Файл: Красюк Н.П. Электродинамика и распространение радиоволн учеб. пособие.pdf

Вопросы для самопроверки

1.Запишите систему уравнений Максвелла в комплексной форме.

2.Поясните принцип классификации сред по их электрической проводимости.

3.Как выражаются мгновенные и средние значения квадратичных величин через комплексные векторы?

Задача. Определить, при какой частоте амплитуда гармонически изменяюще­ гося тока смещения в морской воде будет равна амплитуде тока проводимости, если известно, что проводимость морской воды уэ = 4,5 ом~І-м~І, а ее диэлектри­

ческая проницаемость е=81.

Р е ш е н и е . Ток проводимости будет равен току смещения при равенстве

§ 2.6. ЗАКОН СО ХРА Н ЕН И Я ЭН ЕРГИ И Д Л Я ЭЛ ЕК ТРО М АГН И ТН О ГО ПОЛЯ

Вектор Пойнтинга

Энергия, которая вносится сторонними токами в данную об­ ласть, может накапливаться электромагнитным полем, распростра­ няться и преобразовываться в другие формы энергии.

Выделим в электромагнитном поле некоторый объем V, ограни­ ченный поверхностью S, и составим уравнение баланса энергии в нем. При этом будем полагать, что имеющиеся в объеме V прием­ ники преобразуют электромагнитную энергию только в тепловую энергию (что учитывается параметром уа). Тогда исходя из закона сохранения энергии и общих физических представлений можно утверждать, что энергия источников поля затрачивается на выде­ ление тепла, на накопление энергии электромагнитного поля внутри объема V и на переход энергии из этого объема в прилегающее к нему пространство, т. е.

окружающее его пространство (мощность распространяющейся энергии).

Найдем члены уравнения баланса энергии (2.40), воспользовав­ шись уравнениями Максвелла общего вида:

55

—div [ЕН]. Перенесем это выражение из левой в правую часть урав­ нения, а из правой части в левую перенесем третий член, опреде­ ляющийся источниками поля. В результате будем иметь

- ( 3 C3TE + 5^H) = y9E 2+ ( E - ^ + H ^ - j + div[EH]. (2.41)

Выражение (2.41) называют теоремой Пойнтинга о балансе энергии электромагнитного поля в дифференциальной форме.

Проинтегрируем полученное соотношение по объему V, содер­ жащему все источники сторонних токов, которые учитывались в уравнениях Максвелла. При нахождении интеграла от третьего чле­ на правой части воспользуемся теоремой Остроградского — Га­ усса.

Тогда

Полученное выражение называют теоремой Пойнтинга о балан­ се энергии электромагнитного поля в интегральной форме.

но тем, что для отдачи сторонними токами энергии полю векторы Е и Н этого поля направлены противоположно соответственно век­

часть становится положительной величиной, так же как и состав­ ляющие мощности, входящие в правую часть выражения (2.42).

Первый интеграл в правой части выражения (2.42) отличен от нуля, если существует проводимость среды уэ. Поэтому его необхо­

56

димо трактовать как мощность, преобразующуюся в рассматривае­ мом объеме в тепло:

Подынтегральное выражение представляет собой известный из физики закон Джоуля — Ленца в дифференциальной форме, опре­ деляющий мощность тепловых потерь в единице объема:

Р ТІ= ЧаЕ > = ^ - = Е Ъ аѵ. (2.45)

ъ

Второй интеграл в правой части выражения (2.42) представляет собой мощность, расходуемую на накопление энергии электромаг­ нитного поля в объеме V:

Смысл приведенного выражения раскрывается, если рассмот­ реть случай линейной, изотропной среды. Тогда подынтегральные выражения можно записать так:

Подставляя полученные выражения в (2.46), найдем

Рассмотрим третий член правой части уравнения баланса энер­ гии (2.42). Подынтегральное выражение третьего члена является

вектором и измеряется как плотность мощности в — ■ — = [sr/.n2].

57

Этот вектор, равный векторному произведению векторов напря­ женности электрического и магнитного полей, носит название век­ тора Пойнтинга:

Направление вектора Пойнтинга определяется по правилу век­ торного произведения, т. е. он направлен перпендикулярно к плос­ кости, в которой расположены векторы Е и Н (в сторону распро­ странения энергии). Векторы Е, Н и П образуют правовинтовую си­ стему (рис. 2.10, а). Модуль вектора П равен

Вектор Пойнтинга численно равен количеству энергии, переноси­ мой электромагнитными волнами -за единицу времени через еди­ ничную площадку, расположенную перпендикулярно к направлению распространения энергии.

Таким образом, третий член уравнения (2.42) представляет со­ бой поток вектора Пойнтинга через замкнутую поверхность, огра­ ничивающую рассматриваемый объем V. Этот член определяет мощность, которая в зависимости от знака интеграла либо выходит (при знаке «плюс») через поверхность 5 (рис. 2.10, б) из объема V, либо входит (при знаке «минус») в этот объем. Следовательно, тре­ тий член характеризует распространение, излучение электромагнит­ ной энергии:

5

Приведенный интеграл имеет важное значение в электродинами­ ке, так как позволяет определить энергию, переносимую полем за единицу времени через любую заданную поверхность (в том числе

инезамкнутую, рис. 2.11).

Взаключение рассмотрим теорему и вектор Пойнтинга в комп­ лексной форме. Для получения математического выражения теоре­ мы Пойнтинга в комплексной форме выразим мгновенные значения

векторов в формуле (2.42) через полусуммы комплексных векторов и сопряженных с ними векторов.

Далее, проинтегрировав от нуля до Т составленное таким путем соотношение и затем поделив на Г и отбросив знак действительной части, получим теорему Пойнтинга в комплексной форме [1]:

Левая часть приведенного выражения представляет собой комп­ лексную мощность, создаваемую источниками электрического и

58