Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

1. Формулировка задачи (422). 2. Принцип сведёния (424).

1. Обзор некоторых результатов советских авторов (448).

2.Обзор работ иностранных авторов (449).

§2. Применение теории периодических поверхностей к изучению

ПРЕДИСЛОВИЕ

В 1961 году на Международном симпозиуме по нели­ нейным колебаниям, состоявшемся в г. Киеве, был пред­ ставлен обзорный доклад Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Мит­ ропольского, посвященный исследованию интегральных многообразий в нелинейной механике. Содержание этого доклада было опубликовано как в Советском Союзе [18], так и в США [19]. В нем излагалась общая идея метода интегральных многообразий в нелинейной механике, основ­ ные результаты, полученные рядом авторов в направлении развития и обобщения метода, а также были сформулирова­ ны возникающие здесь наиболее актуальные проблемы и намечены пути развития и обобщения метода.

Появление указанной работы, а также обзоров по тео­ рии интегральных многообразий [16], [20], [133], [134], [135] оказало существенное влияние на дальнейшее развитие метода интегральных многообразий в нелинейной механи­ ке как в Советском Союзе, так и за рубежом (США, ЧССР, СРР). По намеченным в [18] наиболее актуальным пробле­ мам появилось большое число работ. Метод интегральных многообразий был распространен на бесконечные системы уравнений, на различные классы уравнений, содержащих «малый» и «большой» параметр, на уравнения в функцио­ нальных пространствах, на системы уравнений с малым па­ раметром при производной, системы с запаздыванием и др.

Предлагаемая читателю монография содержит, кроме из­ вестных основополагающих результатов Н. Н. Боголюбова, в основном результаты авторов, относящиеся к теории ин­ тегральных многообразий и к вопросам, связанным с ис­ следованием поведения интегральных кривых на многооб­ разии и в их окрестности, для уравнений, содержащих малый параметр. В книгу включены также результаты, по­ лученные К. В. Задиракой и В. И. Фодчуком.

Остановимся кратко на содержании книги.

В первой главе (§ 1) изложены основные положения тео­ рии интегральных многообразий в нелинейной механике, а также приведены примеры дифференциальных уравнений, при исследовании которых применение метода иитеграль-

ных многообразий оказывается весьма эффективным. Пара­ графы 2 и 3 этой главы носят вспомогательный характер; в них изложен необходимый аппарат из алгебры и анализа.

Вторая глава посвящена фундаментальной теореме Н. Н. Боголюбова о существовании и основных свойствах одно­ параметрического интегрального многообразия систем нели­ нейных дифференциальных уравнений в стандартной форме.

В третьей главе изложены основные результаты, относя­ щиеся к исследованию интегральных многообразий нелиней­ ных' дифференциальных уравнений, близких к точно ин­ тегрирующимся.

Исследованы двупараметрические локальные интеграль­ ные многообразия в окрестности периодических решений не­ возмущенных уравнений, соответствующих исходным (§ 2). Построено приближенное представление двупараметри­ ческого интегрального многообразия для системы нелиней­ ных уравнений второго порядка и приведена теорема о «сильной» устойчивости этого многообразия (§ 3). Рассмот­ рены интегральные многообразия систем уравнений с пере­ менными коэффициентами (§ 4). Для уравнений с медленно меняющимися параметрами доказано существование точ­ ного двупараметрического интегрального многообразия, по­ строено его приближенное представление и получена оцен­ ка разности между точным представлением многообразия и его т-и приближением (§ 5). Изучены вопросы существова­ ния и основных свойств интегральных многообразий си­ стем уравнений, описывающих «быстрые» и «медленные» движения; в качестве примера рассмотрены интегральные многообразия системы слабо связанных осцилляторов (§ 6).

Четвертая глава посвящена исследованию поведения решений нелинейных дифференциальных уравнений на интегральных многообразиях. Здесь приводятся как клас­ сические результаты Н. Н. Боголюбова, относящиеся к ис­ следованию периодических и квазипериодических решений, лежащих на однопараметрическом интегральном многооб­ разии, так и ряд результатов, полученных авторами и от­ носящихся к исследованию периодических и квазиперио­ дических решений, лежащих на двупараметрическом инте­ гральном многообразии, к исследованию влияния малого возмущения на релаксационную систему, к исследованию квазипериодических режимов в системах, близких к га­ мильтоновым.

Г л а в а I

ВВЕДЕНИЕ

§ 1. Интегральные многообразия нелинейных дифференциальных уравнений

1, Формулировка проблемы. Многие задачи теории нелинейных колебаний приводят к рассмотрению нелиней­ ных дифференциальных уравнений, содержащих малый па­ раметр.

Исследование таких уравнений значительно облегчает­ ся, если малый параметр входит таким образом, что при его нулевом значении рассматриваемые уравнения допуска­ ют точное интегрирование, а также если с помощью специ­ альных замен переменных исходные нелинейные уравне­ ния могут быть приведены к уравнениям, разрешенным относительно производной, с правыми частями, пропор­ циональными малому параметру,— к стандартной форме, допускающей применение принципа усреднения.

Во многих важных для нелинейной механики случаях усредненные уравнения, а также точно-интегрирующиеся (получающиеся из исходных при е = 0) обладают инвари­ антными многообразиями тороидального типа, и, естест­ венно, возникает вопрос, будут ли находиться в достаточ­ но малой окрестности этих многообразий интегральные многообразия исходных точных уравнений и каковы их свойства.

В связи с этим здесь возникают проблемы, обладающие определенной аналогией с проблемами существования пе­ риодических решений в локальной теории Ляпунова — Пуанкаре. Однако в то время как в теории Ляпунова — Пуанкаре вопрос сводится к исследованию разрешимости системы обыкновенных дифференциальных уравнений с ко­ нечным числом неизвестных, содержащей малый параметр, в теории интегральных многообразий вопрос сводится

к исследованию некоторых функциональных уравнений, определяющих функции, характеризующие многообразие.

Здесь уместно заметить, что построение хотя бы локаль­ ной теории интегральных многообразий, обобщающей ло­ кальную теорию Пуанкаре, может представлять также и самостоятельный интерес. В самом деле, качественное ис­ следование решений значительно упрощается, если эти решения лежат на многообразии меньшего числа измере­ ний, чем первоначальное фазовое пространство, особенно если данное многообразие оказывается одномерным или двумерным.

2. Определение интегрального многообразия. Приведем прежде всего аналитическое определение интегрального многообразия для уравнения

(R — вещественная ось, D — некоторая область простран­ ства Rn, и вектор-функция / (t, Си ..., Cs) непрерывна по t и обладает ограниченными равномерно непрерывными част­ ными производными относительно параметров Сь ..., Cs

в области их изменения), есть s-параметрическое интеграль­ ное многообразие для уравнения (1.1), если выполняются следующие условия:

1) для каждого фиксированного t функция / определяет

справедливого в какой-то момент времени t = t0, вытекает его справедливость для любого t £ R.

Условимся называть интегральное многообразие S t Т-пе­ риодическим (Т — некоторая положительная постоянная),