Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

т. е. такая функция, спектральную плотность которой можно счи­ тать постоянной.

Действительно, положив в данном случае ( со) = 1 и применяя (97), получим (107). Если спектральная плотность процесса по­ стоянная, то корреляционная функция такого процесса будет про­ порциональна дельта-функции.

и применяя формулу (95) с учетом интегрального представления дельта-функции (8), получим

Так как производные стационарных случайных функций являются также стационарными, то их можно характеризовать своими спек­ тральными плотностями. В этом случае могут быть использованы соотношения

Взаимные корреляционные функции стационарной случайной функции и ее производных определяются формулами

Если стационарная случайная функция Z (t) выражается через стационарные функции X (t) и Y (t) нелинейным образом, то в об­ щем случае спектральная плотность ( со) не может быть выра­ жена через спектральные плотности Sx (u>), Sy(u>) и взаимную спектральную плотность S ( си). Исключение представляет слу­

чай нормальных процессов X (t) и Y (t), когда такое выражение возможно. Например, если

Выбросом случайной функции X (t) за уровень а называется пересечение реализацией функции этого уровня снизу вверх. Сред-

нее число выбросов p t (а) в единицу времени, рассчитанное для момента t, определяется формулой

вид (107), т. е. является дробно-рациональной функцией частоты ш, интеграл (95), определяющий корреляционную функцию про­ цесса, может быть вычислен с помощью вычетов. Предположим, что полином Qn (і со) имеет различные корни иц, со2,. . о>и, лежа­ щие только в верхней полуплоскости (последнее всегда можно сде­ лать, разбив множители в знаменателе (107) соответствующим образом). В этом случае применение теории вычетов к интегралу

(95) дает

т. е. корреляционная функция процесса является суммой экспо­ нент вида е‘Ю/Т. В том случае, когда достаточно найти только дис­ персию процесса, т. е. вычислить интеграл (95) при т=0, оконча­ тельный результат может быть выражен через коэффициенты чис­ лителя и знаменателя дробно-рационального выражения (107), которое для этого случая целесообразно записать в виде

расположены в левой полуплоскости (т. е. полином Qn(i со) имеет корни только в верхней полуплоскости), а наивысшая возмож­ ная степень полинома | Рm (і со) |2, содержащего только четные сте­ пени со и имеющего вещественные коэффициенты, принята равной

30 О С Н О В Н Ы Е Ф О Р М У Л Ы [ГЛ. 1

где

т. е. Dn есть определитель, используемый в критерии Рауса—Гур- вица, а определитель N n получается из определителя Dn путем замены первой его строки строкой коэффициентов полинома, стоящего в числителе (117).

Как было отмечено выше, формулой (119) можно пользоваться только в том случае, когда полином Qn{s) имеет корни лишь в ле­ вой полуплоскости. В том случае, когда (117) является спектраль­ ной плотностью стационарного решения линейного дифференциаль­ ного уравнения, характеризующего устойчивую динамическую систему, на вход которой поступает белый шум, и Qn (s) является левой частью характеристического уравнения системы, это усло­ вие выполняется автоматически. Если выражение спектральной плотности задано в виде (117) безотносительно к дифференциаль­ ному уравнению устойчивой системы, то сформулированное выше требование к корням полинома Qn (s) должно быть проверено пред­ варительно, так как разбить выражение |<?„(f<o)J2 на два комп­ лексно-сопряженных множителя можно разичными способами.

Для применения формулы (119) необходимо вычислить опре­ делители (120) и (121). Для заданных числовых значений коэффи­ циентов а. и Ь[ это вычисление может быть выполнено обычными методами вычисления определителей. При не особенно большом значении п целесообразно пользоваться готовыми алгебраиче­ скими выражениями, получаемыми при раскрытии этих опреде­ лителей в общем виде.

Таблицы этих выражений даны ниже (табл. 1.1).

В заключение приведем несколько простейших примеров дробно­ рациональных спектральных плотностей и соответствующих им