5 0 4 ВЫ БОР ОПТИМАЛЬНЫХ СХЕМ И ПАРАМЕТРОВ ГУ [ГЛ. 9
Дисперсия |
|
D [а2 (£)] |
стационарного |
решения |
уравнения (130) |
■определяется формулой |
|
|
|
|
|
|
|
D[a2 ( 0 ] = |
|
00 |
S Іш) |
dm. |
|
(9.134) |
j 5«,(а))Ао= |
j j +/-Г2ц )2 |
|
|
|
|
|
|
—СО |
—СО |
|
|
|
|
Учитывая |
(124), |
(1.124) |
и таблицу |
1.1, |
получим |
|
|
|
|
|
в К |
(0 1 = |
|
|
• |
|
|
<9-135) |
Подставляя (133) |
и (135) в (131), находим |
|
|
|
|
|
D [a(f)J = |
ТЮ Ң ] + |
|
|
. |
|
(9.136) |
Для определения |
оптимального значения постоянной |
времени |
Т ГВ в согласии |
с (50) необходимо найти |
частную производную |
и пРиРавнять ее нулю. Учитывая (136), имеем |
|
дО[а(і)\ _ 0 |
|
2 і 4 Г ( 1+ | і Г ) ( ^ + Х*) |
0 |
(9.137) |
|
дТ |
— |
|
|
[УіГ2 + |
(1 +fj.r)2p |
|
|
|
|
|
или, используя |
обозначение |
(2.16), |
|
|
|
|
|
|
|
|
D[b„1 |
|
А(і+р.Г)Ы |
n |
|
|
(9.138) |
|
|
|
(1 + 2р.Г + Ь2У2)2 |
u> |
|
|
откуда |
+ |
2{*r + &aP ) D [ i g — 4(1 + р Г ) 0 2 |
= 0. |
|
(9.139) |
( 1 |
|
Таким образом, для определения \Т имеем уравнение четвер той степени
Ь 1D [i*,J Т * + 4[х6Ю Ң ] Р + 2 (2р2 + Ь*) D [и,] Т 1 +
+ (4[aD Гвч] — ЛрЬ2)] Т + (D Ң ] - АѴ) = 0. |
(9.140) |
Подставляя в полученное уравнение числовые данные при мера, учитывая при этом выражение (128) для D[n^] и решая уравнение (140), численно (методом Ньютона) находим *)
|
Ттт= 14 сек. |
|
|
Для наглядности построим |
по формуле (136) график |
= |
= |
\/D [а (Г)] = /j (71) (рис. 9.4). |
Из графика^следует, что при Гои = |
= |
14 сек среднее квадратичес кое значение оа погрешности ГВ до |
стигает наименьшего значения, при этом вблизи точки минимума кривая изменяется полого.
*) Остальные корни уравнения (140) не имеют физического смысла.
§ 9.7] |
ПРИМ ЕРЫ ОП РЕДЕЛЕН И Я СХЕМ И ПАРАМЕТРОВ ГУ |
505 |
Если |
найденное оптимальное |
значение |
постоянной |
времени |
Т = Т тт гировертикали подставить |
в (136), |
то для минимальной |
дисперсии погрешности ГВ при принятых выше исходных данных и Тот = і4 сек находим D [а(01ш1„=0,135 -ІО- 5 рад2, откуда мини мальное среднее квадратическое значение погрешности ГВ будет
°«min [а (O-lmin = 1 Д 6 • 10-3 рад = 4:',2.
Пример 9.3. Определить оптимальную передаточную функцию корректирующего устройства гироскопической следящей системы
|
|
|
|
|
|
|
|
(ГСС) при ограниченном времени |
наблюдения Г —30 сек, прин |
|
ципиальная схема |
которой |
|
|
|
приведена на |
рис. 9.5. |
Свя |
|
|
|
занные с внутренней рамкой |
|
|
|
подвеса антеннами координа |
|
|
|
тор вырабатывают |
сигналы, |
|
|
|
пропорциональные |
углам от |
|
|
|
клонения оси антенны от за |
|
|
|
данного направления. |
Пода |
|
|
|
вая полученные сигналы на |
|
|
|
датчики моментов Д М гиро |
|
|
|
скопа, получают систему, осу |
|
|
|
ществляющую |
автоматиче |
Рис. |
9.4. График зависимостиоа= / 2 (Г). |
|
ское слежение |
оси |
антенны |
|
|
|
|
за заданным |
направлением. |
|
|
Предполагается, что ГСС должна отрабатывать полезный сигнал в виде линейной функции времени, т. е.
£(*) = *<. + *!*, |
(9.1.41) |
где к 0 я к х — неизвестные коэффициенты. |
угла |
Помеха, возникающая вследствие ошибокизмерения |
рассогласования координатором, имеет достаточно широкий спектр и может считаться белым шумом с равным нулю математическим
ожиданием, т. |
е.спектральная плотностьпомехиV(t)имеет вид |
|
5» = |
Й С’ |
(9Л42> |
а корреляционная функция |
|
|
|
Ке(г) = |
СЦі), |
(9.143) |
где С — интенсивность помехи.
В рамках прецессионной теории гироскоп можно рассматривать как интегрирующее звено и записать его передаточную функцию в виде
(9.144)
Lo (s) — ffs •
33 А. А. Свешников, С. С. Ривкин
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50(5 |
|
ВЫ БОР |
ОПТИМАЛЬНЫХ СХЕМ И ПАРАМЕТРОВ ГУ |
[ГЛ. |
9 |
Р е ш е н и е . |
Положение системы координат |
|
свя |
занной |
с |
антенной, |
относительно |
системы |
(рис. 9.5), |
свя |
занной |
с |
заданным |
направлением, |
определяется |
углами |
а |
и |
(3 |
поворота гироскопа относительно наружной и внутренней осей подвеса соответственно. Полагая, что угол неперпендикулярно сти плоскости рам подвеса невелик, а также пренебрегая влиянием колебаний основания ГСС и нутационными колебаниями гиро скопа, можно рассматривать каналы сопровождения по углам
Координш
Усилит ель- _| |
Д М |
npeoßpaaoßiw. |
|
Рис. 9.5. Принципиальная схема гироскопической следящей системы.
а и р независимо один от другого. В этих условиях задача опре деления оптимальной ГСС сводится к задаче синтеза двух авто номных следящих систем, у каждой из которых полезный входной сигнал g(t) имеет вид (141), а свойства помехи F(£) определяются (142). Следовательно, входной сигнал X(t) следящей системы можно записать в виде
X ( t ) = g ( t ) + V ( t ) . |
(9.145) |
Оптимальная по критерию минимума среднего квадратического отклонения динамическая система^при выполнении условия не смещенности оценки должна иметь в данных условиях, согласно (29) и (44), весовую функцию вида
(9.146)
и соответствующую ей передаточную функцию
§ 9.7] |
ПРИМ ЕРЫ |
О П РЕД ЕЛЕН И Я СХЕМ И ПАРАМЕТРОВ ГУ |
507 |
где коэффициенты |
D x определяются формулами (41). |
Здесь |
Т — время наблюдения, равное времени памяти системы. Дина мическая система, воспроизводящая линейную функцию времени с установившейся скоростной погрешностью, отыскивается в клас се систем с первым порядком астатизма; весовая и передаточная функции оптимальной системы имеют и в этом случае вид соот ветственно (146) и (147). Неизвестные же коэффициенты, согласно
(45) |
и |
(41), определяются |
из |
тождественных выражений |
|
|
т+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
\ Hi) Kt{t — 7) cZx = |
То 4- lit, |
|
|
|
S (^o + ö iT) di = |
i, |
|
(9.148) |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
х (D0+ D1Z) dx = |
Cv |
|
где Cx |
0 — задаваемый |
коэффициент |
скоростной погрешности; |
Уо и |
ух — множители Лагранжа. На |
основании |
(148) с учетом |
(143) |
и (146) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
д.=г (2 |
зсд |
» 1 = |
_6_ (2Cj |
|
|
|
|
Т ) ' |
|
Т |
(9.149) |
|
|
То CD0, |
|
|
7г — СТ)Х. |
|
Поскольку в полезном сигнале отсутствует случайная состав ляющая, дисперсию на выходе оптимальной системы, т. е. диспер сию ее ошибки в силу (48), можно записать в виде
D [в («)]ata = |
То7)о + |
|
(9.150) |
где, согласно (41), |
т |
|
|
|
|
|
|
|
Ъ = |
$ Z(x)dx = |
1, |
|
|
0 |
|
|
(9.151) |
|
т |
|
|
|
7f]j = |
J xZ (х) dl |
Сѵ |
|
|
о |
|
|
|
Учитывая в (150) выражения (149) и (151), |
можно получить |
D[S( Z ) U = 4# ( |
l - ^ |
+ ^ ) . |
(9.152) |
На основании (149) и (146) можно заключить, что интенсивность помехи на вид весовой функции оптимальной системы не влияет; дисперсия ошибок оптимальной системы [см. (152)J с увеличением
