Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 168
Скачиваний: 1
Ю.А. МИТРОПОЛЬСКИЙ
О.Б. ЛЫКОВА
Интегральные
многообразия
внелинейной
механике
:V,\
■ч
'> )
НЕЛИНЕЙНЫЙ
АНАЛИЗ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Ю. А. МИТРОПОЛЬСКИЙ, О. Б. ЛЫКОВА
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
МНОГООБРАЗИЯ В НЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКЕ
Контрол ЬI J экземпляр
Ш і
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
М О С К В А 1973
|
Г66. ПУБЛИЧ АП |
4 У |
|
НАУЧНО-ТЕХЙИЧЕ -КАЯ |
, |
617.2 |
БИБЛИОТЕКА ССО Р |
|
|
|
|
М 67 |
Ч і - 2 > 3 № < ^ |
|
УДК 517.9 |
|
Серия «Нелинейный анализ и его приложения»
выпускается под общей редакцией
Н . Н , Боголюбова, М . А . Красносельского, Ю . А . Митропольского
Интегральные многообразия в нелинейной механике. Ю. А. М и т- р о п о л ь с к и й , О. Б. Л ы к о в а .
Серия «Нелинейный анализ и его приложения» посвящена пробле мам нелинейных дифференциальных и интегральных уравнений, нели нейным колебаниям, современным методам их исследования, приложе ниям к задачам механики, физики и т. д.
Настоящая монография посвящена развитию теории интегральных многообразий (интегральных поверхностей) для различных классов дифференциальных уравнений, встречающихся в нелинейной механике и содержащих «малый» или «большой» параметр. Приведен также анализ структуры решений на многообразиях.
Книга должна помочь специалистам, занимающимся вопросами теории нелинейных колебаний, ознакомиться с результатами, связан ными с дальнейшим развитием идей и методов. Н. Н. Боголюбова по теории интегральных многообразий.
Книга рассчитана для студентов старших курсов, а также аспи рантов и научных работников, интересующихся современными вопро сами теории дифференциальных уравнений.
Библ. 230 назв.
(£) Издательство «Наука», 1973.
Юрий Алексеевич Митропольский, Ольга Борисовна Лыкова
Интегральные многообразия в нелинейной механике
(Серия «Нелинейный анализ и его приложения»)
М., 1973 г., 5.12 стр.
Редактор Я. М. Овчинникова
Техн. редактор К. Ф. Брудно
Корректоры О. А. Бутусова, Е. В. Сидоркина
Сдано в набор 25/ХП 1972 г. Подписано к печати 31/V 1973 г. Бумага 84X108/эа. Физ печ. л. 16. Условн. печ. л. 26,88. Уч.-изд. л. 26,37. Тираж 8000 экз. Т-08151.
Цена книги 1 р. 87 к. Зак. № 3—265. Тип. зак. № 195.
Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Отпечатано с матриц, изготовленных в головном предприятии республиканско го производственного объединения «Полиграфкнига» Госкомиздата УССР, г. Киева, ул. Довженко, 3, 4-й типографией издательства «Наука», 630077, Но восибирск-77, Станиславского, 25.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ........................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
||
Г л а в а |
I. В веден и е............................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
||
§ 1. Интегральные многообразия нелинейных дифференциальных |
11 |
||||||||||||
|
у р ав н ен и й .......................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1. |
Формулировка |
проблемы (11). 2. Определение интегрально |
|
|||||||||
|
го многообразия (12). 3. |
Примеры интегральных многообразий (13). |
|
||||||||||
|
4. Постановка некоторых основных задач в теории интегральных |
|
|||||||||||
|
многообразий (15). 5. Метод интегральных |
многообразий (16). 6. |
|
||||||||||
|
Значение метода интегральных многообразий (17). 7. |
Примеры |
клас |
|
|||||||||
|
сов уравнений, допускающих применение метода интегральных |
|
|||||||||||
|
многообразий (19). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
^ 2. |
Вспомогательные сведения |
из |
линейной |
алгебры и анализа |
26 |
||||||||
|
1. |
Матричные обозначения (26). 2. |
Линейные |
преобразова |
|
||||||||
|
ния (29). 3. |
Функции матрицы |
(30). 4. Функции |
оператора (32). |
|
||||||||
|
5. Корневые |
и собственные |
подпространства (33). |
6. |
Норма |
мат |
|
||||||
|
рицы, интеграл, производная (35). 7. Лемма Гронуолла—Веллма |
|
|||||||||||
|
на (36). 8. Принцип сжатых |
отображений |
(37). |
|
|
|
|
|
|||||
§ 3. |
Некоторые сведения из теории дифференциальных уравнений |
40 |
|||||||||||
|
1. Первый интеграл (40). 2. Линейные системы (43). 3. Устой |
|
|||||||||||
|
чивость решений нелинейных систем (55). |
4. |
Квазилинейные си |
|
|||||||||
|
стемы (57). 5. Системы уравнений в стандартной форме (62). |
|
|
||||||||||
Г л а в а |
11. Интегральные |
многообразия нелинейных |
дифферен |
67 |
|||||||||
|
циальных уравнений в стандартной форме................................ |
|
|
|
|
||||||||
§ 1. Приведение уравнения в стандартной форме к специальному |
67 |
||||||||||||
§ 2. |
виду |
............................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Существование и свойства одномерного интегрального много |
75 |
||||||||||||
|
образия .......................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1. |
Лемма |
о существовании |
интегрального |
многообразия |
(75). |
|
||||||
|
2. Свойство почти-периодичности функции |
f |
(t, |
g, |
8) |
(76). 3. Лем- |
|
||||||
|
ма об устойчивости интегрального многообразия |
(78). |
4. Теорема |
|
|||||||||
|
о существовании и свойствах интегрального многообразия уравне |
|
|||||||||||
|
ния в стандартной форме (80). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Г л а в а |
III. Интегральные многообразия нелинейных дифферен |
|
|||||||||||
|
циальных уравнений, |
близких к точно-интегрирующимся, в |
85 |
||||||||||
|
окрестности периодических решений ........................................ |
|
|
|
|
|
|
||||||
§ 1. |
Приведение нелинейных дифференциальных уравнений, близ |
85 |
|||||||||||
|
ких к точно-интегрирующимся, к специальному виду |
. . . |
|||||||||||
|
1. |
Частные случаи (85). 2. Общий случай |
(91). |
|
|
|
|
|
1
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
О Г Л А В Л Е Н И Е |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
§ 2. |
Двупараметрические |
локальные интегральные многообразия |
99 |
||||||||||||||||||
|
1. |
Основные |
предположения |
(99). |
2. |
Лемма о |
существовании |
|
|||||||||||||
|
двупараметрического локального интегрального многообразия (101). |
|
|||||||||||||||||||
|
3. Свойства |
двупараметрического локального интегрального |
|
мно |
|
||||||||||||||||
|
гообразия 911t (112). 4. Формулировка |
основного результата |
(118). |
|
|||||||||||||||||
§ 3. |
Интегральные многообразия систем нелинейных дифференци |
120 |
|||||||||||||||||||
|
альных уравнений |
второго |
порядка |
.................... |
|
|
|
. . . . . |
|||||||||||||
|
1. |
Приближенное |
представление |
|
двупараметрического |
инте |
|
||||||||||||||
|
грального |
многообразия (120). 2. Теорема о «сильной» устойчивости |
|
||||||||||||||||||
|
двупараметрического |
|
интегрального |
многообразия |
(126). |
|
|
|
|||||||||||||
§ 4. |
Интегральные многообразия систем дифференциальных урав |
129 |
|||||||||||||||||||
|
нений с переменными коэффициентами .................................... |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1. |
Существование и свойства интегрального многообразия |
(130). |
|
|||||||||||||||||
6. |
Уравнения с медленно меняющимися параметрами |
|
................ |
|
134 |
||||||||||||||||
|
1. |
Общи« |
оройства |
рассматриваемых |
уравнений. |
Постановка |
|
||||||||||||||
|
задачи (134). 2. Построение приближенного двупараметрического |
|
|||||||||||||||||||
|
Семейства |
решений |
иоходного |
уравнения |
(136). |
3. |
Доказатель |
|
|||||||||||||
|
ство |
|
существования |
|
точного |
двупараметрического |
семейства |
|
|||||||||||||
|
реійэний |
уравнения |
(5.1) |
(140). |
4. |
Оценка |
разности |
|
между |
точ |
|
||||||||||
|
ным семейством решений и его m-м |
приближением (143). |
|
|
|
||||||||||||||||
§ 6. Системы уравнений, описывающие «быстрые» и «медленные» |
|
||||||||||||||||||||
|
движения |
....................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
146 |
||||
|
1. |
Основные предположения (146). 2. Уравнения специального |
|
||||||||||||||||||
|
вида (147). |
|
3. |
Локальное |
интегральное |
многообразие (1Б2). 4. |
Ин |
|
|||||||||||||
|
тегральные |
многообразия |
системы |
слабо связанных |
осциллято |
|
|||||||||||||||
|
ров |
(161). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г л а в а |
IV. Применение метода интегральных многообразий |
|
для |
|
|||||||||||||||||
|
исследования решений нелинейных |
дифференциальных |
урав |
163 |
|||||||||||||||||
|
нений |
|
|
.............................................................................. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . |
|||
§ 1. Структура решений на |
однопараметрическом |
интегральном |
|
||||||||||||||||||
|
многообразии уравнений в стандартной ф о р м е |
.................... |
|
|
163 |
||||||||||||||||
|
1. |
Периодические |
и |
квазипериодические |
решения |
(163). 2, |
Ис |
|
|||||||||||||
|
следование решений,- не лежащих на многообразии |
|
(168). 3. |
Ос |
|
||||||||||||||||
|
новная теорема (169). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
§ 2. Исследование структуры решений на двупараметрическом ло |
|
||||||||||||||||||||
|
кальном интегральном многообразии уравнений, близких к |
|
|||||||||||||||||||
|
точно-интегрирующимся. Нерезонансный |
с л у ч а й ................ |
|
170 |
|
||||||||||||||||
|
1. |
Формулировка |
задачи |
(170). |
2. |
Структура |
приближенных |
|
|||||||||||||
|
стационарных |
решений |
(172). |
3. |
Равномерная |
ограниченность |
|
||||||||||||||
|
точных решений исходного |
уравнения |
на |
многообразии |
(175). |
|
|||||||||||||||
|
4. Доказательство существования точных стационарных |
реше |
|
||||||||||||||||||
|
ний (177). 5. Свойство устойчивости точных стационарных ре |
|
|||||||||||||||||||
|
шений |
на |
многообразии |
(179). |
6. |
Теорема |
о существовании и |
|
|||||||||||||
|
свойствах |
семейства |
точных |
отационарных решений |
на многооб |
|
|||||||||||||||
|
разии |
(180). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
§ 3. |
Резонансный |
случай |
................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
182 |
|
1. Приближенное представление решений на многообразии.
Улучшенное первое приближение (182). 2. Исследование общего случая (187).
О Г Л А В Л Е Н И Е |
5 |
§ 4. Влияние малого возмущения на релаксационную систему 194
1. Постановка задачи (194). 2. Первое приближение |
(195). |
3.Второе приближение (200).
§5. Исследование квазипериодических решений нелинейных диф
ференциальных уравнени й ........................................................... |
|
|
203 |
||
1. |
Квазипериодические |
режимы в нелинейных системах |
(203). |
||
2. Квазипериодические режимы *в системах, близких |
к гамильто |
||||
новым (210). |
|
|
|
|
|
Г л а в а |
V. Исследование |
окрестности |
положения |
равновесия 221 |
|
§ 1. Уравнения специального вида ................................................ |
|
|
221 |
||
1. Основные предположения (221). 2. |
Преобразование |
исход |
|||
ных |
уравнений (223). |
|
|
|
|
§ 2. Двупараметрические локальные интегральные многообразия 226
I. Доказательство существования и единственности двупара метрического локального интегрального многообразия (227). 2. Свойство устойчивости локального интегрального многообразия
ЭЛ/ (234). 3. Теорема об интегральном многообразии исходного уравнения (239).
§ 3. Интегральные многообразия уравнений, близких к линейным 240
1. Постановка задачи (240). 2. Приведение исходного уравне ния к специальному виду (240). 3. Теорема о нелокальном инте гральном многообразии (243). 4. Исследование структуры решений уравнений на многообразии (245).
4. |
Применение метода интегральных многообразий к исследова |
247 |
||||||||
|
нию устойчивости при |
постоянно-действующих |
возмущениях |
|||||||
|
1. |
Основные определения (247). |
2. |
Постановка |
задачи |
(248). |
|
|||
|
3. Доказательство |
ограниченности |
функции Ф (/, |^, |
£*, е) |
(250). |
|
||||
|
4. Теорема об устойчивости (252). |
|
|
|
|
|
|
|||
Г л а в а |
VI. Нерегулярно-возмущенные |
системы дифференциаль |
|
|||||||
|
ных |
уравнений................................... |
|
|
|
........................................... |
|
|
253 |
|
§ 1. Интегральные многообразия нелинейных нерегулярно-возму |
|
|||||||||
|
щенных систем дифференциальных |
уравнений |
|
.................... |
253 |
|||||
|
1. |
Постановка задачи (253). 2. |
Существование |
интегрального |
|
|||||
|
многообразия (255). |
3. |
Устойчивость |
интегрального |
многообра |
|
||||
|
зия |
(261). |
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 2. Интегральные многообразия нелинейной нерегулярно-возму |
264 |
|||||||||
|
щенной системыдифференциальных уравнений в общем случае |
|||||||||
|
1. |
Основные предположения (264). |
2. Теорема о существовании |
|
||||||
|
интегрального многообразия системы (2,1) (265). 3. |
Вспомогатель |
|
|||||||
|
ная |
лемма (266). |
4. Продолжение |
доказательства |
|
теоремы 2.1 |
|
|||
|
(268). 5. Устойчивость интегрального многообразия (271). 6. Пе |
|
||||||||
|
риодические и почти-иериодические |
интегральные |
многообразия |
|
||||||
|
(277). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 3. |
Исследование решений нелинейных нерегулярно-возмущен |
|
||||||||
|
ных систем дифференциальных у р ав н ен и й ............................ |
|
|
280 |
1. |
Существование |
ограниченного решения (280). 2. Устойчв- |
вость |
ограниченного |
решения (285). |
6 |
О Г Л А В Л Е Н И Е |
|
§ 4. |
Интегральные многообразия линейной нерегулярно-возму |
|
|
щенной системы дифференциальных у р авн ен и й .................... |
290 |
1. Существование интегрального многообразия (290). 2. Устой чивость интегрального многообразия (297). 3. Периодические
нпочти-периодические интегральные м огообразия (303).
§5. Исследование решений линейных нерегулярно-возмущенных
систем дифференциальных уравнений ................................... |
309 |
|
1. |
Основные предположения (309). 2. Существование ограни |
|
ченного решения (310). 3. Условная асимптотическая устойчивость |
||
ограниченного решения (315). |
|
|
Г л а в а |
VII. Интегральные многообразия систем |
нелинейных |
дифференциальных уравнений с отклоняющимся |
аргументом 326 |
|
§ 1. Уравнения с отклоняющимся аргументом и переменными коэф |
||
фициентами .............................................................................. |
326 |
|
1. |
Основные предположения (326). 2. Теорема о существовании |
|
устойчивого интегрального многообразия (328). |
|
|
§ 2. Интегральные многообразия нерегулярно-возмущенных си |
||
стем с запаздыванием .................................................................. |
342 |
1. Постановка задачи (343). 2. Теорема о существовании интег рального многообразия (343). 3. Теорема об устойчивости инте грального многообразия (317).
§ 3. Применение метода интегральных многообразий для доказа тельства существования и устойчивости ограниченного реше ния нерегулярно-возмущенной системы с запаздыванием . 354
1. Постановка задачи (354). 2. Теоремы о существовании и устойчивости ограниченного решения нерегулярно-возмущенной системы с запаздыванием (355).
Г л а в а VIII. |
Интегральные многообразия дифференциальных |
|
уравнений в банаховом пространстве....................................... |
357 |
|
§ 1. Некоторые |
понятия геометрии бесконечномерных |
про |
странств |
................................... ...................................................... |
357 |
1.Банаховы пространства (357). 2. Линейные операторы (358).
3.Линейные операторы в гильбертовом пространстве Н (361). 4. Вполне-непрерывные операторы (362). 5. Прямые суммы про
странств (363). 6. Элементы спектральной теории линейных огра
ниченных операторов (364). 7. |
Функции |
операторов |
(368). 8. Опе |
||||||
раторная |
экспонента (370). 9. |
Дифференцирование |
вектор-функ |
||||||
ции (371). |
10. |
Принцип сжатых |
отображений |
(373). |
1 1. Отобра |
||||
жения (374). |
12. |
Дифференциальные |
уравнения |
в |
банаховом |
||||
пространстве |
(375). 13. Линейные дифференциальные |
уравнения |
|||||||
с постоянным |
оператором (376). 14. Функция Грина |
(378). 15. Ли |
|||||||
нейные дифференциальные уравнения с |
периодической оператор- |
||||||||
функцией |
(381). |
16. Линейные |
дифференциальные |
уравнения с |
|||||
периодической оператор-функцией, зависящей |
от параметра (383). |
||||||||
17. Квазилинейные уравнения |
(385). |
|
|
|
|
§ 2. Уравнения в стандартной форме ............................................... |
|
387 |
|
1. Приведение исходного уравнения к специальному |
виду (387). |
||
2. Существование и свойства |
интегрального многообразия (398). |
||
§ 3. Уравнения, близкие к точно-интегрирующимся.................... |
407 |
||
1. Расщепление исходного |
уравнения |
(407). 2. Существование |
|
и свойства локального интегрального |
многообразия (411). |