Файл: Красюк Н.П. Электродинамика и распространение радиоволн учеб. пособие.pdf

честве поверхности интегрирования сферу сравнительно большего радиуса с центром в точке расположения заряда. Тогда

откуда получаем то же самое численное значение Е.

Так как интеграл по всей области может быть заменен суммой интегралов по участкам, составляющим эту область, то из формул (4.9) следует, что электрическое поле, создаваемое системой точеч­ ных зарядов, может быть найдено согласно принципу наложения

электромагнитных процессов, поэтому в главе 5 он рассматривает­ ся как общая теорема для электромагнитного поля.

такой системы является поляризованная молекула диэлектрика. Если расстояние до точки наблюдения значительно больше рас­

стояний между противоположными по знаку зарядами и размеров заряженных тел, то определение поля подобной нейтральной.систе­ мы упрощается введением понятия электрического диполя и его электрического момента.

Напомним, что электрическим диполем называется совокуп­ ность двух точечных электрических зарядов, равных по величине и противоположных по знаку и находящихся один от другого на весь­ ма малом расстоянии по сравнению с расстоянием от них до точек наблюдения.

Электрическим же моментом электрического диполя принято на­ зывать векторную величину, численно равную произведению абсо­ лютного значения одного из зарядов диполя на расстояние между ними (рэ — ql) и направленную от отрицательного заряда к поло­ жительному.

Найдем потенциал поля в точке Р, создаваемого диполем (рис. 4.4, а).

79

Рассмотрим структуру поля диполя и сравним ее со структурой поля одиночного точечного заряда. В последнем случае в соответ­ ствии с (4.11) эквипотенциальные поверхности (£/3 = const, если г =

—const) представляют собой концентрические сферы с центром в

точке расположения заряда (рис. 4.4, б). Силовые же линии поля (линии вектора Е) изображаются в виде радиус-векторов, прове­ денных из указанной точки (формула 4.11а и рис. 4.4, б).

Для поля диполя потенциал, как следует из (4.14), зависит не только от величины г, но и от угла Ѳ между осью диполя и направ­ лением на точку наблюдения. Эквипотенциальные поверхности бу-

, cos Ѳ , .

дут удовлетворять более сложному уравнению: —— — const (при

0г^фг^2л). Из этого уравнения следует, что для поля диполя экви­ потенциальными будут сложные по форме поверхности (Ugo, UBu U9г на рис. 4.4, в). Вектору Е поля диполя будут соответствовать замкнутые линии, обозначенные стрелками на рис. 4.4, в.

80

На основании (4.14) и (4.2) найдем напряженность поля стати­ ческого электрического диполя. Составляющие напряженности поля диполя легко определить в сферической системе координат (г, Ѳ, ф), ось Oz которой проходит через ось диполя. Тогда в соответст­ вии с выражением (4.14) найдем (см. формулу П .III.10):

4Яе'аг3

Результирующая величина напряженности поля диполя

Из (4.14) — (4.16) следует, что на больших расстояниях от ди­ поля потенциал убывает обратно пропорционально г2, а напряжен­ ность поля — г3. Это относится к любой нейтральной системе заря­ женных тел, заключенных в ограниченной области пространства. В случае линейной среды поля находят от каждого диполя и затем путем наложения (напряженности складывают геометрически) оп­ ределяют суммарное поле.

Вопросы для самопроверки

1.Какое поле называется электростатическим?

2.Как получить решение уравнения Пуассона и какие вы знаете частные слу­ чаи этого решения?

3. Получите закон Кулона как следствия равенства Гаусса — Остроградского

ирешения уравнения Пуассона.

4.Напишите выражения для поля системы точечных зарядов.

5.Получите и проанализируйте выражения для составляющих напряженности поля электростатического диполя.

§ 4.3. М ЕТОД ЗЕРК АЛ ЬН Ы Х И ЗОБРАЖ ЕНИЙ . ЭЛ ЕК ТРИ ЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ

Метод зеркальных изображений

При решении задач электростатики в ряде случаев приходится пользоваться методом зеркальных изображений. Рассмотрим этот метод.

При внесении проводника в электростатическое поле под дей­ ствием сил поля в нем возникает движение зарядов. В результате этого движения на части внешней поверхности проводника, обра­ щенной к положительным источникам электрического поля, будут индуцироваться отрицательные заряды, а на противоположной по­

81

верхности — положительные заряды. Эти заряды образуют внутри проводника собственное электрическое поле, направленное против внешнего поля. Очевидно, движение зарядов в проводнике прекра­ тится тогда, когда поле индуцированных зарядов скомпенсирует внешнее поле во всех точках проводника, т. е. когда суммарная на­ пряженность поля внутри проводника станет равной нулю. С этого момента восстанавливается равновесие, нарушенное внесением про­ водника в электростатическое поле, и поле вновь становится элек­ тростатическим. При равновесном состоянии зарядов на поверх­ ности проводника тангенциальная составляющая напряженности электрического поля на этой поверхности равняется нулю, в против­ ном случае было бы перемещение зарядов по поверхности провод­ ника. Это значит, что во всех точках внешней поверхности провод­ ника (вне проводника) может существовать лишь нормальная со­ ставляющая напряженности электрического поля

В соответствии с граничными условиями

D = D n = a и Е = Е П= — .

£а

Поскольку внутри проводника Е = 0, а Е = — grad UB, то Ug = = const. Потенциал проводника во всех точках одинаков. Следова­ тельно, поверхности проводников являются эквипотенциальными.

Поскольку потенциал проводника во всех erb точках одинаков, напряженность поля равна нулю в полости, свободной от зарядов и ограниченной проводником, независимо от распределения зарядов вне полости. Чтобы убедиться в этом, мысленно соединим прямой две произвольные точки поверхности, ограничивающей полость. При перемещении по этой прямой потенциал в соответствии с урав­ нением div grad и э= 0 должен изменяться монотонно (не проходя через минимальные и максимальные значения). Потенциалы край­ них точек прямой равны, как потенциалы точек, лежащих на экви­ потенциальной поверхности, что возможно лишь при постоянстве потенциала во всех точках прямой. Следовательно, во всех точках полости потенциал постоянен, что на основании уравнения (4.2) дает Е = 0. Это явление используется для электростатической экра­ нировки. Приборы, подлежащие экранировке от воздействия внеш­ них электростатических полей, помещают в замкнутые металличе­ ские экраны.

Из принципа наложения следует, что при наличии зарядов внут­ ри и вне полости поле внутри полости определяется только внутрен­ ними зарядами. Поле же вне полости создается как внешними, так и внутренними зарядами. Создание внешнего поля зарядами, рас­ положенными внутри полости, вытекает из равенства Гаусса — Остроградского, согласно которому поток вектора Е через внеш­ нюю замкнутую поверхность, охватывающую проводник, не равен нулю.

82

Чтобы экранировать внешнее пространство от влияния зарядов, расположенных внутри полости проводника, необходимо заземлить проводник.

Рассмотренные свойства электростатического поля на поверхно­ сти проводника, внесенного в это поле, положены в основу метода зеркальных изображений, используемого в ряде случаев для расче­ та поля зарядов в присутствии проводящих тел. Этот метод позво­ ляет заменить влияние плоских проводящих поверхностей эквива­ лентными зарядами. В качест­

рицательный заряд. В соответ­ ствии с граничными условиями (4.17) силовые линии нормальны к

поверхности проводящей среды как к эквипотенциальной поверхно­ сти.

Мысленно устраним проводящую среду и заменим ее проводом, являющимся зеркальным изображением реального провода в по­ верхности раздела и имеющим заряд той же величины, что и заряд реального провода, но противоположного знака. Поле построенной таким образом двухпроводной линии изображено на рис. 4.5.

Плоскость, расположенная посередине между реальным прово­ дом и его зеркальным изображением, является поверхностью равно­ го потенциала и совпадает с поверхностью проводящей среды, кото­ рая является также поверхностью равного потенциала. Из этого следует, что если проводящую среду с плоской поверхностью заме­ нить зеркально изображенным проводом с измененным знаком за­ ряда, то в области над проводящей средой поле останется таким же, как и в реальных условиях. В этом и заключается метод зеркаль­ ных изображений. Он применим также для случая произвольной системы зарядов, расположенных в диэлектрике около плоскости, ограничивающей проводящую среду.

Определение электрической емкости

Перейдем теперь к определению электрической емкости провод­ ника. Если проводнику сообщить заряд q, то он в зависимости от формы и размеров приобретет определенный потёнциал Ua. Зави­ симость между потенциалом и зарядом проводника линейна, поэто­

83