Файл: Красюк Н.П. Электродинамика и распространение радиоволн учеб. пособие.pdf

Правая часть (3.21) найдена из уравнения (3.12). Векторы поля определяются следующими выражениями:

и в точках, где нет источников,

еа

В отсутствие источников рассмотренные неоднородные уравне­ ния превращаются в однородные волновые уравнения. Заметим, что волновые уравнения для гармонических полей в комплексном виде называются уравнениями Гельмгольца.

Оператор Лапласа от скалярной величины, входящий в волно­ вые уравнения, в прямоугольной системе координат, как известно (см. приложение III), равен

С учетом последней формулы каждое векторное волновое урав­ нение разбивается на три скалярных волновых уравнения. Так, на­ пример, уравнение для комплексного векторного потенциала (3.17) эквивалентно следующим трем скалярным уравнениям:

V2Â v-f- k2Â x = —

V2Â1,-f-Ä2Ai,= —

V'1Â z-\- k2Â z— —(^а^эг-

Для решения конкретных задач электромагнитного поля в каче­ стве исходных применяются как однородные, так и неоднородные дифференциальные уравнения. Так, например, при решении задач на отражение и преломление плоских электромагнитных волн на плоских границах раздела сред уравнения Максвелла приводятся к однородным волновым уравнениям для векторов поля, тогда как при решении задач с дипольными источниками обычно применяют­ ся неоднородные векторные волновые уравнения для потенциалов.

§ 3.5. КЛ АССИ Ф И К АЦ И Я УРАВН ЕН И Й ЭЛ ЕК ТРО М АГН И ТН О ГО ПОЛЯ . В И ХРЕВ Ы Е И П О ТЕН Ц И АЛ ЬН Ы Е ПОЛЯ

Прежде всего рассмотрим классификацию электромагнитных полей по характеру их зависимости от времени. По этому признаку поля можно классифицировать на негармонические, гармонические

и неизменные во времени (в частности, статические поля). Пер­ вым в общем случае соответствует полная система уравнений Мак­ свелла (2.24), (2.25) в обычной форме, а вторым — в комплексной форме (2.32) —■ (2.35).

Наиболее простыми являются неизменные во времени поля, уравнения для которых получают из полных уравнений Максвелла, если в последних принять производные по времени и токи равными нулю. При этом система уравнений Максвелла распадается на две независимые системы.

1. Уравнения электростатики: rotE = 0,

d iv D = p 3,

D = eaE,

Из (3.24) следует, что электростатическое поле создается непо­ движными не изменяющимися во времени зарядами.

Соответствующее рассматриваемому случаю уравнение второго порядка в частных производных можно получить из (3.1), принимая в нем производные по времени равными нулю. Тогда получим

Большинство задач электростатики решают с использованием электростатического потенциала U3, уравнение для которого в со­ ответствии с (3.8) будет иметь вид

Дифференциальные уравнения второго порядка в частных про­ изводных (3.25) и (3.26) называют соответственно векторным и ска­ лярным уравнениями Пуассона.

2. Уравнения магнитостатики:

Система уравнений (3.27) характеризует магнитостатическое поле. Это поле может быть создано намагниченными телами с по­ стоянной во времени интенсивностью намагничивания или постоян­ ными токами, протекающими вне рассматриваемых областей. Сле­ довательно, указанная система описывает поле в ограниченной об­ ласти с ненулевыми условиями на границе.

69

Уравнение второго порядка в частных производных для рассмат­ риваемого случая будет иметь вид

При наличии постоянного тока электрические и магнитные поля

оказываются связанными соотношением rot H = y3E-f-8sCT. Такое по­ ле называется стационарным.

Электромагнитное поле при наличии постоянных зарядов и токов будет описываться системами (2.24) и (2.25), если принять в них производные по времени равными нулю. Тогда эти системы будут представлять собой совокупность уравнений электро- и магнитоста­ тики, если в последние ввести постоянные токи. Так, например, для вектора Н будем иметь

При этом напряженности поля определяются соотношениями

Н = ——rotАэ, Е = — grad£/3.

Ра

Частным случаем являются также квазистационарные процессы, т. е. переменные процессы, протекающие достаточно медленно. Хо­ тя в этом случае производными по времени уже нельзя пренебречь, однако квазистацйонарные поля (как увидим в дальнейшем) оста­ ются близкими к статическим, так как еще можно пренебречь про­ цессами излучения электромагнитной энергии, т. е. не учитывать волновой характер поля.

Изучению статических и стационарных полей посвящена глава 4. Здесь же остановимся на классификации электромагнитных полей по другим признакам.

Электромагнитные явления можно классифицировать, исходя из. электромагнитных свойств среды, где они протекают, т. е. на элек­ тромагнитные поля в полупроводящей среде, в диэлектрике и в про­ воднике. Первому типу полей соответствует общий вид уравнений Максвелла (2.24), (2.25), остальным — частные виды этих уравне­ ний, а именно: во втором случае необходимо в уравнениях Максвел­

70

Г л а в а 4

С Т А Т И Ч Е С К И Е И С Т А Ц И О Н А Р Н Ы Е П О Л Я

§ 4.1. СИСТЕМ А УРАВН ЕН И Й ЭЛ ЕК ТРОСТАТИ КИ . СК А Л Я Р Н Ы Е УРАВН ЕН И Я П УАССО Н А И Л А П Л А С А И ИХ РЕШ ЕН И Я

Под электростатическим полем, как известно, понимается поле неподвижных электрических зарядов. Следует отметить, что в при­ роде не бывает зарядов, находящихся в покое, и, строго говоря, по­ нятие электростатического поля является абстрактным. Однако в тех случаях, когда величины перемещений зарядов за время наблю­ дения значительно меньше расстояний между ними и удаления от них точки наблюдения, поле, создаваемое такими зарядами, можно считать электрическим полем неподвижных зарядов.

Система уравнений электростатики представляет собой частный случай уравнения электродинамики [см. § 3.5, уравнения (3.24)]. Изменение векторов Е и D на границе раздела сред описывается те­ ми же граничными условиями, которые были получены в главе 2. Напряженность электростатического поля удовлетворяет векторно­ му уравнению Пуассона (3.25):

Еа

Электростатическое поле, как указывалось, является потенци­ альным полем. Его векторы (Е, D) могут быть определены через скалярный потенциал Ue:

Напомним, что градиент потенциала есть векторная величина, численно равная приращению потенциала на единицу длины в на­ правлении его наибольшего изменения. При этом градиент направ­ лен в сторону возрастания потенциала:

где п0 — единичный вектор, показывающий направление наиболее быстрого возрастания потенциала.

Из (4.2) следует, что вектор напряженности поля направлен против градиента, т. е. в сторону убывания потенциала.

Уравнение Пуассона для скалярного потенциала электростати­ ческого поля получено, как частный случай уравнения (3.8), и в соответствии с (3.26) записывается следующим образом:

72

В точках, где отсутствуют накопленные заряды (рэ = 0 ), урав­

Скалярное уравнение (4.3) по причинам, отмеченным в главе 2, решается проще, чем векторное уравнение (4.1). Поэтому электро­ статическое поле будем определять исходя главным образом из ре­ шений скалярных уравнений (4.3), (4.4).

Рассмотрим общие свойства потенциального поля. Если в про­ странстве известна напряженность поля Е , то потенциал этого поля в любой точке (например, точке Р) пространства определяется вы­

ражением

сю Р

Далее заменим подынтегральную функцию в (4.5) на получен­ ное выражение. В результате найдем

- ] E d l — J dU 9= U , (Р ) - U , (оо).

Если заряды заключены в областй конечных размеров, то в соответствии с законом сохранения энергии потенциал их поля на бесконечном расстоянии от этой области должен быть принят рав­ ным нулю. Тогда, полагая в предыдущем выражении Ua(оо) = 0 , по­ лучим формулу (4.5). На основании (4.5) электростатический по­ тенциал Uэ в точке Р может быть определен, как работа, которую необходимо затратить для преодоления сил поля при перемещении единичного положительного заряда из бесконечности в данную точку.

Очевидно, работа, затрачиваемая на перемещение единичного положительного заряда из точки 2 с меньшим потенциалом в точ­ ку 1 с большим потенциалом, равна разности электростатических потенциалов в этих точках:

73