Файл: Панков Ж. Оптические процессы в полупроводниках пер. с англ.pdf

(или дырок в нижней зоне) обычно не превышает ІО20 см-3. Напро­ тив, в металле область энергий, занятых электронами в верхней зоне, значительно превышает ширину запрещенной зоны, а концен­ трация электронов может достигать ІО23 см-3. С другой стороны, изоляторы обладают широкой запрещенной зоной — обычно боль­ ше 3 эВ — и пренебрежимо малой концентрацией электронов в верхней зоне (а дырок в нижней зоне практически нет).

Поскольку межатомные расстояния в кристалле в силу его ани­ зотропии зависят от кристаллографического направления, то мож­ но ожидать, что это влияет на образование энергетических зон. Таким образом, хотя ширина запрещенной зоны, которая характе­ ризует полупроводник, имеет одну и ту же минимальную величину в каждой элементарной ячейке, ее топография в пределах каждой элементарной ячейки может быть весьма сложной.

2, Распределение в пространстве квазпимпульсов

Мы только что показали, что разрешенные состояния характе­ ризуются определенной энергией. Рассмотрим теперь, как они рас­ пределены в пространстве квазиимпульсов. Важность такого рас­ смотрения станет очевидной в дальнейшем, когда мы увидим, что при оптических переходах должны сохраняться и энергия, и ква­ зиимпульс.

Кинетическая энергия электрона связана с его квазиимпуль­ сом р классическим соотношением:

( 1. 1)

где т * — эффективная масса электрона (которая может отличать­ ся от массы электрона в вакууме). Из квантовой механики нам известно следующее соотношение:

где Ті — постоянная Дирака, равная /г/2л (h — постоянная План­ ка); к — волновой вектор. Если рассматривать кристалл в виде прямоугольной потенциальной ямы с дном шириной L и с барьером бесконечной высоты, то оказывается, что к может принимать дис­ кретные значения к = п (л/L), где п — любое целое число (кроме нуля). Заметим, что L есть суммарная длина N элементарных ячеек размером а. Поэтому а есть наименьшая ширина потенциальной ямы, которую можно себе представить в кристалле. Следовательно, если п — N, то к — л/а есть максимальное (из физически раз­ личных) значений к. Этому максимальному значению соответствует край зоны Бриллюэна. Зона Бриллюэна представляет собой объем к-пространства, содержащий все значения к вплоть до л/а, где а зависит от направления. Большим значениям к' отвечает просто

12 Глава 1. Энергетические состояния в полупроводниках

сдвиг системы в следующую зону Бриллюэна, которая идентична первой зоне; поэтому можно считать, что система характеризуется волновым вектором к = к' — п/а. Кинетическую энергию элек­ трона можно записать в виде

В кристалле, имеющем форму куба с ребром L и рассматриваемом как потенциальная яма, разрешенные значения энергии суть

Хотя Е принимает дискретные значения, поскольку квантовые числа п могут быть только целыми, расстояния между уровнями столь малы ( ~ ІО-18 эВ для кристалла объемом 1 см3), что спектр Е можно считать квазпиепрерывным.

Рассмотрим вначале, как зависит энергия от волнового вектора для одного направления в пространстве волновых векторов.

На фиг. 1.2 показана параболическая за­ висимость Е от к. Такое распределение состояний называется параболической до­ линой — смысл этого образного выраже-- ния становится очевидным при трехмер-

Ф и г. 1.2. Параболическая зависимость энер­ гии от волпового вектора.

ном представлении зависимости Е от кх и кѵ. В трехмерном пространстве волновых векторов поверхности постоянной энергии представляют собой замкнутые оболочки; с увеличением волиовоге вектора соответствующая энергия растет квадратично. Часто в качестве начала отсчета энергий принимают вершину валентной зоны. Тогда дну зоны проводимости отвечает более высокая потен­ циальная энергия, соответствующая ширине запрещенной зоны (фиг. 1.3). Отрицательная кривизна валентной зоны означает, что если бы электроны, находящиеся в ней, могли двигаться (т. е. если бы она не была заполнена), то они приобретали бы ускорение в направлении, противоположном тому, в каком они двигались бы, находясь в зоне проводимости. Электроны валентной зоны как бы обладают отрицательной массой.

Расстояние между ближайшими атомами зависит от направле­ ния. Поэтому форма поверхности постоянной энергии не должна быть в точности сферической [2, 3]. Более того, из-за взаимодей­ ствия с ближайшими соседями, со следующими за ними и с соседями

более высокого порядка минимум долины может оказаться ие в точ­ ке kx — ky = kz = 0, а в некоторой точке, находящейся на опре­ деленном кристаллографическом направлении, например [111]

(фиг. 1.4). Из-за свойств симметрии кристалла такое же распреде­ ление Е (кх, ку, кг) должно повторяться во всех эквивалентных направлениях. Поэтому может быть 4 или 8 долин в направлениях

Ф и г . 1.5. Изоэнергетическне поверхности для края зоны проводимости кремния.

Видно шесть эллипсоидов, вытянутых в напра­ влениях [іоо].

одновременно двум зонам. В германии, например, долины (111) состоят из сигарообразных эллипсоидов (параболичность неизо­ тропна), вытянутых вдоль направлений [111]. Большее число долин реализуется в случае, когда долины находятся внутри зоны Бриллюэна (например, долины (100) в кремнии, показанные на фиг. 1.5).

14 Глава 1. Энергетические состояния в полупроводниках

3.Плотность состояний

Вк-прострапстве точки, соответствующие разрешенным состоя- н п я а і, распределены равномерно. Поверхности постоянной энергии

в первом приближении имеют сферическую форму (изотропная среда); тогда объем к-пространства между сферами с энергией Е и Е + dE есть 4я&2 dk. Здесь Е отсчитывается от края параболиче­ ской зоны. Поскольку на одно состояние в к-пространстве приходит­ ся объем 8л3/Р (V — объем кристалла) н каждому уровню соответ­ ствуют два состояния, то число энергетических состояний в интер­ вале от Е до Е + dE равно

Полное число состояний с энергией, не превышающей Е, выражает­ ся формулой

Поскольку, вообще говоря, изоэнергетические поверхности суть эллипсоиды, а не сферы, то эффективная масса оказывается анизот­ ропной; в этом случае пользуются так называемой «эффективной массой плотности состояний»:

где т* — продольная эффективная масса, а mf\ и т*„ — попереч­ ные эффективные массы.

Каждая долина характеризуется своим набором состояний, поэтому каждому уровню энергии могут соответствовать состоя­ ния, относящиеся к нескольким долинам. Следовательно, чтобы найти плотность состояний, нужно учесть вклады от всех долин. Поэтому в многодолинном полупроводнике число состояний меж­ ду, например, дном зоны проводимости и уровнем с энергией Е есть

в /-долине и Ej — энергетическое положеиие дна долины /. Состоя­ ния валентной зоны рассматриваются аналогично.

Ранее мы упоминали, что эффективная масса обычно не вполне изотропна. Теперь мы еще более усложним картину, заметив, что параболичность долины в координатах энергия — волновой век­ тор реализуется только в ограниченной области вблизи дна доли­ ны. Этого следовало ожидать, поскольку имеются участки квазинепрерывного спектра, связывающие различные долины (фиг. 1.4).

Более того, спии-орбитальное взаимодействие вызывает расщепле­ ние зон и отклонение от параболичности. Однако предположение о параболичности зоны обычно с успехом можно использовать

вкачестве первого приближения, и мы увидим в дальнейшем, что

вкристалле тонкости теоретической модели маскируются несо­ вершенствами природы.

4. Концентрация носителей

До сих пор мы занимались распределением состояний зоны в пространстве энергия — волновой вектор. Теперь мы должны рассмотреть заполнение этих состояний. При взаимодействии фото­ нов с электронами интенсивность взаимодействия будет зависеть

Ф и г. 1.6. Зависимость плотности состоянии от энергии в области вблизи краев (а) и функция Ферми — Дирака (б) для двух температур.

Концентрация электронов с данной энергией определяется произведением двух ординат.

от числа последних. Концентрация электронов с данной энергией есть просто произведение плотности состояний и функции Ферми— Дирака (фиг. 1.6):

Ер — уровень Ферми, т. е. уровень энергии, вероятность заполне­ ния которого равна 1/2. Согласно принципу Паули, в каждом состо­ янии может находиться не более двух электронов, однако данному энергетическому уровню может соответствовать более одного состо­ яния (в этом случае говорят, что уровень вырожден). Концентра­ ция дырок с данной энергией есть произведение плотности состоя­ ний и вероятности того, что данное состояние не занято электроном. Эта вероятность дается формулой