Файл: Красюк Н.П. Электродинамика и распространение радиоволн учеб. пособие.pdf

убывает с течением времени. Это означает, что при установившихся электромагнитных процессах (например, в случае гармонических полей) объемная плотность свободных зарядов в проводящей среде должна быть равной нулю.

Следует отметить, что в случае гармонических полей для обла­

(2.35) вытекают из них как простые следствия.

Для доказательства этого положения применим оператор расхо­

основании уравнения непрерывности тока и, следовательно, divD =

что уравнения для комплексов проще, чем для реальных величин, так как в них отсутствуют производные по времени.

В некоторых случаях магнитная проницаемость также будет иметь вещественную и мнимую части. Физическую сущность этого можно проиллюстрировать на примере ферромагнетика: при его на­ магничивании в высокочастотном поле вследствие инерционности процесса ориентации элементарных контурных токов, иными слова­ ми, вследствие магнитной вязкости возникает магнитный высоко­ частотный гистерезис, который приводит к отставанию по фазе маг­ нитной индукции В от напряженности поля Н на угол Лг|)м. При сла­ бых полях ферромагнитную среду можно считать линейной и, сле­ довательно, векторы поля — изменяющимися по гармоническим за­ конам. Тогда к ним применим метод комплексных амплитуд, для которых можно написать

е“ ;Л+м = ра(cos дфм— у sin Д<М=!*а — уК .

Н т Н "і

В этом случае во второе уравнение Максвелла (2.33) необходимо вместо ца поставить ца- В теорию электромагнитного поля комп­

лексная магнитная проницаемость ца была введена в 1913 г. рус­ ским ученым В. К. Аркадьевым. Не следует смешивать рассмотрен­ ный вид гистерезиса с нелинейным гистерезисом, который может наблюдаться при сильных полях.

Отметим, что при высокочастотных полях может иметь место также инерционность процесса поляризации материала, а следова­

тельно, появление добавочного мнимого слагаемого в еа.

50

В комплексных уравнениях под Е, Н, D, В, 8 и р можно дони­ мать и комплексные амплитуды, сократив обе части уравнений на

& mt.

На границе раздела сред комплексные векторы поля удовлетво­ ряют ранее найденным граничным условиям (2.15а), (2.16), (2.18), (2.19), если в них заменить все действительные величины состав­

Легко убедиться, что эти граничные условия включают в себя граничные условия для реальных составляющих векторов поля.

С этой целью рассмотрим, например, условие (1). Запишем в самом общем виде составляющие Е іх и Е 2р.

Чтобы эти величины были равны [Діотте;(“*+Фи) = Д2тхе;'(ш<+ф2г)1'

необходимо выполнение равенств ф1т — ф2х и Е\тх = Е 2тх.

С учетом этих соотношений мгновенные значения тангенциальных составляющих векторов Е будут равны друг другу, т. е. выполняет­ ся условие (2.16).

В случае проводящих сред, как известно, справедливо условие (2.15в), которое для монохроматических процессов имеет вид

Анализ соотношений (4) и (5) показывает, что при наличии нор­ мальных составляющих тока проводимости на граничной поверх­

51

Из условия (4а) следует, что в общем случае начальные фазы составляющих É Xn и É 2n не равны друг другу (фшт^фгп) за исклю­

чением случая, соответствующего сг = 0.

При введении магнитных сторонних сил правые части второго и четвертого уравнений поля должны быть дополнены соответствен­

пользуются временными векторными диаграммами. При этом гар­ монически изменяющиеся величины условно изображаются векто­ рами, сдвинутыми относительно друг друга на углы, равные фазо­ вым (временным) сдвигам между ними. Метод векторных диаграмм может быть использован также и в теории электромагнитного по­ ля. Однако не следует отождествлять условное направление век­ торов поля на временной диаграмме с их действительным направ­ лением в пространстве. Так, например, в однородной изотропной

среде с потерями векторы бп и Е параллельны, в то время как на временной диаграмме соответствующие им условные векторы вследствие комплексности коэффициента пропорциональности (у0 + + /соеа) будут образовывать угол, равный сдвигу по фазе между рассматриваемыми электрическими величинами.

Комплексная диэлектрическая проницаемость и относительность классификации сред по электрической проводимости

Введение комплексной диэлектрической проницаемости приво­ дит уравнения для полупроводника и проводника к форме уравне­ ний для диэлектрика. Этим представляется возможность распрост­ ранить на подобные случаи решения задач, полученные для ди­ электрика.

Действительная и мнимая части комплексной диэлектрической проницаемости характеризуют соответственно плотности тока сме­

Поэтому критерии, определяющие проводящие свойства вещества,

ком, если ток проводимости значительно превышает ток смещения, т. е. > £а. Материал является диэлектриком, если — С

В случае когда еа и — сравнимы по величине, материал считает­

ся полупроводящей средой, и при решении задач необходимо учи­ тывать обе части комплексной диэлектрической проницаемости.

Следует отметить относительность деления веществ, на провод­ ники и диэлектрики. Это следует из того, что приведенные критерии зависят от частоты. Поэтому один и тот же материал с небольшой

52

проводимостью (например, почва) при низкой частоте (ojj) может

При изучении электродинамических процессов в различных сре­ дах вводится также понятие тангенса угла диэлектрических потерь, который представляет собой отношение множителя мнимой части комплексной диэлектрической проницаемости к действительной час-

Абсолютная комплексная диэлектрическая проницаемость через тангенс угла потерь определяется выражением

Выражение квадратичных величин через комплексные векторы электромагнитного поля

Метод комплексных амплитуд пригоден всегда, когда векторы поля связаны линейной зависимостью. Он неприменим к опреде­ лению квадратичных величин или при нелинейной зависимости ка­ ких-либо величин от векторов поля. Эти величины нельзя найти, подставив в их выражения вместо действительных значений векто­ ров Е, Н и 8 их комплексы и взяв затем вещественную часть ука­ занных выражений. Поясним это на примере расчета мощности в цепи переменного тока. Известно, что мощность, подводимая к эле­ менту цепи, равна р —и'і'. Если же в выражение р подставить комп­ лексы:

Rе(иі) — а'і' — ti"i" =j= р.

Однако в некоторых случаях удобно определять квадратичные величины (мощность, энергию поля и др.) непосредственно через комплексные векторы, не находя предварительно значений самих вещественных величин. При этом вещественные величины выража­ ют через комплексные и комплексно сопряженные с ними векторы:

53

В качестве примера запишем в комплексной форме известное из физики выражение для мгновенной мощности, выделяемой в еди­ нице объема:

Иногда возникает необходимость вычислить среднее за период значение квадратичных величин. Покажем, что среднее за период значение произведения гармонических величин определяется поло­ виной действительной части произведения комплексного вектора, соответствующего одной из указанных величин, на сопряженный комплекс вектора, соответствующего другой величине. Для этого рассмотрим выражение (2.38). После перемножения в правой час­ ти получаем

Тогда мгновенная мощность через комплексные величины будет выражаться следующим образом:

A= ^ R e [ É ( 0 S ( / ) + E(/)3(/)}.

Вэтом выражении первый член представляет собой величину, изменяющуюся с двойной частотой (в произведение комплексов бу­ дет входить множитель е3’а,(е;іш< = е;і2соі). Его среднее за период зна­

чение будет равно нулю. Второй член является постоянной во вре­ мени величиной (в произведение сопряженных комплексов входит множитель е3'“ ге-3’ш*= 1). Поэтому среднее значение мощности, те­ ряемой в единице объема, будет равно

54