Файл: Красюк Н.П. Электродинамика и распространение радиоволн учеб. пособие.pdf

провода равна бесконечности. По указанной причине для опреде­ ления электромагнитного поля в области, содержащей сторонние заряды и токи, желательно ввести вспомогательные функции, для которых дифференциальные уравнения содержали бы в правой час­ ти не grad р" или rot 8 ", а сами сторонние заряды (р£т) или воз­

буждающие токи (з")-Такими вспомогательными функциями явля­

ются скалярная функция U3 и векторная функция Аэ. Эти функции соответственно называют электрическим скалярным и векторным потенциалами, или электродинамическими потенциалами.

Электродинамические потенциалы вводятся на основании урав­ нений Максвелла следующим образом. Поскольку divB = 0, по­ стольку, используя известное тождество divrotA3 = 0, справедливое для любого вектора Аэ, можем принять

Подставим (3.4) во второе уравнение Максвелла. Тогда будем иметь

Затем, используя известное тождество векторного анализа (см. приложение III), заключающееся в том, что ротор вектора равен нулю только в случае, если вектор является градиентом скалярной функции, получим

Знак «минус» перед градиентом поставлен для того, чтобы вве­ денная скалярная функция U3 в частном случае электростатическо­ го поля представляла собой электростатический потенциал, изме­ ряющийся работой, совершаемой силами поля при перемещении единицы положительного заряда из данной точки в бесконечность.

Подставим выражения В и Е из (3.4) и (3.5) в первое уравнение Максвелла. В результате получим

Учитывая приведенное выше соотношение для двойного ротора, последнее равенство перепишем так:

= - М а

Это векторное уравнение представляет собой три скалярных уравнения, в которые входят в качестве неизвестных четыре функ­ ции—-три проекции вектора Аэ и скалярная функция U3.

64

Четвертое скалярное уравнение получают на основании следую­ щих рассуждений. Векторный потенциал Аэ определяется соотноше­ нием (3.4) неоднозначно, так как вектор В равен также ротору век­

Таким образом, соотношение (3.4) определяет вектор А8 с точ­ ностью до градиента произвольной скалярной функции.

Различные решения для вектора А/, удовлетворяющие данному дифференциальному уравнению и одним и тем же граничным усло­ виям, очевидно, дают одно и то же электромагнитное поле. Поэтому можно ограничиться одним из решений для векторного потенциала.’ С этой целью подчиним электродинамические потенциалы дополни­

§ 3.3. ВОЛ Н ОВЫ Е УРАВН ЕН И Я Д Л Я ВЕКТОРА ГЕРЦА

При решении электродинамических задач часто используют век­ тор Герца. Введение этого вспомогательного вектора дает возмож-

ность свести уравнения Максвелла лишь к одному векторному урав­ нению.

Поскольку Аэ и и э связаны дополнительным соотношением (3.6), их можно выразить через одну векторную функцию Гэ. Дей­ ствительно, пусть

Тогда Аэ на основании дополнительного соотношения

Введенный вектор Гэ называется электрическим вектором Герца, или электрическим поляризационным векторным потенциалом. Ес­ ли в уравнение (3.7) вместо Аэ подставить его выражение через Гэ, то получим

В случае диэлектрика находим

PCT = J 8lrdt.

Можно показать, что Рст имеет смысл удельного (приходящего­ ся на единицу объема) электрического момента сторонних токов. Этот вектор подобен вектору поляризованности Р вещества. Так, например, если сторонние токи в объеме ДЕ создают суммарный

дк^о ДЕ

Таким образом, слово «поляризационный» говорит о связи элек­ трического вектора Герца со сторонним вектором поляризованности среды.

Выражения для Е и Н через Гэ в соответствии с (3.4), (3.5), (3.9) и (3.10) следующие:

66

Следовательно, для определения векторов поля Е й Н по (3.13) и (3.14) достаточно решить только дифференциальное векторное уравнение для Га.

§ 3.4. ВО Л Н О ВЫ Е УРАВН ЕН И Я В К О М П Л ЕКСН О Й ФОРМ Е

При гармонических (монохроматических) источниках введение комплексных амплитуд позволяет упростить волновые уравнения поля. Так, например, вместо Аэ вводится комплексный векторный

потенциал А э {t)^=km£?wi. После подстановки комплексных векто­ ров в рассмотренные волновые уравнения и последующего деления обеих частей этих уравнений на временной множитель еі"’ * получа­ ют следующие неоднородные дифференциальные уравнения в комп­

В рассматриваемом случае монохроматических волн потенциал С/э может быть определен на основании дополнительного соотноше­

ния (3.6) по векторному потенциалу Â 3: (У3= ----- Ц ^ сН ѵ А э.

Поэтому для решения задачи достаточно решить только векторное уравнение (3.17).

Векторы поля Е и Н находят через векторный потенциал по сле­