Файл: Матлин Г.М. Проектирование оптимальных систем производственной связи.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 195
Скачиваний: 0
гулировать организацию обслуживания поступивших требований— увеличивать или уменьшать число обслуживателей, распределять поступающие требования между ними, группировать эти аппара ты таким образом, чтобы обеспечивалось требуемое качество функ ционирования обслуживающего устройства. Последнее определя ется в зависимости от назначения обслуживающего устройства либо показателями, характеризующими стоимость устройства и ис пользование его обслуживающих аппаратов, либо показателями, характеризующими процесс прохождения требования через уст ройство (время ожидания, длина очереди, вероятность отказа) ли бо теми и другими вместе.
Теперь становится очевидной ц е л ь т е о р и и м а с с о в о г о о б с л у ж и в а н и я — она состоит в разработке математических ме тодов определения основных характеристик процессов массового обслуживания для оценки качества функционирования обслужи вающего устройства. З а д а ч е й э т о й т е о р и и является отыска ние функциональных зависимостей величин, характеризующих ка чество функционирования обслуживающего устройства, от харак теристик входящего потока и параметров, характеризующих про пускную способность одного обслуживающего аппарата, а так же организации обслуживания в целом.
Таким образом, предмет, цель и задача теории массового об служивания базируются на фундаментальных понятиях «случай ная величина», «вероятность», «распределение вероятностей», вво димых теорией вероятностей. Представляется, что содержание этих понятий читателю известно.
Входящий поток и время обслуживания. Моменты возник новения заявок на обслуживание на входе сети связи определяют ся периодичностью представления информации. В случае детер минированного процесса моменты ti, 4. h, ■■ in возникновения заявок наперед известны. Однако, как указывалось выше, перио дичность поступления информации в большинстве случаев явля ется величиной случайной и весь процесс поступления информа ции — случайным процессом.
При наблюдении за поступлением вызовов (требований, зая вок) на вход сети связи каждый раз фиксируется только опреде ленная реализация данного процесса. Если контролировать посту пление вызовов в течение определенного отрезка времени несколь ко раз, то каждый раз будут получены различные его реализации. При этом под реализацией процесса понимается конкретная запись моментов поступления в систему вызовов. Для полного описания случайного процесса невозможно определить все его реализации, так как их будет бесконечное множество. В этих целях использу ются 'вероятностные характеристики. Как известно из теории (ве роятностей, наиболее полную характеристику случайного процес са дают законы распределения случайных величин, определяющих данный процесс. Напомним, что з а к о н о м р а с п р е д е л е н и я случайной величины называется такой способ задания ее поведе
— 46 —
ния, который позволяет по определенным правилам получить из
него функцию |
распределения. |
Ф у н к ц и е й |
р а с п р е д е л е н и я |
|
в е р о я т н о с т е й случайной |
величины | |
называется вероятность |
||
того, что £ примет значение меньше, чем х: |
|
|||
|
F t ( x ) r = P ( l < x ) . |
|
(2.1) |
|
Случайная |
величина | может принимать |
непрерывные (т. е. |
||
любые) или только дискретные (например, целочисленные) значе ния.
П л о т н о с т ь ю р а с п р е д е л е н и я н е п р е р ы в н о й с л у
ч а й н о й в е л и ч и н ы I называют |
функцию |
/ g , для которой при |
всех значениях х выполнено равенство. |
|
|
F%{ x ) = j |
/6(2 )& |
(2.2) |
—00 |
|
|
При рассмотрении входящего в сеть связи потока требований (заявок, вызовов) случайными величинами являются моменты возникновения отдельных «заявок на обслуживание» (вызовов, требований и т. д.), объемы документированных сообщений, посту пающих в единицу времени, количество вызовов (для недокументи рованной информации) в единицу времени. Случайной величиной является также и время обслуживания одного вызова, представ ляющее собой, как указывалось выше, характеристику не входяще го потока требований, а обслуживающего устройства (в данном случае сети связи).
Знание закона распределения позволяет однозначно установить все необходимые вероятностные характеристики случайного про цесса и прогнозировать нагрузку, поступающую на вход сети в за данный отрезок времени. Принципиально входящий поток требо ваний и время обслуживания одного требования могут подчинять ся любому закону распределения: дискретному, если в качестве случайной величины рассматривается количество вызовов, или не прерывному, если в качестве случайной величины рассматривает ся продолжительность вызова. В табл. 2.1 приведены основные дан ные некоторых распределений вероятностей, наиболее часто встре чающихся на практике {35, 70].
Для дискретных случайных процессов очень важное значение имеют свойства наличия или отсутствия стационарности, после действия и ординарности.
С т а ц и о н а р н о с т ь означает, что для любой группы из ко нечного числа неперересекающихся промежутков времени вероят ность поступления определенного числа событий на протяжении каждого из них зависит от числа этих событий и от длительности промежутков времени, но не изменяется от сдвига всех временных отрезков на одну и ту же величину. В частности, вероятность появ ления п событий в течение промежутка времени от Т до T + t не зависит от Т и является функцией только п и / .
— 47 —
сч
со
SS
X
к
о
СО
н
ОСНОВНЫЕ ДАННЫЕ НЕКОТОРЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ч
ч
Iа
Ö
ч
Ö
U
*
сз
та
S
SРЗ
и.
I
ет|
+
и
48
О т с у т с т в и е п о с л е д е й с т в и я означает, |
что вероятность |
поступления k событий в течение промежутка |
времени от Т до |
T-\-t не зависит от того, сколько раз и как появлялись события ра нее. Отсутствие последействия означает взаимную независимость появления того или иного числа событий в непересекающиеся про межутки времени. Если за сколь угодно малый промежуток вре мени вероятность одновременного появления двух или нескольких событий бесконечно мала, то процесс, обладающий таким свойст вом, называется о р д и н а р н ы м .
Входящий поток требований, обладающий стационарностью,
ординарностью |
и отсутствием |
последействия, называется п р о с |
т е й ш и м (или |
пуассоновским). Для такого потока вероятность |
|
появления п вызовов за время |
t определяется, как видно из табл. |
|
2.1, по формуле |
|
|
|
|
(2.3) |
Простейший поток обладает рядом интересных свойств:
а) для полного описания простейшего потока достаточно знать математическое ожидание числа требований, поступивших за еди ницу времени, которое численно равно интенсивности входящего потока;
б) конкретные реализации входящего потока могут значитель но отличаться друг от друга, поскольку дисперсия равна математи
ческому ожиданию; |
N |
в) вероятность |
получения в течение промежутка времени дли |
тельности t равно п требований достигает наибольшего значения для t =п/!к {п=0, 1, 2 ...);
г) вероятность (поступления п (вызовов, как видно из ф-лы (2.3), определяется произведением интенсивности потока на продолжи
тельность вызова, т. е. ф-ла (2.3) может быть |
представлена сле |
|
дующим образом: |
|
|
|
Pn(t) = ^ e - y |
(2.3') |
где |
п\ |
|
— величина телефонной нагрузки. |
и как вероятность |
|
|
Вероятность Рп(0 может рассматриваться |
|
одновременного занятия п обслуживающих аппаратов, через кото рые проходит требований со средней продолжительностью t каж дое, и как вероятность появления п требований за время t, равное средней продолжительности обслуживания одного требования. Ес ли входящий поток простейший, то указанные его свойства позво ляют весьма просто решать задачи массового обслуживания. Во многих случаях, связанных с потоками вызовов в различных сетях связи, гипотеза о простейшем потоке является хорошим приближе нием к реальному положению дел. Конкретные примеры простей ших потоков в сетях производственной связи будут рассмотрены в разд. 3.2. В дальнейшем для упрощения выкладок полагается, что это положение сохраняется всегда. Однако следует учитывать, что
49 —
на самом деле простейший поток может лишь приблизительно опи сывать входящие потоки конкретных сетей и для более точного их описания требуется использовать иные распределения, причем не обязательно из числа тех, которые приведены в табл. 2.1.
Из ф-лы (2.3) следует, что если входящий поток требований простейший, то вероятность q(t) того, что вызова за время t не бу дет, подчиняется экспоненциальному закону, так как при п —О
Ро(0 = <7(0 = е -м |
(2.4) |
Обобщением простейшего потока является стационарный ор динарный поток с ограниченным последействием. Потоком с огра ниченным последействием называется такой, для которого проме жутки времени между смежными требованиями есть последова тельность взаимно независимых величин. Если для полного опре деления простейшего потока достаточно задание одной постоянной величины — интенсивности, то для определения стационарного ординарного потока с ограниченным последействием достаточно за дание одной функции <ро(0, представляющей собой предел услов ной вероятности отсутствия требований за время t при условии, что за промежуток времени т поступило хотя бы одно требование. При этом %есть предшествующий t к смежный с ним промежуток вре мени.
Таким образом,
|
|
Фо (0 = |
т-о Р (т) |
<2-5> |
где Р(т) |
— вероятность поступления, по крайней мере, одного тре |
|||
бования |
за |
время т; Р(т, t) — вероятность |
отсутствия требований |
|
за время |
t |
при условии, что за |
предшествующий отрезок времени |
|
т поступило хотя бы одно требование. Функция <р0(t) носит назва ние функции Пальма. Установлено, что для стационарного орди нарного потока с ограниченным последействием вероятность того, что момент поступления п-го вызова меньше t, равна
|
Рп ( 0 = 1 - ф о (t), |
(2.6) |
где Pn(t) — вероятность того, что момент поступления я-го |
вызо |
|
ва меньше |
Формула (2.6) справедлива при любом п ^ 2 , |
т. е. |
Р г (0 — Р з (0 — ■■■= Р п (0 - Заметим, что для стационарного орди нарного потока с ограниченным последействием интенсивность по тока % не равна математическому ожиданию числа требований за единицу времени, как это имело место для простейшего потока. В этом случае
(2.7)
т—о X
— 50 —
Интенсивность такого потока может быть определена и как
(2.7')
о
где фо(*) — функция Пальма.
Функция Пальма широко применяется при расчете многофа-/ зовых систем связи, поскольку доказано [171], что если на вход многофазового обслуживающего устройства поступает простейший поток требований, то на все обслуживающие аппараты этого уст ройства, кроме первого, будет поступать стационарный ординар ный поток с ограниченным последействием.
Другое обобщение простейшего потока может быть получено, если связать последействие с числом обслуживаемых одновремен но вызовов. Потоком с простым последействием называется орди нарный поток вызовов, для которого в любой момент времени Т существует конечный условный параметр этого потока, зависящий только от состояния системы обслуживания в момент Т и характе ристики вызова. Вероятности состояний системы зависят от Г и вероятности поступления вызовов в промежутке Т +А t, т. е. поток с простым последействием является нестационарным потоком. По ток с простым последействием не может быть задан отдельно от системы обслуживания. Задание же системы и стратегии обслужи вания, а также функций распределения времени занятия полно стью определяет данный поток. Поток с простым последействием, параметр которого зависит только от числа обслуживаемых в дан ный момент вызовов, называется симметричным. Простейший по ток это частный случай потока с простым последствием, ;в том числе симметричного, когда параметр не зависит от состояния системы.
Симметричный поток называется п р и м и т и в н ы м , если его па раметр кі прямо пропорционален числу независимых и свободных в данный момент источников, т. е. к і = ( п —і)а, где а — число, пред ставляющее коэффициент пропорциональности, равный параметру потока одного источника в момент, когда последний свободен; п— общее число источников; і — число занятых источников (занятый источник не может производить вызовы) [83].
Если на полнодоступный пучок с ѵ линиями поступает симмет ричный примитивный поток вызовов от п источников, то вероят ность .наличия і занятых линий определяется ф-лой Энгсета [83]
где к — п ос 1+ а
51 —