Файл: Матлин Г.М. Проектирование оптимальных систем производственной связи.pdf

Потери по времени Pt численно равны вероятности занятости всех линий:

Потери по вызовам могут быть представлены в виде

1 = 0

Можно убедиться в том, что при п->оа последняя формула пере­ ходит в формулу Эрланга.

Время обслуживания требования определяется, с одной сторо­ ны, пропускной способностью обслуживающего аппарата, а с дру­ гой стороны, продолжительностью поступившего требования. Это время является случайным, поскольку случайными являются про­ должительности вызовов (длительность разговоров, число слов в телеграмме и т. д.) и пропускная способность обслуживающих ап­ паратов (время установления соединения телефонисткой я т. п.).

Если при рассмотрении входящего потока требований основное внимание уделяется интенсивности потока, являющейся дискретной случайной величиной, то время обслуживания обычно считается непрерывной случайной величиной. Дискретный пуассоновский про­ цесс характеризуется только функцией распределения вида

представляющей собой «лестницу» с бесконечным множеством «ступенек», начинающихся в неотрицательных целочисленных аб­ сциссах. Поэтому можно говорить не только о функции распреде­ ления вероятностей случайной величины времени обслуживания вида (2.1), но и о ее плотности вида (2.2). Как в теоретических ис­ следованиях, так и на практике, часто применяется показательный закон распределения этой случайной величины. Интенсивность К, как следует из табл. 2.1, в данном случае представляет собой об­ ратную величину математического ожидания времени обслужива-

— 52 —

ния t. Поэтому функция показательного распределения может быть представлена в виде

Функция показательного закона распределения представляет со­ бой плавную кривую, асимптотически стремящуюся к единице.

Примеры использования показательного закона распределения случайной величины времени обслуживания в сетях производствен­ ной связи приведены в разд. 3.2. Надо отметить, что гипотеза о показательном законе распределения данной случайной величи­ ны в сетях производственной связи достаточно хорошо согласует­ ся с практикой при рассмотрении продолжительности телефонных разговоров, времени передачи телеграмм и т. д. Однако, как будет показано в следующем разделе, не вызывают принципиальных трудностей и задачи, когда время обслуживания подчиняется про­ извольному закону распределения.

Расчетные формулы для задач массового обслуживания с пу­ ассоновским входящим потоком и показательным временем обслу­ живания. Как уже указывалось выше, предположения о том, что входящий на сети связи поток вызовов является пуассоновским, а время обслуживания одного вызова подчиняется показательному закону, на практике применяются весьма часто, поскольку эти до­ пущения довольно близко отражают реальную картину. Поэтому весьма существенно уметь количественно решать задачи массово­ го обслуживания, исходя из данных предположений.

Рассмотрим следующую общую задачу. Пусть имеется m источ­ ников нагрузки для обслуживающего устройства, содержащего ѵ обслуживателей, каждый из которых может одновременно обслу­ живать только один вызов. Если в момент поступления вызова имеется хоть один свободный сбслуживатель, он немедленно при­ ступает к работе. Не имеет значения, относится система к числу упорядоченных или нет. Поток вызовов подчиняется пуассоновско­ му закону распределения, а время обслуживания — показательно­ му. Возможны четыре типа сетей.

1)без потерь и без ожидания: каждый вызов, поступивший в любой момент времени, немедленно будет принят к обслуживанию свободным обслуживателем, поскольку число последних не ограни­ чено;

2)с потерями: -вызоів, поступивший ,в момент, копда все обелуживатели заняты, покидает обслуживающее устройство неудовлет­

воренным;

3)с ожиданием: вызов, поступивший в момент, когда имеется*

—55 —