Файл: Красюк Н.П. Электродинамика и распространение радиоволн учеб. пособие.pdf

магнитного типов. Первый член правой части представляет собой активные потери в среде, возникающие за счет ее электрической проводимости. Второй член характеризует амплитуду реактивной мощности, запасенной электромагнитным полем в объеме V. Третий

член представляет собой поток комплексного вектора П, называе­ мого комплексным вектором Пойнтинга, через поверхность 5.

Комплексный вектор Пойнтинга связан с комплексными векто­ рами напряженностей поля следующим образом:

n = ^ - [ H H ] = - i - [ È H ] = i- R e [ É H ] + y - } Im[ÉH],

где Im обозначает мнимую часть.

Среднее за период значение вектора Пойнтинга находят подоб­ но среднему значению мощности (2.39), т. е. оно равно действитель­ ной части комплексного вектора Пойнтинга:

Действительная часть комплексного вектора Пойнтинга харак­ теризует перенос энергии через единичную поверхность, построен­ ную в окрестности рассматриваемой точки нормально к направле­ нию распространения поля, а мнимая часть — колебание энергии через ту же поверхность.

Напишем уравнение баланса для активной мощности. Для этого возьмем от левой и правой частей теоремы Пойнтинга в комплекс­

Левая часть полученного уравнения выражает среднюю мощ­ ность, которую расходуют источники поля в объеме V. Первый член правой части представляет потери мощности, связанные с проводи­ мостью среды. Второй член выражает активную мощность, уходя­ щую за пределы поверхности 5.

59

Подобным же образом можно написать уравнение баланса для амплитуды реактивной мощности. Для этого следует взять от урав­ нения баланса для комплексной мощности мнимые части. При этом в правой части останутся только второй член и мнимая часть треть­ его члена. Мнимая же часть от первого члена равна нулю.

Вопросы для самопроверки

1. Используя уравнения Максвелла, получите выражения для баланса энергии электромагнитного поля в дифференциальной и интегральной формах и поясните

Пренебрегая краевым эффектом, т. е. полагая величину вектора смещения D постоянной по всей площади пластины, определить величину тока смещения и за­ тем найти вектор магнитной индукции и вектор Пойнтинга при р= рі. Рассчитать

3. Полный ток смещения

/см = 8CMnpj = 0,00696 cos at [a].

4. Вследствие симметрии в распределении 6CMz относительно оси z силовые линии вектора Н будут представлять собой концентрические окружности, т. е. будет иметь место только составляющая Н ? , зависящая лишь от координаты р.

Поэтому величина Н может быть получена на основании закона полного тока:

60

Г л а в а 3

ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЭЛЕКТРОДИНАМ ИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ

§ 3.1. ВОЛ Н ОВЫ Е УРАВН ЕН И Я для ВЕКТОРОВ поля. УРАВН ЕН И Е Д А Л А М БЕРА

Для решения уравнений электромагнитного поля обычно их при­ водят к волновым уравнениям. Поэтому основной задачей настоя­ щей главы будет изучение способов и приемов преобразования уравнений Максвелла в волновые уравнения. Напомним, что вол­ новыми называются такие дифференциальные уравнения второго порядка в частных производных, которые описывают распростра­ нение колебаний в среде. Они содержат наряду с пространствен­ ными производными второго порядка также вторые производные по времени.

От уравнений Максвелла можно перейти к:

а) волновым уравнениям для векторов электромагнитного поля; б) волновым уравнениям для электродинамических потенциа­

лов; в) волновым уравнениям для вектора Герца.

Для гармонических процессов все эти три вида уравнений могут быть записаны в комплексной форме.

Уравнения будем рассматривать для общего случая полупроводящей линейной среды, считая ее однородной и изотропной. Урав­ нения же для полей в диэлектрике и проводнике получим как част­ ные случаи вышеуказанных уравнений, принимая в первом случае уэ = 0, во втором случае еа= 0.

Для упрощения рассуждений при переходе от уравнений М ак­ свелла к волновым уравнениям электромагнитного поля в настоя­ щей главе не будем вводить магнитные сторонние токи и заряды. Особенности же подобных волновых уравнений и их решений с уче­ том магнитных источников будут рассмотрены в главе 5.

Для получения волновых уравнений относительно векторов Е или Н воспользуемся уравнениями Максвелла при наличии сторон­ них электрических зарядов и токов (2.25). При этом будем пола­ гать, что среда линейная, изотропная и ее электромагнитные пара­ метры не зависят от времени. Сначала исключим из указанных уравнений вектор Н, а затем — вектор Е. Для исключения вектора Н продифференцируем по времени первое уравнение Максвелла и умножим полученный результат на ра, а затем из второго уравне­

62

После изменения порядка дифференцирования в левой части первого уравнения и сложения уравнений получим

Используя известное соотношение rot rot E = grad div Е —Ѵ 2Е и учитывая третье уравнение Максвелла, будем иметь

Уравнение (3.1) условно назовем обобщенным неоднородным векторным волновым уравнением. В случае диэлектрика (уэ= 0),

когда член рауэ— = 0, уравнение (3.1) переходит в неоднородное

векторное волновое уравнение, или векторное уравнение Даламбе-

равна нулю и оно приобретает вид однородного векторного волно­

Аналогично находят уравнение для вектора Н. Для этого необ­ ходимо от обеих частей первого уравнения Максвелла взять rot, а второе уравнение продифференцировать по времени и полученный результат умножить-на ваПосле таких преобразований и сложения с учетом четвертого уравнения Максвелла будем иметь

§ 3.2. ВОЛ Н ОВЫ Е УРАВН ЕН И Я Д Л Я ЭЛ ЕК ТРО Д И Н А М И Ч ЕСК И Х П ОТЕН Ц И АЛ ОВ

Неоднородные уравнения (3.1) и (3.3) для векторов поля обла­ дают серьезным недостатком, заключающимся в том, что в их пра­ вой части стоит не сама возбуждающая функция, а ее grad (3.1) или rot (3.3). Так как градиент и ротор представляют собой опре­ деленные комбинации частных производных по координатам, то мо­ жет оказаться, что на границе области, охватывающей источники поля, эти величины вычислить невозможно. Так, например, в слу­ чае стороннего возбуждающего тока, текущего но проводу, плот-

SCэT на границе проводника скачком уменьшается до нуля, и, следовательно, производная ее по нормали к поверхности

63