Файл: Матлин Г.М. Проектирование оптимальных систем производственной связи.pdf

Т а б л и ц а 2.4

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРИЗНАКОВ А И Б

i = i

Корреляционное отношение обладает следующими свойствами:

1)оно всегда заключено между 0 и 1;

2)необходимое и достаточное условие отсутствия корреляцион­ ной зависимости признака А от признака Б состоит в том, что т]у/ж==0;

3)если %/х= 1, то между признаками А и Б существует функ­ циональная зависимость y — f(x);

4)коэффициент линейной корреляции между признаками А и

Бвсегда по абсолютной величине не больше корреляционных от­ ношений у\уіх и т\хіу;

При определении формы зависимости по экспериментальным данным необходимо считаться с тем, что любая форма является только приближением (аппроксимацией) к некой теоретической за­ кономерности. Линейная зависимость имеет силу вблизи арифмети­ ческих средних. Однако если распределение эмпирических данных

— 71 —

в большей мере сконцентрировано вблизи геометрических средних, то лучшим приближением является не линейная, а степенная за­ висимость. Поэтому полезным аппаратом при выборе формы за­ висимости является сравнение значений средней арифметической и средней геометрической. Часто для описания одних и тех же дан­ ных можно использовать различные формулы, в особенности, если данные относятся только к части кривой регрессии.

Очень важно иметь теоретическое представление о том, какова должна быть эмпирическая форма зависимости. Если же такого представления нет, то существенную помощь нам может оказать анализ величин коэффициента корреляции и корреляционного от­ ношения. Из сказанного выше ясно, что эмпирическим данным наи­ лучшим образом соответствует кривая, имеющая наибольшее кор­ реляционное отношение. Однако при этом мы подходим к вопро­ су о том, каково должно быть значение корреляционного отноше­ ния, при котором можно признать найденное уравнение связи су­ щественным.

Определение степени существенности найденных связей и пог­ решностей результатов. За исключением крайних случаев, когда коэффициент корреляции или корреляционные отношения равны нулю или единице, трудно утверждать что-нибудь обоснованное о существенности связи между двумя переменными. Поэтому необхо­ димо ввести какое-то допущение, позволяющее преодолеть указан­ ную трудность. Подобное допущение вполне естественно формули­ руется если вспомнить, чго при корреляционной связи значения пе­ ременных находятся под воздействием случайных факторов. От­ клонения фактических значений переменных от их математическо­ го ожидания подчиняются тому или иному закону распределения. По закону больших чисел при увеличении числа наблюдений раз­ ность между эмпирическими величинами и их математическими ожиданиями становится бесконечно малой. По существу, здесь идет речь о необходимости предельного перехода, а именно — об опре­ делении предела той или иной величины при условии, что число наблюдений стремится к бесконечности.

В отношении коэффициента корреляции можно утверждать, что он отражает существенную, приближающуюся к функциональной, связь, если его пределом при названных выше условиях является + 1, и, напротив, если его пределом является нуль, то переменные стохастически независимы между собой. Условием практического решения этой задачи является знание закона распределения коэф­ фициента корреляции в зависимости от числа наблюдений. Для корреляционного отношения аналогичными пределами являются + 1 и 0 с требуемой степенью точности.

При анализе связи между двумя переменными (у, х) ошибки измерения будут влиять на дисперсии и коэффициент корреляции. Обозначим ошибки измерения через щ и ѵ2. Ошибки измерения стохастически независимы и не зависят от у, х, а их математиче­ ские ожидания (средние значения) в пределе равны нулю. Тогда

— 72 —