систем

Рассмотрим задачу определения оптимальных характеристик динамической системы, составной частью которой является ГУ, работающее под воздействием случайных внешних возмущений. Будем, как это часто делается в современной литературе, эту задачу кратко называть «задачей синтеза».

Как известно, задача синтеза оптимальных систем может быть решена в общем виде при сравнительно несущественных допуще­ ниях о виде случайных воздействий, т. е. обычно удается указать структуру и параметры динамической системы, обеспечивающую ее оптимальность в определенном смысле слова. Хотя подобные оптимальные системы в ряде случае не могут быть построены из реальных элементов (например, с помощью реальных ГУ), по­ добное рассмотрение представляет практический интерес, по­ скольку позволяет оценить, насколько характеристики качества спроектированной системы близки к оптимальной.

Кроме общей постановки задачи определения оптимальной ди­ намической системы, при которой структура системы является произвольной, возможно и определение оптимальной системы за­ данной структуры. В этом случае задача сводится к определению оптимальных параметров системы. Подобная постановка задачи при исследовании ГУ, как правило, имеет основной интерес.

Уточним постановку задачи определения оптимальных дина­ мических систем.

Будем рассматривать линейную динамическую систему, иа вход которой поступает сумма «полезного сигнала» и «помехи», являю­ щихся случайными функциями времени. Примем, что характери­ стики как полезного сигнала, так и помехи известны.

Далее будем считать, что известен вид математического опе­ ратора, результат применения которого к полезной части сиг­ нала является желаемым в данной задаче. Предположим, что установлен критерий качества, характеризующий, насколько выходная функция рассматриваемого устройства близка к жела­ емой.

2)определяются параметры ГУ при заданной структуре си­

стемы;

3)задана неизменяемая часть системы (І'У); определению под­ лежит оператор, соответствующий корректирующему устройству, или параметры корректирующего устройства (при заданной структуре корректирующего устройства).

Первая задача может возникнуть при выборе оптимального типа дифференцирующего устройства или интегратора, реализуе­ мого с помощью гироскопов, например при обосновании опти­ мальной структуры гиротахометра, осуществляющего дифферен­ цирование входного сигнала. Вторая задача (выбор оптимальных параметров ГУ при заданной его структуре) наиболее типична для прикладной гироскопии и возникает при расчетах практи­ чески любого типа гироскопического устройства, — гироскопа направления, гиротахометра, гиромаятника, силового стабили­ затора и т. д. Третья задача (выбор оптимальной схемы и парамет­

ров корректирующего устройства ГУ при заданной его неизменя­ емой части) возникает, например, при проектировании гировер­ тикали, основанной на использовании трехстепенного астатического гироскопа с маятниковой коррекцией. В этом случае сам гироскоп является заданной неизменяемой частью системы и требуется выбрать характеристику (алгоритм) системы коррекции и значе­ ния ее параметров.

При решении различных задач синтеза ГУ можно считать, что основное требование, предъявляемое к ГУ, состоит в обеспечении наивысшей точности или обеспечении необходимой точности при наибольшей простоте устройства.

Сформулируем задачу синтеза математически. Обозначим через X (t) входную функцию системы. Функция X (t) представляет

где U (t) и V (t) — случайные функции, вероятностные характери­ стики которых будем считать известными. Требуемый выходной сигнал системы обозначим Z (t). Функция Z (t) связана с полезной частью сигнала U (і) соотношением

где L — искомый оператор оптимальной системы.

Так как рассматриваются только линейные системы, то опре­ деление оператора L эквивалентно определению соответствующей ему импульсной переходной функции I (t, т) или, если рас­ сматриваемая система является стационарной, — импульсной переходной функции I (т) или соответствующей ей передаточной функции L (s).

Как было отмечено выше, под оптимальной системой понима­ ется такая система, для которой некоторый параметр, принимае­

бования, называется оптимальной в смысле среднего квадратиче­ ского. Выбор среднего квадратического для оценки качества ^си­ стемы определяется как простотой этого критерия, так и тем, что этот критерий отвечает физическому существу решаемой задачи.

В теории оптимальных систем рассматривают различные по своему физическому содержанию задачи на определение оптималь­ ных динамических систем. Основными из них являются:

1) Ф и л ь т р а ц и я ( с г л а ж и в а н и е ) с л у ч а й н о г о п р о ц е с с а . Задача состоит в воспроизведении управляющего сигнала U (t) и в «подавлении» помехи V (t). При решении задачи

стики помехи V (і). Указанную задачу приходится часто решать совместно с предыдущей, так как обычно входной сигнал X (t)

ц е с с а . Эта задача состоит в определении производной от сиг­ нала U(t), на который накладываются помехи V (t).

4) И н т е г р и р о в а н и е с л у ч а й н о г о п р о ц е с с а . Эта задача состоит в определении интеграла от сигнала U (t), на который накладывается помеха V (t).

Впервые задача синтеза по критерию минимума среднего квад­ ратического отклонения была поставлена и решена А. Н.Колмого­

§ 9.1] ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МЕТОДОВ 47 5

ровым [27] как задача экстраполяции и интерполяции стационар­ ных случайных последовательностей *). Далее эта теория была распространена на непрерывные стационарные случайные про­ цессы и применена не только к экстраполяции, но и к фильтра­ ции случайных процессов Н. Винером [89].

При решении этой задачи Н. Винером кроме предположения ли­ нейности системы было сделано второе допущение, существенно упростившее решение задачи. Согласно этому допущению предпо­ лагалось, что время работы системы после ее включения равно бес­ конечности (система с «бесконечной памятью»), т. е. практически система рассматривается после окончания переходного процесса. Наконец, в этой теории предполагалось, что полезный сигнал и по­ меха являются стационарными случайными функциями времени с дробно-рациональными спектральными плотностями, а опера­ тор N явно от времени не зависит.

В дальнейшем Л. Заде и И. Рагаззини [80] теория оптималь­ ных систем была распространена на случай переменного математи­ ческого ожидания полезного сигнала, хорошо аппроксимируемого полиномом, и на случай конечного времени после включения си­ стемы (система с «конечной памятью»). Задача в этом случае фор­ мулировалась следующим образом. На вход системы подается управляющее воздействие, являющееся суммой полинома отно­ сительно аргумента t и стационарной случайной функции. Воз­ мущающее воздействие также является стационарной случайной функцией времени. Спектральные плотности и взаимные спектраль­ ные плотности сигнала и помехи являются дробно-рациональными функциями частоты, а математическое ожидание помехи равно нулю. Требуется найти систему с временем памяти Т, обеспечиваю­ щую равенство нулю математического ожидания ошибки воспроиз­ ведения полезного сигнала и минимум среднего квадратического значения этой ошибки.

Если ввести дальнейшие ограничения на вид сигнала и помехи, то для оператора оптимальной динамической системы удается полу­ чить результаты, более удобные для их практической реализации.

Из полученных таким образом результатов наиболее интерес­ ными представляются результаты Р. Калмана и Р. Бьюси **).

*) Под случайной последовательностью понимается случайная функция, аргументом которой является величина, принимающая только дискретные

Основным допущением, положенным в основу этими авторами, является допущение, что случайные функции, характеризующие состояние системы и ошибки измерения, — нормальные функции, связанные с белыми шумами линейными дифференциальными урав­ нениями.

В этих предположениях оптимальная в смысле среднего квадратического система является линейной.

Более подробно метод оптимальной фильтрации Калмана будет изложен в § 9.6.

В настоящее время теория оптимальных систем получила и ряд других обобщений, которым посвящено большое число работ как советских, так и иностранных авторов. Ссылки на эти работы можно найти в [50], [70], [®].

Для нахождения оптимальных значений параметров системы, структура которой задана, необходимо выявить зависимость принятого критерия качества от параметров системы. Если эту зависимость можно найти в аналитической форме, то оптимальные значения параметров динамической системы определяются из си­ стемы уравнений, которые получаются приравниванием нулю частных производных от критерия качества по неизвестным пара­ метрам системы.

Если указанные уравнения нельзя решить аналитически или не удается выразить критерий качества через параметры системы, то для нахождения оптимальных значений параметров системы приходится прибегать к графическим методам или к приближен­ ным численным методам.

После того, как определена оптимальная динамическая си­ стема, т. е. найдена ее импульсная переходная функция или пере­ даточная функция, возникает вопрос о создании системы, которая была бы наиболее близка к оптимальной. Одна из практически интересных задач синтеза ГУ имеет следующую постановку. Известны динамические характеристики неизменяемой части системы, включающей гироскопы и другие заданные элементы. Требуется определить вид передаточной функции корректирую­ щего устройства и числовые значения его параметров таким образом, чтобы система в целом обладала требуемыми динами­ ческими свойствами. Для решения подобных задач часто исполь­ зуется метод логарифмических частотных характеристик [70]. Применяются также приближенные аналитические методы f3 6 1,

[751, [791.

В настоящей главе не имелось в виду изложить все вопросы,