Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 208

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 9.7]

ПРИМ ЕРЫ ОП РЕДЕЛЕН И Я СХЕМ И ПАРАМЕТРОВ ГУ

499

Введем обозначения

g = (bf + d’)V., Tl= c o s X = ^1_ .

• 9

Ъ — Sin у =

тогда

ш1 = д (Ti — йг).

" 2 = —? (Ті — *Ts).

1 ѵѴ-і -- Ьі Ѵг ч

3

Іі

н~

®4= —?(Гі

+ ,

9

•Ч

+ Ы - (

Принимая во внимание (99), перепишем (89) в виде

s » = - s r x

(9.98)

(9.99)

У

1Ш~ Я (Ті — И г )] [м — Я (— ТГі +

И г )] [<Д — 9 H i +

И г )] h — <7 ( — Гг — И-з)!

 

 

[(О — (— А. -j- ijj.)] [со — (А +

<р)] [со — ( — К —

гр)] [со — ( X — ід )]

(9.100)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для

применения

расчетной

формулы

(19), представим

Sx (m^

в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<9 Л 0 І>

где полиномы Рт (w)

и Qn(м) имеют

корни,

расположенные

только

в верхней полуплоскости комплексного переменного, т. е.

 

 

 

р т( ц )

[<0 — g (— Т1 +

И г )! [<■> — Ч ( h

+

п 2)1

 

 

 

<?«(“ )

[“ — (—А+

[10П<о~ 0-

+

гЮ1

 

 

Используем формулу (19)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

^ ) = - к т яію)j

X (®).

 

 

(9.102)

где

[см.

(2 0 )]

 

 

а

Іг

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(9.103)

 

 

 

 

 

 

 

Ск г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r=1k=1

-

'>-г)к '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

LO

'S

 

*

II

 

 

 

 

 

 

 

 

ll to

 

 

 

 

 

 

 

 

-- X

 

tp.

(9.104)

 

Следовательно, в данном случае

формула (103) приобретает вид

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

<9105>

 

Для

Cj и с2 на основании (21)

имеем

 

 

 

 

 

 

 

/

^ \

QI («>)

О

Л.Л I

 

(9.106)

500 В Ы Б О Р О П Т И М А Л Ь Н Ы Х С Х Е М И П А Р А М Е Т Р О В Г У [ Г Л . 9

или, принимая во внимание (83) и (104), получим

__________________G&2 (ц -р д )________________

Сі

2 Х [(— X +

q ^) + і (р

+

gg2)] [( — X —

g f j )

+

i

(fi 4 - д ь ) 1 '

(9.107)

 

Аналогичным образом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

QU

 

 

L ,

 

 

 

 

 

 

 

 

(9.108)

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_______

 

G№(-—fx-j-tX)

 

 

 

 

 

 

с

2 — ...

 

 

 

 

 

 

(9.109)

 

^ i ) + i

(Р +

9Тг)]

І И

—

9Ті) +

і

(Р +

9Тг)1

’

 

2Х [(X +

 

Вводя (107), (109) и (104)

в (105),

находим

 

 

 

 

 

X И\ __ . ______ G&S [toj (X3 4~ р 2 — д2) + 2 (р2 +

X2) (р. -{- д~іч)\

 

 

(9.110)

[(іо — Іи-Р — X2] і( Р + 9 Т 2 )2 Ч

В Т ~< П і )2] Кр

Т 9Т2)2 +

(^ — <Пі)2]

 

 

Подставив (110)

в (102),

 

принимая во

внимание (101)

и (100),

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

Л

7.

 

 

Т

2

1

+

 

’

 

 

 

(9.111)

 

ь

{Ю) — Копт

 

( і(0 )2

Т

1

 

 

 

где

гр

 

А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СЪ”~В

 

 

 

 

 

 

 

^

 

 

Тз’

К

 

>

(9.112)

 

 

 

’

 

 

 

 

 

 

:

д2С

 

А =

 

 

 

 

 

_

62

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4? (?Т2 +

Р) (è2T2 +

?Р )

+ (З2 —

И 2

’

 

(9.113)

 

 

 

 

 

 

_________ 2 (ду2 +

р )62__________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4? (?Т2 +

р) (62Т2 +

?р) +

(З2 — *2)2 ■

 

 

 

Выражению (111) соответствует передаточная функция L(s)

системы,

которую

можно

записать

в

 

виде

 

 

 

 

 

 

 

 

L ( s ) = k 0

 

Т хз — 1

 

'

 

 

 

(9.114)

 

 

 

T\s^ + 2 Cr2s + 1

 

 

 

Таким образом, в рассматриваемом примере оптимальная пере­ даточная функция дифференциатора должна иметь вид (114). Про­

анализируем это выражение. Здесь С=

" ( 2 = sin у ,

где ®= arctg .

При р

Ьг

0, а

 

 

 

d ■= у V (іи + у ) - Ь\ = ]Д * + Iß ~ - b \ > о,

так как | Ъг |

Ь2 и I Щ\ Ь4; следовательно, tg <р=

0 , т. е. -I-

<( тс и

sin у )> 0. Таким образом, О

0. Далее

 

д2 =

= ]/&? + Ь2 (б2+ -g-) - Щ= 6 ] Л 2 + > Ь2,

§ 9,7]

ПРИМ ЕРЫ ОП РЕДЕЛЕН И Я СХЕМ И ПАРАМЕТРОВ ГУ

501

следовательно,

 

 

 

 

 

q1— b2> 0 ,

 

 

поэтому коэффициент А <С 0.

мы

получаем

обычную формулу

Если в (114) Тг ^> 1, то

(3.127)

для передаточной функции двухстепенного ГТ с «механи­

ческой»

пружиной. Если

С ->0

(помеха

отсутствует),

то

L{s) —>5 , т. е. оптимальный ГТ осуществляет при этом лишь дифференцирование полезного сигнала. Если С 0, то помимоэтого оптимальный ГТ должен еще и сглаживать помеху V(t)r что обеспечивается видом знаменателя выражения (114) для L(s).

Выясним, как изменится выражение для L(s), если отказаться от предположения, что помеха V(t) является белым'шумом. Пред­ положим, в качестве примера, что V(t) является случайным

стационарным процессом, имеющим корреляционную

функцию

 

 

 

 

К,(ч) =

а У ' М

 

(9.115)

и, следовательно,

спектральную

плотность

 

 

 

 

 

 

 

 

л2м

 

 

(9.116)

 

 

 

 

 

ТТ(Ш2 + У) '

 

 

 

 

 

 

 

 

Применяя тот же метод,

что

и ранее, получим *)

выражение

для оптимальной передаточной функции системы

 

 

 

 

L ’ ( s ) = k ' 0

(7 > - 1 )( Г І * +

1)

(9.117)

 

 

 

 

опт

(r')2S2+ 2rjCs + 1 ’

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о п т

 

Q*q\1 I

 

: 2 a2v

 

 

 

 

 

 

V ’

 

 

 

 

В-

62[feg y /g ^ -P V(d + 2 p ^ G * )

— 6 у1G *6 2 + G v 2]

j (9.118)

 

 

(b \/G*b2 +

Gv2 — 62 v/g 5)2 +

’

I

 

 

 

 

 

 

+ (d + 2p vTT*) (62d +

2(a6 ^ * 6 2 + Gv2)

]

r ; = -

•-1

 

/-tyw.

 

r: = -.

 

 

 

В ’

 

V 2І — ?

 

 

 

r:

 

 

6 tf +

(2p +

v) T G yS +

G *62 —

v6 6 G*

(9.119)

B

 

b [v (2[X v'G* 4■ d) — 6 v'Gys + G*62 + 62 6g*] ’

 

 

 

 

d =

V 2aG* + Gb2+ 2 ^G* (Gb'-A + G*V)'

 

 

 

 

( T ' f =

— — i - 1 / ____—___

I

 

 

 

 

v A

q

b f

G v 2 + G * 6 2 ’

 

(9.120)

 

 

 

27”r =

__

“ - -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ’

b^G^-^-G*b‘i ’

 

 

 

*) Последующая часть примера решена А. В. Костровым.

502

ВЫ БОР ОПТИМАЛЬНЫХ СХЕМ И ПАРАМЕТРОВ ГУ

[ГЛ. 9

 

То обстоятельство, что и в данном случае мы получили опти­

мальную передаточную функцию системы в виде (114) (при Т'я < 1), т. е. близкую к передаточной функции реального ГТ, позволяет сделать вывод о том, что применяемые в технике гиротахометры, основанные на использовании двухстепенного гироскопа, близки по своим свойствам к оптимальным дифференцирующим системам для помех, спектральные плотности которых могут выражаться дробно-рациональными функциями.

Пример 9.2. Определить оптимальное значение постоянной времени Т гировертикали, основанной на использовании трех­ степенного астатического гироскопа с маятниковой коррекцией, учитывая при этом ошибки ГВ из-за колебаний маятника-кор­ ректора и вследствие вращения Земли; скоростная погрешность ГВ не компенсируется.

Уравнение движения ГВ по координате а, согласно (3.62), с учетом вращения Земли и в предположении, что в осях карда-

нова подвеса отсутствуют возмущающие моменты,

имеет вид

71<х-}-а = —'^ич] + Х(0>

(9.121)

где Т — постоянная времени ГВ; — переносная угловая ско­ рость системы отсчета, обусловленная вращением Земли; у — угол отклонения маятника-корректора от вертикали из-за качки объекта, являющийся случайной стационарной функцией времени.

Система отсчета связана с траекторией объекта; при движении его по дуге большого круга (по ортодромии) и определяется со­ отношением [см. (3.20)]

 

 

 

— U

cos cp cos К,

 

 

 

(9.122)

где U — угловая скорость суточного вращения Земли;

ср — ши­

рота места; К — курс объекта.

функции

y(t)

примем

Математическое

ожидание

случайной

равным нулю

X = M [ Z(f)]=0,

 

 

 

(9.123)

 

 

 

 

 

 

а корреляционную

функцию возьмем в виде

 

 

 

 

 

К%(т) = Ле-^М ^cos X- 4- у sin X| т

,

 

[(9.124)

где

A = D

] — дисперсия

колебаний

маятника;

p — коэффи­

циент нерегулярности этих колебаний; X — частота,

вблизи кото­

рой

спектральная

плотность

угла отклонения

маятника y(t)

достигает

максимума.

 

Х=3,5

1/сек; t/= 7 ,2 9 x

Дано:

Л = о^=1

град2; р=0,2 1/сек;

X10-5 1/сек; <р=0; курс объекта К произвольный. Требуется опреде­ лить оптимальное значение постоянной времени Т гировертикали.

§ 9.7]

ПРИМ ЕРЫ О П РЕД ЕЛЕН И Я СХЕМ

И ПАРАМЕТРОВ

ГУ

503

Р е ш е н и е .

Будем

считать,

что

курс

объекта

К является

случайной величиной, распределенной

по

равномерному

закону

в пределах

от 0

до 2 к. Тогда для

вероятностных характеристик

угловой

скорости

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и =

U cos <рcos К,

 

 

(9.125)

 

 

 

D [иТ|] =

{U cos <р) 2 D [cos К].

 

(9.126)

Так

как

случайная

величина

К

распределена

равномерно

в интервале

(0 ,2

г:),

то *)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со.чА^=0 ,

D[cos/£j—

 

 

(9.127)

Подставляя (127)

в (125) и (126), получим

 

 

 

 

 

 

й — 0,

 

D [н•I = \ - { U cos cp)2.

 

(9.128)

Согласно (121) случайные ошибки a(t) ГВ обусловливаются случайным характером изменения курса объекта и отклонений маятника-корректора от вертикали. Так как уравнение (121) является линейным, то ошибку a(t) можно рассматривать как сумму погрешности аx(t), вызванной вращением Земли, и слу­ чайной погрешности а2 (г) вследствие ошибок в определении на­ правления вертикали маятником-корректором. Согласно (121) имеем

 

Таг -f- а, =

— Tu ,

 

 

(9.129)

 

7а2 + а2 =

X 00-

 

 

 

(9.130)

Уравнения (129), (130)

позволяют найти дисперсии D Га! (^)] и

D [а2 (0]>

a следовательно,

 

и дисперсию

D [а (£)],

так как

вслед­

ствие независимости а, (t) и а., (t)

 

 

 

 

 

 

D[a(0] =

D[a1 (0] +

DK(01.

(9.131)

Для

дисперсии D [а2 (i)J,

согласно

(129), при а2 (0) = 0

имеем

 

D[*1(t)] =

T * D [ u A i - e ~ r ) ’

(9Л32)

откуда по окончании переходного процесса получим

 

 

D К

(*)1 = r zD [а ].

 

 

(9.133)

Так как М [cos ЛГ] = 0 ,

то

Г1

 

 

 

 

 

D [cos К] = М [cos2 Я[ = М

 

1 1

-rj- >

 

 

у (1 +

cos 2Ä")J =

 

Смотрите также файлы