Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 169
Скачиваний: 1
§ 1. И Н Т Е Г Р А Л Ь Н Ы Е М Н О Г О О Б Р А З И Я |
|
13 |
||||||||
если тождественно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(t + T, |
сѵ . . . , |
Cs) = |
f(t, |
Cj, |
. . . . Cs) |
|
|
|||
для всех возможных значений |
t, |
Cit .... Cs, и почти перио |
||||||||
дическим, если f{t, Си ..., Cs) |
является |
почти периодиче |
||||||||
ской функцией t равномерно по отношению к Сі...... Cs. |
|
|||||||||
О п р е д е л е н и е |
1.2. Будем говорить, что интеграль |
|||||||||
ное многообразие S t устойчиво, |
если можно указать такие |
|||||||||
положительные постоянные числа |
рь |
р2 (рі •< р2), |
что для |
|||||||
любого решения л: (t) (х (t0) — t0) |
уравнения (1.1), для |
ко |
||||||||
торого х 0 £ UPl {UPl — рі-окрестность многообразия S t), |
сле |
|||||||||
дует X (t) £ иРг для всех t > t 0 и |
|
|
|
|
|
|||||
\x(t)— f(t, Ct..........С5)|-*-0 |
при /->оо. |
(1.4) |
||||||||
Интегральное |
многообразие |
|
S t неустойчиво, если |
для |
||||||
любого решения |
л: (f) |
уравнения |
(1.1), |
удовлетворяющего |
||||||
условию х 0 £ UPl, |
найдется такое |
t* > |
t0, что х (t*) £ UPl. |
|||||||
Интегральное |
многообразие |
|
5 ( условно устойчиво отно |
|||||||
сительно некоторого точечного многообразия W размерно |
||||||||||
сти, например, k (k < |
s), принадлежащего окрестности Up„ |
|||||||||
если для любого решения х (t), для |
которого х0£ UPl П |
W7, |
||||||||
имеет место х (t) £ UPt и \х (t) — / {t, Clt .... Cs)| ->- 0 |
при |
|||||||||
t -*■ оо, а из соотношения |
х0£ UPl, но х0£ UPt f) |
W, |
сле |
|||||||
дует X (t*) Z Ѵрг Для t* > |
t0. |
|
|
|
|
|
|
|
||
3. Примеры интегральных многообразий, а) Пусть неко |
||||||||||
торое автономное уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
— X (х), |
|
|
(1.5) |
где X, X — «-векторы, имеет отличное от постоянного перио дическое решение
|
х = |
х°(соО |
(1.6) |
с периодом 2л. |
|
|
|
Очевидно, |
уравнение (1.5) будет также обладать семей |
||
ством решений |
|
|
|
X = |
х° (wt -f- cp) = |
х° (ф) (ф = cot -f- ф), |
(1.7) |
зависящим от одной произвольной постоянной ф. Орбита (1.7) определяет однопараметрическое интегральное много образие уравнения (1.5). Обозначим его S0. Это многообра
зие является одномерным в пространстве Rn.
14 |
ГЛ. I. В В Е Д Е Н И Е |
Очевидно, любые решения уравнения (1.5), имеющие в качестве начальной фазы одно из значений ср, будут принад лежать S0. Нетрудно видеть, что х° (ф) — непрерывно-диф ференцируемая функция ф. Индивидуальные решения, ле жащие на этом многообразии, соответствуют частным реше-
ниям уравнения Йф = ю.
Как видим, в рассматриваемом примере одномерным ин тегральным многообразием является гладкий (без пиков и самопересечений) образ отрезка ф, концы которого при отображении х — х° (ф) склеиваются.
б) Рассмотрим пространство Rn X R и уравнение
-§ - = |
* М |
, |
(1.8) |
где X £ Rn, і £ R. Принимая |
кривую S0 за область началь |
||
ных значений решений уравнения |
(1.8) в (п + |
1)-мерном |
пространстве (л;, і), проведем через каждую точку 50 реше ние уравнения (1.8). В результате получим цилиндр, парал лельный оси t, порожденный решениями уравнения (1.8), в основании которого лежит орбита S0.
Любое решение уравнения (1.8) х (t), начальное значение которого X (/0) = х0 принадлежит орбите S0, будет совпа дать с одним из решений, порождающих цилиндр 5. Ци линдр 5 является двумерным интегральным многообрази
ем уравнения (1.8) в (х, ^-пространстве Rn X R. Его пара метрическое представление имеет вид
S == {(*, t): X = л;°(ф), 0 < ф < 2 я , t £ R).
Нами будут изучены также локальные интегральные многообразия для некоторых классов нелинейных дифферен циальных уравнений. Определение локальных интеграль ных многообразий отличается от определения интегральных многообразий в смысле Н. Н. Боголюбова тем, что функция / (t, Си ..., Cs) в представлении многообразия S t определе на для t £ R и параметров Си •••> Cs, изменяющихся в не
которой открытой области D пространства |
Rn, и из соотно |
шения X (tQ) £ S t следует х (t) £ S t для |
t из некоторого |
интервала, содержащего t0.
Геометрически s-параметрическое локальное интеграль ное многообразие представляет собой кусок гиперповерх
§ 1. И Н Т Е Г Р А Л Ь Н Ы Е М Н О Г О О Б Р А З И Я |
15 |
ности (обычного интегрального многообразия), обладающий тем свойством, что решения рассматриваемого уравнения могут попасть и выйти из этого куска лишь через его гра ницу.
Пр и ме р ы л о к а л ь н ы х и н т е г р а л ь н ы х
мн о г о о б р а з и й
1.Для уравнения (1.5) локальным интегральным много образием будет кусок орбиты х° (ф). Вся орбита является обычным интегральным многообразием.
2. Пусть X = х° (ф, С1 , ..., Cs) (х° (ф + |
2я, Сь |
..., Cs) = |
= х° (ф, Сь ..., Cs)), где параметры Сь |
..., Cs |
принадле |
жат области D £ Rs, есть семейство орбит уравнения (1.5).
В пространстве R n это семейство орбит заполняет некото рую гиперповерхность, представляющую (s+ ^-параметри ческое интегральное многообразие уравнения (1.5). Ог раничив область изменения Clt ..., Cs открытой частью области D, мы получим кусок этой гиперповерхности, представляющий локальное ’-нтегральное многообразие уравнения (1.5).
4. Постановка некоторых основных задач в теории ин тегральных многообразий. Г. Пусть дано уравнение в стан дартной форме
|
- ^ - = eX(f,x) |
(1.9) |
|||
(х, X — п-векторы, |
е —- малый положительный |
параметр) |
|||
и соответствующее ему усредненное уравнение |
|
||||
|
|
|
|
|
(1. 10) |
гдѳ |
|
|
т |
|
|
* о ( Ѳ = 1 m^і |
\ x{ t , l ) dt |
(1. 11) |
|||
|
7 -*°° |
О |
|
|
|
равномерно относительно |
g g D, |
D с z Rn. |
|
||
Предположим, что уравнение (1.10) допускает существо |
|||||
вание интегрального многообразия S0: |
|
||||
£ = |
£°(^) |
(ф = |
(Ö^+ ф). |
(1.12) |
Представляет интерес выяснить, существует ли в неко торой окрестности 50 интегральное многообразие S точного
16 |
ГЛ. I. В В Е Д Е Н И Е |
уравнения (1.9)? Будет ли оно обладать свойствами, анало гичными свойствам многообразия S0, и при е -> 0 стре миться к нему? Каково его аналитическое представление? Какова структура траекторий на многообразии S и ее связь со структурой траекторий на многообразии 50?
2°. Пусть дано некоторое автономное уравнение
~ = Х(х), |
(1.13) |
где X , X — п-векторы, для которого известно многообразие 50, представимое соотношением
* = /(Ф) (ф = |
+ <р), |
(1.14) |
и пусть на уравнение (1.13) воздействуют некоторые возму щения, определяемые функциями еХ* (t, х, е). Тогда мы приходим к рассмотрению следующего возмущенного урав нения
|
-^-=--X(x) + eX*(t,x,e). |
(1.15) |
Возникает вопрос — какое влияние |
оказывает возму |
|
щение еХ* |
(t, X , е) на поведение решений невозмущенного |
|
уравнения |
(1.13)? |
|
Как известно, даже малые возмущающие функции могут резко изменить характер фазовых траекторий уравнения (1.13). В то же время при некоторых довольно общих пред положениях относительно рассматриваемых уравнений уда ется показать, что, если невозмущенное уравнение (1.13) (получающееся из уравнения (1.15) при 8 = 0) обладает интегральным многообразием S0, то в достаточно малой его окрестности будет существовать интегральное многообра зие S возмущенного уравнения (1.15), которое при е -> 0 будет стремиться к S0. При этом, если многообразие S0 устойчиво, условно устойчиво или неустойчиво, то много образие S также будет соответственно устойчивым, условно устойчивым или неустойчивым.
Таким образом, интегральные многообразия являются образованиями более стабильными по отношению к малым изменениям правых частей уравнений по сравнению с ин дивидуальными решениями.
5. Метод интегральных многообразий. В настоящее время существуют различные способы определения инте гральных многообразий нелинейных дифференциальных уравнений.
§ 1. И Н Т Е Г Р А Л Ь Н Ы Е М Н О Г О О Б Р А З И Я |
17 |
В основе проводимых исследований, излагающихся в этой монографии, лежит метод [78], [13], [17], [18], который заключается в следующем.
При ряде предположений рассматриваемые уравнения' приводятся к специальному виду. Так, например, уравне ние в стандартной форме (1.9) приводится к виду
JJL = и + Р (t, g, h, е),
(1.16)
- ^ - = Hh + Q{t, g, h, e).
Посредством этих уравнений определяется некоторое ото бражение таким образом, что фиксированная точка этого отображения является интегральным многообразием исход ного уравнения, которое при е = 0 сводится к интеграль ному многообразию S0 соответствующего приближенного уравнения. Исследуется также устойчивость этого много образия.
Следует при этом отметить, что особенностью метода яв ляется тот факт, что он не использует какой-либо специ альной зависимости правых частей от времени.
Другие методы исследования интегральных многообра зий, а также способы их определения будут нами рассмот рены в главе IX.
6. Значение метода интегральных многообразий. Приве денные в п. 3 примеры иллюстрируют специальную особен ность идей, развиваемых в методе интегральных многообра зий. Этот метод представляет собой некоторый новый под ход в качественной теории дифференциальных уравнений.
Мы рассматриваем здесь две системы дифференциальных уравнений — точные уравнения и приближенные, разность между правыми частями которых — величина асимптотиче ски малая, и устанавливаем соответствие между интеграль ными многообразиями этих уравнений. Следует отметить, что, независимо от указанной проблемы о соответствии ин тегральных многообразий, построение даже локальной теории интегральных многообразий для рассматриваемых уравнений представляет большой самостоятельный инте рес в связи с тем, что, как уже отмечалось, качественное ис следование решений системы значительно упрощается, если они лежат на многообразии меньшего числа измерений, '
ГОС. П У Б Л И К А «
Н А У Ч . 10-ТЕХ1 ;і і Ч £ С К ААЯя і
ЬИБЛИОТЕН.А ССОР
Н А
18 |
ГЛ. I. В В Е Д Е Н И Е |
чем исходное фазовое |
пространство. Особенно это отно |
сится к случаю устойчивых интегральных многообразий. Интегральные многообразия позволяют также достаточ но полно исследовать окрестности стационарных решений
рассматриваемых уравнений в критических случаях. Обратим внимание еще на одно важное значение метода
интегральных многообразий. Этот метод дает возможность строго обосновать так называемый одночастотный метод в нелинейной механике и значительно расширить область его применения. При этом следует подчеркнуть, что развитие одночастотных методов нелинейной механики имеет большое прикладное значение не только для нелинейных дифферен циальных уравнений высокого порядка. Так, например, для исследования системы обыкновенных линейных дифферен циальных уравнений с постоянными коэффициентами и размерностью вектора х , равной 10 или 20, мы можем ис пользовать обычные методы, но если размерность х высока (порядка 100 или 1000), то мы сталкиваемся с так называемы ми размерностными трудностями. В ряде случаев эти труд ности преодолимы — первоначальную задачу удается пере формулировать так, что она сводится к задаче более низкого порядка.
Основная идея здесь, как и в методе интегральных мно гообразий, состоит в сведении процесса высокой размер ности к последовательности некоторых процессов более низкой размерности. Эта идея, как известно, является ос новной и для динамического программирования.
Идея метода интегральных многообразий в нелинейной механике принадлежит Н. Н. Боголюбову и была сформу лирована им в 1945 году в монографии «О некоторых ста тистических методах в математической физике». Однако в этой монографии была рассмотрена только частная проб лема о свойствах решений дифференциальных уравнений в стандартной форме на бесконечном временном интерва ле. Вместе с тем идеи и методы доказательства теорем оказались очень эффективными и гибкими и нашли при менение для исследования достаточно широкого класса проблем.
Уже в 1947 году получила развитие идея рассмотрения, вместо конкретного решения системы дифференциальных уравнений, некоторого двупараметрического семейства ре шений, лежащего на двумерном интегральном многообра-