Файл: Красюк Н.П. Электродинамика и распространение радиоволн учеб. пособие.pdf

Плотность стороннего электрического тока 8ЭСТ можно тракто­ вать, как возбуждающую функцию, входящую в правую часть пер­ вого уравнения Максвелла. Введем аналогичную возбуждающую функцию также в правую часть второго уравнения Максвелла:

где о) дополнительная сторонняя возбуждающая функция.

\|_ с е к -м2

ляет собой фактически не плотность тока, а «плотность напряже­ ния». Поэтому исторически сложившийся термин «магнитный ток» является методологически неудачным [1], но так как он установился в литературе, будем его придерживаться.

При исследовании возбуждения электромагнитных полей часто вводят фиктивную плотность магнитных зарядов. Тогда четвертое уравнение Максвелла записывается так же, как и третье уравнение:

ческих зарядов выражается в При введении фиктивных магнитных зарядов и токов следует

иметь в виду, что в природе нет «магнитных зарядов» только одно­ го знака, подобных положительным и отрицательным электриче­ ским зарядам: даже в весьма малом объеме магнитного вещества всегда присутствуют два полюса. Вместе с тем между электрически­ ми заряженными и намагниченными телами усматривается и пря­ мая аналогия: намагниченные тела напоминают тела, несущие элек­ трические заряды, объединенные в систему диполей с преимущест­ венной ориентацией осей. Указанная аналогия и дала основание для введения магнитных величин в уравнения Максвелла.

Второе и четвертое уравнения Максвелла в интегральной форме с учетом введенных магнитных токов и зарядов записываются сле­ дующим образом:

Уравнения Максвелла с введенными сторонними магнитными и электрическими токами и зарядами образуют симметричную систе­ му уравнений электромагнитного поля с одинаковым видом как ле­

45

вых, так и правых частей. При этом граничные условия также ста­ новятся симметричными. Для вектора В будем иметь

Вы Врл

где Ом— поверхностная плотность магнитных зарядов на границе раздела сред, в-сек/м2 (вб/м2).

На границе идеального проводника магнитных токов (цг-^00) вектор Е терпит разрыв:

Е и = —ѵм,

где ѵм — плотность поверхностного магнитного тока, в/м.

Введение магнитных токов и зарядов облегчает решение ряда электродинамических задач, так как представляется возможным магнитные векторы найти на основе вычислений, проделанных для электрических векторов. В качестве примера можно назвать зада­ чи об излучении рамочных антенн и о магнитных типах волн в вол­ новоде. Следует отметить, что по аналогии с (2.12) для сторонних электрических и магнитных токов и зарядов можно написать урав­ нение непрерывности:

dt

Связь сторонних магнитных токов и зарядов с векторами сторон­ него электромагнитного поля будет рассмотрена в § 5.7.

Вопросы для самопроверки

1.Объясните необходимость введения граничных условий для векторов поля.

2.Запишите граничные условия для нормальных и тангенциальных состав­ ляющих векторов электрического и магнитного полей.

3.Определите понятие сторонних электрических и магнитных токов и зарядов.

4.Запишите симметричную и несимметричную системы уравнений Максвелла

винтегральной и дифференциальной формах.

§2.5. УРАВН ЕН И Я М А К СВЕЛ Л А В КО М П Л ЕК СН О Й ФОРМ Е

Представление гармонических колебаний в комплексной форме

На практике в большинстве случаев приходится иметь дело с электромагнитными полями, создаваемыми периодически изменяю­ щимися во времени токами и зарядами. Периодические колебания зарядов и токов, а также зависящие от них колебания напряжен­ ности поля как периодические функции могут быть представлены рядом Фурье в виде суммы косинусоидальных колебаний:

П

U = U { t ) = y . U mcos{tmri+<bm).

т = 1

46

Часто электромагнитные процессы представляют собой гармо­

U = U mcos (orf-1-ф).

При этом амплитуда Um и начальная фаза колебаний ф в об­ щем случае могут зависеть от положения рассматриваемой точки в пространстве.

Анализ гармонических процессов значительно упрощается при введении известного из курса «Основы теории цепей» метода комп­ лексных амплитуд, называемого также символическим методом. В основу перехода от реальных физических величин к их символи­ ческой записи, как известно, положена формула Эйлера:

е :Н<»і+<\>) = COS (co^—|—ф) + j sin (urf-j-ф).

0 = 0 me ^ o,t= U mcos (ш/-[- ф) + j U msin (ürf-f '§)= U ' ± j U " ,

где

U ' = U тcos (о>^-)- ф), U " — U msin (tozf-j- ф).

Комплексная амплитуда может быть представлена через свою вещественную и мнимую части:

Ü m = и тcos ф ± j U msin ф = U'm + j U т" .

Перейдем к вопросу представления векторной гармонической величины комплексным вектором. В общем случае составляющие вектора по координатным осям могут не совпадать по фазе:

А = х 0Атх cos (wt- f фJ - f УоA mVcos [wt + Цу)+ z0A mz cos (orf+ <j»e).

Каждую составляющую вектора как скалярную функцию можно представить соответствующей ей комплексной величиной. Напри­ мер, для составляющей А х имеем

47

где знак оо обозначает соответствие комплексной величины дейст­ вительной величине.

Тогда комплексный вектор А запишется так:

чие от комплексных скалярных величин комплексный вектор в об­ щем случае нельзя представить в виде вектора, вращающегося в комплексной плоскости так, чтобы проекция этого вектора на дейст­ вительную ось представляла собой реальную гармоническую вели­ чину в любой момент времени.

На основании изложенного следует, что всякую гармонически изменяющуюся величину А (или U) можно представить комплек­

сом Â (или U), который в свою очередь можно выразить в виде

произведения комплексной амплитуды Ат (или От) на временной множитель езѴ* или е~;ш<. В дальнейшем будем пользоваться вре­ менным множителем

Уравнения Максвелла в комплексной форме

Запишем для монохроматических процессов комплексные вели­ чины, соответствующие вектору Н и производным от него:

Соответственно интеграл по времени запишется как

причем постоянная С принимается равной нулю, так как рассмат­ риваемые процессы монохроматические.

Переход в уравнениях Максвелла к комплексным векторам воз­ можен потому, что эти уравнения являются линейными. В силу это­ го, если комплексные векторы поля удовлетворяют таким уравне­ ниям, то это значит, что порознь этим уравнениям удовлетворяют их мнимые и вещественные части. Следовательно, Полученные ре­ шения дифференциальных уравнений поля для комплексных векто­ ров дают возможность найти реальные векторы поля, если от ука­ занных комплексных векторов взять действительные части.

48

Для получения дифференциальных уравнений в комплексной форме подставим в уравнения Максвелла (2.25) вместо векторов поля соответствующие им комплексные величины. Тогда для одно­ родной изотропной полупроводящей среды без введения магнитных сил получим

где 8а — абсолютная комплексная диэлектрическая проницаемость среды, равная

Следует отдельно доказать справедливость уравнения (2.34), которое в случае негармонических полей имеет вид divD = p+ p3CT.

Чтобы доказать, что в случае гармонических полей р= 0, напишем уравнение непрерывности тока (2.12) для таких полей:

Из последнего соотношения сразу же получаем, что для диэлектри­

ка р= 0, так как для него уэ = 0.

Физически отсутствие заряда в диэлектрической среде можно объяснить следующим образом. В случае гармонических полей объемная плотность свободных зарядов должна изменяться во вре­ мени по закону p= pm cos (со£ + ф). Всякое же изменение заряда должно сопровождаться возникновением тока. Однако в идеальном диэлектрике появление тока проводимости невозможно. Следова­ тельно, свободные объемные заряды должны отсутствовать.

Для доказательства того, что в общем случае полупроводящей

Равенство объемной плотности заряда нулю можно объяснить еще таким образом. В случае среды с проводимостью, отличной от нуля; объемная плотность свободных зарядов в любой внутренней точке среды в соответствии с § 2.2 экспоненциально весьма быстро

49