Файл: Красюк Н.П. Электродинамика и распространение радиоволн учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 227

Скачиваний: 9

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Так как электростатическое поле безвихревое (rot Е = 0), то ра­ бота сил этого поля по замкнутому контуру не зависит от конфигу­ рации контура и всегда равна нулю:

ф E d l= — j> d U a= Q .

L L

Пользуясь последним выражением и рис. 4.1, а, можно написать

(J) Edl =

J E d l+

j Edl =

J* Edl —

j Edl = 0.

2ol*2

2a1

1*2

2al

2*1

Отсюда находим, что ^ Edl = j Edl. Следовательно, работа,

2a1 2*1

которая совершается при перемещении единичного заряда в элек­ тростатическом поле по произвольному криволинейному пути 2Ы, равна работе при перемещении заряда по прямолинейному пути 2а1. Таким образом, разность потенциалов между двумя точками (2, 1) не зависит от формы пути, по которому перемещается еди­ ничный заряд, чтобы попасть из точки 2 в точку У.

Для графического представления потенциальных полей, кроме линий напряженности поля, строят поверхности равного потенциала или эквипотенциальные поверхности. Уравнение этих поверхностей имеет вид

и э{*, У, г) =

const.

нормальны

Из (4.2) следует, что линии напряженности поля Е

к поверхностям равного потенциала

(f/=const, рис. 4.1,

б).

Дейст­

 

вительно, составляющая градиента, параллельная направлению 10,

будет равна

E t — E

cos

а =

— grad//9= —

.

 

 

 

74

Если направление Іо выбрать перпендикулярным к вектору Е,

то cos а = cos — = 0 .

Поэтому

~^ э

— О

и, следовательно, в пер­

2

у

ді

 

 

пендикулярном к вектору Е направлении Пэ = const.

Пересечения поверхностей равного потенциала с плоскостью чер­ тежа называют линиями равного потенциала.

Перейдем к отысканию решений уравнений Пуассона и Лапласа для области V, ограниченной замкнутой поверхностью S (рис. 4.2).

При этом внутри области задано распределение заряда с объем­ ной плотностью рэ, а на поверхности S известен потенциал Us и его

dUs

нормальная производная ——«

дп

Для решения задачи воспользуемся формулой Грина:

 

 

 

 

 

( U v \ —<?v2U ) d V =

 

 

( у ■i L _ T « L W

 

(4.7)

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дп]

 

дп )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

где

п

 

 

J

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— внутренняя нормаль к поверхности S.

 

 

 

 

Формула

Грина

 

справедли­

 

 

 

 

 

 

 

 

ва

для функций

 

 

 

и ф, кото­

 

 

 

 

 

 

 

 

рые вместе со своими первыми

 

 

 

 

 

 

 

 

и вторыми производными од­

 

 

 

 

 

 

 

 

V,

 

 

 

и непрерывны

 

внут­

 

 

 

 

 

 

 

 

нозначны

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ри

рассматриваемого

 

 

U = Ug

 

 

 

 

 

 

 

 

 

объема

 

 

 

 

 

 

 

 

 

включая

и его

границу

5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Будем

 

считать,

 

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

является

 

 

 

U3

 

потенциа­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

искомым

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

лом. Из физических соображе­

 

 

 

 

 

 

 

 

ний следует,

что

 

 

удовлетво­

 

 

 

 

 

 

 

 

ряет указанным

требованиям.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вспомогательную же функ­

 

 

 

 

 

 

 

 

цию ф выбираем такой, чтобы

 

 

 

 

Рис. 4.2

 

 

она

удовлетворяла

 

уравнению

 

 

 

 

 

 

 

 

Лапласа V

(Ѵ 2ф= 0)

 

 

и

 

постав­

 

 

 

 

 

Р(х, у,

z),

 

ленным

требованиям

во

всей

 

 

 

 

 

 

 

где эта

области

 

за исключением точки наблюдения

 

 

функция должна обращаться в бесконечность.

 

 

 

 

Простейшей функцией ф,

удовлетворяющей сформулированным

условиям=

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П

 

 

 

 

 

Vявляется{X - х ' У +функция{ у - у ' У ±<р={ г - г ' У

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

X ,

у,

 

z

 

 

 

x ' , y ' ,

z ’

 

 

наблюдения, в которой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— координаты точки

определяется потенциал;

 

 

 

 

— координаты текущей точки рас­

сматриваемой области

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверим это утверждение, для чего найдем производные

 

 

 

 

 

г

 

 

 

 

X

 

 

х ’

 

 

 

Г ) __

 

___ I

3 ( х

х ') 2

 

 

 

 

 

 

дх

 

 

 

 

 

 

г3

’

 

дх 2

г3

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—

 

 

 

\

 

JL

 

г—

 

 

75

Аналогичныхвыражения для производных по

у и г,

только надо

(z

 

 

заменить (х —

')

у

у')

и

—

z').

Из полу­

 

соответственно на ( —

 

 

 

 

ченных выражений следует, что функция и ее первые и вторые про­ изводные всюду непрерывны за исключением точки наблюдения, где они обращаются в бесконечность.

Подставив выражения для вторых производных, убеждаемся, что функция <р= — удовлетворяет уравнению Лапласа:

Функцию ср=— называют фундаментальным решением урав­

нения Лапласа.

Так как непрерывность функции в точке наблюдения Р(х, у, z) нарушается, то для применения теоремы Грина необходимо исклю­ чить из областй V эту точку. Для этого в области V вырежем не­ большую сферу Ѵс с центром в точке наблюдения (см. рис. 4.2). Те­ перь область (V — Гс) ограничена двумя поверхностями, и вместо

1

(4.7) с учетом <р= — следует написать

ѵ^ѵС

S

 

 

1

W s

d S -

Г

ѵ2иэаѵ= -ф

 

 

г дп

 

 

_L

дис

cfSc.

 

 

 

 

 

 

 

На поверхности 5 С

гс

дпс

 

 

 

dUc _

dUc

d S c

• гса *«

 

 

дпс

дгс

дпс

дгс

где й — телесный угол с вершиной в точке Р.

 

 

принять

Кроме того,

если радиус сферы мал, то можно

^U с.ср, где U с.ср— среднее значение потенциала. Учитывая сказанное, а также (4.3), получим

^ d V =

\_

düs

d S

—

~ЧГ

Г

дп

 

76

Если гс—»-0, т. е. сфера стягивается в точку (Ѵс->-0), то

$ £/с.с ^ 2 ->

U a

(Я) f й?2 = 4я £/э(Я), а интеграл от второго слагае-

 

Sc

 

5с

мого в круглых скобках будет стремиться к нулю. Поэтому потен­ циал в точке наблюдения Р (х , у, z ) будет равен

и А Р )

 

 

4я

 

 

 

1_

dUs_

d S . (4.8)

 

 

 

 

 

г

дп

Если же производные берут по внешней нормали, то перед по­

верхностным интегралом надо поставить знак «минус».

 

 

Выражение

(4.8) представляет собой общее решение уравнения

Пуассона

(4.3).

Возможны два основных частных случая рассмат­

риваемой задачи.

 

 

 

 

Ѵ\

 

 

 

 

1.

Заряды сконцентрированы в объеме

ограниченных разме­

ров, среда однородная. Если при этом поверхность S

охватывает все

заряды (полностью включает в себя объем

Ѵ\),

то поверхностный

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

U 5= 0

и

интеграл равен нулю. В этом можно наглядно убедиться, представив

указанную поверхность удаленной в бесконечность, где

(4.8)

ос­

^ р - = 0 .

Таким образом, в рассматриваемом случае в

тается только член, определяющийся зарядами и представляющий

собой частное решение неоднородного-

уравнения Пуассона:

 

 

 

U J P ) = —

& d V .

 

 

 

 

(4.9а)

 

 

 

 

4 я е а JГ

г

 

 

 

 

Запишем это решение с учетом того, что заряды могут быть рас­ пределены не только по объему Ѵ\, но также по некоторой поверх­ ности Si и линейным проводникам Ь\ ограниченных размеров:

4 я в а

J

 

4 л ея

Si

^ d S +

—4 Л ея

,

(4.96)

I

V,

d v - A

 

I

Г

 

LSr d l’

где аэ, Тэ — соответственно поверхностная и

линейная

плотность

электрических зарядов.

 

 

 

 

 

 

 

2.Заряды находятся вне рассматриваемой замкнутой поверхно

сти S, т. е. внутри объема V плотность зарядов рэ = 0. Тогда объем­ ный интеграл равен нулю и потенциал будет определяться поверх­ ностным интегралом:

L

d£ i

d S .

(4.10)

г

дп

Так как при рэ= 0 уравнение (4.3) переходит в (4.4), то выраже­ ние (4.10) является решением уравнения Лапласа, т. е. общим ре­ шением однородного уравнения, получаемого из уравнения Пуас­ сона.

Необходимо отметить, что могут быть также задачи определения электростатического поля, создаваемого зарядами, во всем прост­ ранстве при наличии в нем областей, заполненных разными среда­ ми. Тогда для решения уравнений Пуассона и Лапласа пользуются граничными условиями для векторов Е и D и соответствующими методами решения уравнений математической физики, особенно методом разделения переменных, рассмотренным в главе 5.

§ 4.2. ЭЛ ЕК ТРО СТАТИ ЧЕСК О Е П ОЛЕ ТО ЧЕЧН Ы Х ЗА РЯ Д О В И Д И П О Л Я

Если линейные размеры заряженного тела (или области с заря­ дами) значительно меньше расстояния до точки наблюдения, то множитель 1/г в (4.96) можно вынести за знаки интегралов, и их сумма будет представлять полный заряд q. При таком условии пол­

ный заряд будет создавать поле, аналогичное полю точечного заря­ да. Потенциал этого поля в однородной среде равен

и А Р )

4яеаГ

V^ ,

9эс

s,

4

я

(4.11)

пааг

1

і Ѵ

и^ T 3üf/

 

Покажем, что закон Кулона можно получить как следствие вы­

\ражения (4.11). В самом деле, напряженность поля, создаваемого точечным зарядом q,

Е = —grad£/3=

диэ

д

(4.11а)

d rг0_

4л еаг 2 0

Если в это поле помещен точечный заряд

то на него будет

действовать сила

F =

<iqi

rn,

что и требовалось доказать.

 

4леаЛ-2

 

Формулу (4.11) и закон Кулона можно получить также как следствие равенства Гаусса — Остроградского (2.6), выбрав в ка­

78

Смотрите также файлы