согласно которому электромагнитный момент электриче ской машины равен частной производной по геометриче скому углу от общего запаса ее электромагнитной энер гии. Электромагнитная энергия асинхронной машины может быть определена по соотношению
Wm = 4 (4;Af.A + ^BlB + 4*0ic + VJa + Vbib+ VFcic), (9-63)
с использованием которого можно найти электромагнит ный момент
< М 4 >
где р — число пар полюсов двигателя.
Уравнение движения привода представим в виде
(9-65)
где соэ — электрическая угловая скорость ротора, рад/с. Выражения (9-60)—(9-65) образуют систему уравнений асинхронной машины. Эта система содержит 14 уравнений при 14 неизвестных — 6 токов, 6 потокосцеплений, элект ромагнитный момент и угловая скорость, связанная с уг
лом поворота фэ соотношением dq>a/dt = соэ.
В рассматриваемой системе уравнений используются понятия только электрического угла фа и соответственно угловой скорости (оэ, что позволяет совместно решать уравнения электрического равновесия (9-60)—(9-62) и пре образования энергии (9-64) с уравнением движения (9-65). При этом следует отметить, что в уравнениях электромаг нитного момента и движения привода должны исполь зоваться понятия геометрических угла и скорости
ф г = ф э / р ; оз = соэ/р.
Этим объясняется наличие числа пар полюсов р в (9-64) и (9-65) в качестве коэффициентов.
Полученная система дифференциальных уравнений трудоемка при аналитическом решении. Она высокого по рядка и содержит нелинейные уравнения с периодиче скими коэффициентами. Даже при использовании вычис лительных машин решение этой системы оказывается за труднительным.
При решении сложных уравнений часто используют следующий прием: пытаются найти некоторые новые пере менные, связанные со старыми функциональной зависи-
мостыо, при использовании которых исходные уравнения преобразуются к более простым, записанным относительно новых переменных. Если это удается осуществить, то вначале решают преобразованные уравнения, находят решение для новых переменных, а затем, используя функ циональную связь их со старыми, определяют последние, т. е. решают исходные уравнения.
Прп анализе дифференциальных уравнений асинхрон ной машины были найдены такие удачные формулы замены переменных, называемые формулами преобразования, с по мощью которых уравнения трехфазной асинхронной ма шины, записанные относительно реальных фазных величин токов и потокосцеплений, могут быть преобразованы к системе уравнений с постоянными коэффициентами. Эти формулы преобразования имеют следующий вид для токов статора:
|
1 . |
|
1 . |
^ a l — g И А |
2 1 в |
|
2 l C |
2 /Уз |
. |
Кз |
г01 о |
1в — ■ |
1с |
hi — ■д' (гА ~Ь гв -\-ic )
и ротора
2
ia2 = g[iacoscp3 -f z'bcos(cp3 -f 120°)+tc cos (cp3 —120°)];
2
ip2 = 3 D'asm<p3-H bsm(cp3 - f 120°) -f icsin(cp3 — 120°)];
1
г02 = "g" (fa+ h + h)-
Таким преобразованиям по (9-66) и (9-67) подвергаются не только токи, но и напряжения и . потокосцепления. Формулы (9-66) и (9-67) имеют глубокий физический смысл, который будет раскрыт позднее, а сейчас, формально ис пользуя эти формулы, следует преобразовать выражения (9-60)—(9-64). Не приводя самих преобразований, кото рые подробно изложены в специальных трудах, запишем в преобразованном виде уравнения напряжения для ста тора:
|
сР ¥, |
+ *!*■all |
|
ual —' # |
|
<^01 |
(9-68) |
|
' -^1г011 |
|
Upi = : dt |
уравнения напряжения для ротора:
0 = ^ |
+ CO34/g2 + JR2ia2; |
О = |
(PFrt, |
(9-69) |
----ЮэЧ;а2+ R&fc, |
уравнения потокосцеплений для статора и ротора:
®(Да1 = %siа.1~Ь V a 2;
|
< 0 0 ^ 1 |
= |
®S^'pi ~Ь ®Ц^'р2» |
(9-70) |
|
®оТ<х2 = %Аа2“ЬЯц^'м.» |
|
|
|
©0XFp2 = |
Zrip2 + V l5 l' |
|
уравнение для электромагнитного момента: |
|
|
М = |
~ |
Р (г'а2гР1 |
J'ail'p2)- |
(9-71) |
В последних формулах |
напряжения сети; |
|
ю0.— угловая |
частота |
х^ = |
3 |
|
|
|
|
12со0 — сопротивление взаимной индукции; |
a:s= o)0(Ii — М 1) = х11+ хх и xr= со0(12 — М г) = x^ + xi |
— синхронные реактивные сопротивления для |
обмоток |
статора и ротора.
Следует подчеркнуть, что входящие в преобразованные уравнения параметры xs, хт и простым образом свя заны с привычными параметрами схемы замещения асин хронной машины, поскольку есть индуктивное сопро тивление намагничивающего контура, а хх и х'г — индук тивные сопротивления рассеяния обмоток статора и ро тора.
Уравнения (9-68)—(9-71) совместно с (9-65) образуют преобразованную систему уравнений асинхронной машины, которая в отличие от исходной не содержит периодических коэффициентов и поэтому имеет гораздо более простой вид. Тем не менее полученная система уравнений содержит нелипейные члены вида iali$2 или ЮэТаг и сама является нелинейной. Поэтому получить ее аналитическое решение затруднительно. Однако при использовании аналоговых или цифровых вычислительных машин решение преобразо ванной системы не представляет особых сложностей.
Для осуществления конкретных расчетов полученная система уравнения должна быть дополнена начальными
условиями. Так, для расчета процесса пуска начальные условия имеют вид:
^ a i |
^ а а = ^ P i = ^ р а = 0> |
га 1 : ?а г = гр1 = ^ра = 0; |
СОэ = 0. |
Следует отметить, что в полученные уравнения входят реальные момент и скорость, поскольку формулы преобра зования были введены только для электрических величин, а механические величины М и соэ не подвергались преобра зованиям. Это очень удобно для расчетов, поскольку опре деление механических величин часто представляет наиболь ший интерес, а в данном случае не требуется производить переход от новых переменных к старым. В тех слу чаях, когда найдены преобразованные электрические ве личины и требуется определить реальные фазные значения токов, потокосцеплений и напряжений, используются фор мулы обратных преобразований, которые для часто встре чающегося случая Ьа + 1в + ic = 0 выражаются следую щим образом соответственно для статорных и роторных величин:
1а — Zaii
|
1 . |
, |
/ 3 . |
(9-72) |
1в |
2 |
'1 |
2 |
&C— |
1 . |
|
V J . |
|
2 |
|
2 гр!’ |
|
ia— cos фэ-}-z'|32 sin фэ} |
|
ib= ia2 cos (фэ+120°) -f z'p2 sin (фэ - f 120°); |
(9-73) |
ic= ia2cos (фэ —120’) + z'p2 sin (фэ — 120°).
Если фазные напряжения на зажимах асинхронной
машины синусоидальны и имеют вид: |
|
u,A = Um cos (co0<+ v); |
|
ив = |
Um cos (со0г+ Y — 120°); |
(9-74) |
ч-с = |
Umcos (a0t -f у +120°), |
|
где Um и y — амплитуда и начальная фаза включения напряжения сети, то, используя формулы преобразования для статорных величин вида (9-66), находим:
■Ucu= tfmCOS(C00f + Y);
(9-75)
“ P l = ^ m s i n ( c V + Y ) .
Полученные преобразованные уравнения асинхронной машины при известных ее параметрах позволяют рассчи тывать конкретные переходные процессы.
Представляет интерес рассмотреть некоторые общие физические представления об электромагнитных переход ных процессах, которые дают возможность оценить каче ственный характер этих процессов без решения указан
ных уравнений па вычис |
|
лительных машинах. |
|
Предварительно |
рас |
|
смотрим физический смысл |
|
формул преобразования и |
|
преобразованных перемен |
|
ных. |
|
|
|
Токи, протекающие по |
|
обмоткам статора, создают |
|
намагничивающую |
силу |
|
(н. с.) статора, вектор ко |
|
торой |
равен геометриче |
|
ской сумме векторов н. с. |
Рпс. 9-18. К пояснению фпзиче- |
фазных |
обмоток. |
Допус- |
ского сыысл6 Ф°РЫУЛ преобразо- |
тим, что вектор ix, показан
ный на рис. 9-18, равен геометрической сумме векторов то ков всех фаз статора. Поскольку его обмотки одинаковы,
то вектор ix пропорционален н. с. статора и может быть
назван вектором тока статора. Проекции ix на оси фазных юбмоток равны токам соответствующих обмоток, т. е.
iA = |
| i'i |
| cos бх; |
(9-76) |
i-в = | i 1 1cos (8X— 120°); |
ic = |
| i\ |
| cos (Sx-t-120°), |
|
где 5.x — угол между вектором lx и осью обмотки фазы А. Если в плоскости, проходящей через оси фазных обмо ток статора выбрать двухосную ортогональную систему координат а, |3 таким образом, чтобы одна из осей совпа дала с осью фазы А, как показано на рис. 9-18, то, спроек
тировав на эти оси вектор it, получим!
гах = | Н | cos бх!
(9-77)
*01 = 1*1 | coM6x- ^ J ;
где га1 и ipx — проекции вектора |
на оси а и р. |