Файл: Красюк Н.П. Электродинамика и распространение радиоволн учеб. пособие.pdf

параметров другой среды и такое же изменение векторов поля на границе раздела сред. Однако при теоретическом рассмотрении макроскопических процессов удобно считать, что существует грани­ ца раздела сред.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме, содержащие производные от составляющих векторов поля по координатам, те­ ряют смысл в точках, где эти векторы терпят разрыв. Поэтому для решения задач с помощью системы дифференциальных уравнений необходимо иметь соотношения для векторов Е, D, Н, В на грани­ цах раздела сред, т. е. где скачкообразно изменяются параметры 8а, Ца, УэГраничные условия находят на основании приложения уравнений Максвелла в интегральной форме к областям на границе раздела сред с последующим предельным переходом.

Граничные условия для векторов электрического поля

Нормальные составляющие

Рассмотрим на границе раздела сред (рис. 2.6), которая в об­ щем случае может быть заряжена с поверхностной плотностью о, площадку AS настолько малой величины, чтобы можно положить равномерно распределенными на ней заряд и векторы поля. Затем

(j) DdS ^ а д 5 .

Спил

Поток вектора D через замкнутую поверхность цилиндра со­ стоит из потоков через основания цилиндра в первой (D^o'AS) и второй (D2no"AS) средах и потока через всю боковую поверхность

цилиндра ( [ D 12ds\ , т. е. \*б /

ОіПоДУ- f D2nÖAS + [ D^dS Ä д5з.

Устремим высоту цилиндра к нулю (А/і-ИЗ). Тогда поток через боковую поверхность ^ D 12dS^-0, так как S^—>-0. При этом также

h

По'-міо, а п0"-> —По. Следовательно, при Ah-^0 будем иметь

DjtloAS— О2П0ДУ Ä ДУа,

38

откуда для любой точки поверхности раздела сред получаем

Граничное условие (2.15) можно записать еще и так:

Из (2.15а) следует, что нормальная к границе раздела сред со­ ставляющая вектора электрической индукции при переходе через эту границу изменяется на величину поверхностной плотности заря­ да. Если же на граничной поверхности нет зарядов, то нормальная составляющая электрической индукции D n на границе непрерывна, а аналогичная составляющая напряженности электрического поля терпит разрыв:

Если обе среды обладают конечной электрической проводимо­ стью, отличной от нуля, то приведенные условия необходимо допол­ нить соотношением, связывающим между-собой нормальные состав­ ляющие ТОКОВ Проводимости: 0пр1п=ѴэіА»г, бпр2п = Ѵэ2Ап. Для ЭТОГО воспользуемся законом сохранения заряда

S

где q — заряд внутри объема, ограниченного рассматриваемой по­ верхностью S.

Применение этого равенства к цилиндру, пересекающему грани­ цу раздела сред, приведет к следующему соотношению:

Тангенциальные (касательные) составляющие

Выберем замкнутый контур A B C D в плоскости, перпендикуляр­ ной к поверхности раздела сред (M N на рис. 2.7).

Введем следующие обозначения: высота контура Аh, длина AI, единичный вектор нормали к границе раздела п0, касательный к границе раздела единичный вектор, лежащий в плоскости контура, то, нормальный к плоскости контура единичный вектор т 0. Приме­ ним к контуру A B C D второе уравнение Максвелла в интегральной форме (2.5). Тогда при выбранном направлении обхода контура, указанном на рис. 2.7 стрелкой, и достаточно малой величине AI будем иметь

dB

E jTqД/— Е2т0Д/-[- Э бокÄ — Д/Д/г — гл0.

39

При неограниченном уменьшении высоты контура (Д/і-»-0) сто­ роны A B и D C сливаются на границе. В результате этого э. д. с. З б0к, приходящаяся на боковые стороны AD, ВС, и правая часть приведенного равенства стремятся к нулю. Тогда получаем следую­ щее граничное условие:

Граничное условие (2.16) может быть записано также в следую­ щем виде:

[п0(Е1- Е 2)]= О,

Направление о5хода

Из (2.16) следует, что касательная составляющая вектора на­ пряженности электрического поля на границе раздела непрерывна. Касательная же составляющая электрической индукции терпит раз­ рыв: DiT ¥=D2 . Действительно, из (2.16) вытекает, что

Таким образом, линии векторов E и D на границе раздела сред преломляются (рис. 2.8). При отсутствии поверхностного заряда (а = 0) углы, характеризующие наклон этих линий к границе, связа­ ны отношением

Те же углы имеют место и для вектора Е.

Граничные условия для векторов магнитного поля

Граничные условия для векторов В и Н находят на основании равенства Гаусса — Остроградского для магнитного поля (2.7) и закона полного тока (2.1) аналогично предыдущему случаю.

40

Нормальные составляющие на основании тех же соображений удовлетворяют условию

Соответственно для тан­ генциальных составляющих магнитной индукции В имеем

В1 - и

В2X Н2

Магнитные линии пре­ ломляются на границе раз­ дела сред подобно прелом­ лению силовых электриче­ ских линий при а = 0. При этом

Условия на границе идеального проводника

Предположим, что ток течет в бесконечно тонком поверхностном слое (что является вообще абстракцией). Тогда распределение его удобно характеризовать плотностью поверхностного тока. Под плотностью поверхностного тока понимается векторная величина ѵ, численно равная пределу отношения электрического тока, прихо­ дящегося на некоторый линейный элемент поверхностного слоя, нормальный к направлению движения заряженных частиц, к длине

этого элемента, когда последняя стремится к нулю ^ ѵ = . Век­

тор V имеет направление, совпадающее с направлением движения положительно заряженных частиц.

В случае наличия поверхностного тока іпов при стягивании кон­ тура к линии правый член выражения (А) не стремится к нулю. Этот член будет стремиться к значению- т 0ѵА/ (рис. 2.9). Граничное

41

условие для рассматриваемого случая будет иметь вид

Наибольшая величина изменения тангенциальной составляющей Н х имеет направление, перпендикулярное к вектору плотности по­

границе раздела сред тангенциальные составляющие напряженно­ сти магнитного поля испытыва­ ют разрыв, равный плотности

этого тока.

Теоретически можно пред­ положить наличие поверхност­ ного тока только на границе раздела с идеально проводя­ щим телом (средой). Прибли­ женно к этому случаю могут быть отнесены тела из хорошо проводящих металлов. Пере­

менные токи, как будет показано в главе 7, текут внутри весьма тонкого поверхностного слоя этих тел.

В случае идеального проводника (у2-н>-оо) переменное электро­ магнитное поле не проникает в такой проводник (см. главу 7). Сле­ довательно, векторы поля (Н2) Е2, В2, D2) внутри идеального про­ водника равны нулю (в частности, Я 2т = 0). Поэтому у границы с идеально проводящим телом тангенциальная составляющая напря­ женности магнитного поля по модулю равна плотности поверхно­

чаем, что на поверхности идеального проводника тангенциальная

Таким образом, у границы идеально проводящего тела отличны­ ми от нуля могут быть только тангенциальная составляющая век­

42

тора магнитного поля ( Я ^ ^ О ) и нормальная составляющая век­ тора электрического поля (Еі„ =й= 0).

В заключение отметим, что для реальных сред, когда их электри­ ческие проводимости конечны, поверхностные токи не имеют места. Поэтому на границе раздела обычных сред касательные составляю­ щие векторов Е и Н всегда непрерывны.

§ 2.4. СТО РО Н Н И Е СИЛЫ И ПОЛНАЯ СИСТЕМ А УРАВН ЕН И Й ЭЛ ЕК ТРО М АГН И ТН О ГО ПОЛЯ

Сторонние электрические силы и полная система уравнений электромагнитного поля

При рассмотрении электромагнитных процессов часто приходит­ ся иметь дело с вопросом возбуждения или создания поля (на­ пример, в теории антенн). При этом токи и заряды, возбуждающие поле, создаются каким-либо генератором, не входящим в область, где наблюдается электромагнитное поле. Указанные токи и заряды называют сторонними. Сторонние токи и заряды участвуют в воз­ буждении электромагнитного поля, однако создаются они иными причинами или иным электромагнитным полем.

С учетом сказанного суммарные плотности тока бэ и заряда рэ будут равны

ность стороннего электрического заряда.

Из определения следует, что 8ЭСТ и рэст обусловлены не теми век­ торами поля Е и D, которые подлежат определению из уравнений, а другими — сторонними (Ест) по отношению к ним электрически­ ми векторами — силами. В уравнениях сторонние плотности токов и зарядов являются известными величинами. Сторонние токи могут быть любыми из трех рассмотренных видов (токи проводимости, то­ ки смещения или конвекционные токи) и определяться сторонними силами (например, сторонний ток проводимости 6Прст= ѴэЕст). При этом, если указанные сторонние силы (Ест, DCT) заданы, то суммар­ ная плотность тока определяется соотношением

Зэ=8пр + 8пр+^м+ 8=м-Уэ(Е+ ЕСІ) + ^ ± ^ . (2.23а)

Теперь можно написать полную систему интегральных уравне­ ний электромагнитного поля, под которой понимается совокупность четырех уравнений Максвелла в интегральной форме с введенными в них сторонними электрическими токами и зарядами:

43

Hdl — ^,p + fCT + — ^ DdS^— (Snp + ^см + ^э1) dS,

Под полной системой дифференциальных уравнений электромаг­ нитного поля понимают четыре уравнения Максвелла в дифферен­ циальной форме с введенными в них сторонними электрическими зарядами и токами в совокупности с граничными условиями, полу­ ченными в предыдущем параграфе. При этом дифференциальные уравнения записываются следующим образом:

Во многих случаях среда может считаться линейной, изотроп­ ной и однородной. Тогда электромагнитные параметры среды мож­ но вынести за знак пространственной производной и дополнитель­ ные уравнения системы (2.25) принимают вид

div Е = — (р-|-Рэт), divH = 0.

еа

Если, кроме того, эти параметры не зависят от времени, то их можно вынести за знак производной по времени:

Отметим, что системы уравнений электромагнитного поля с вве­ денными источниками только электрического типа называются не­ симметричными системами.

Сторонние магнитные силы и симметричная система уравнений электромагнитного поля

При введении сторонних электрических токов и зарядов подвер­ гаются изменению правые части первого и третьего уравнений Мак­ свелла. Подобные рассуждения могут быть проведены также в от­ ношении второго и четвертого уравнений Максвелла.

44