Файл: Красюк Н.П. Электродинамика и распространение радиоволн учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 232

Скачиваний: 9

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

му для каждого уединенного проводника справедливо соотношение

(4.18)

где С — емкость уединенного проводника. Она характеризует спо­ собность проводника накапливать электрический заряд и численно равна заряду, при котором потенциал проводника относительно бес­ конечно удаленной точки равен единице. Очевидно, емкость в ко­ нечном счете определяется размерами и формой проводников и не зависит от q и U3.

В системе проводящих тел имеется взаимное влияние, которое заключается в том, что распределение заряда на каждом из провод­

ников обусловлено

 

всеми остальными проводниками. .Заряд /-го

проводника линейно связан с потенциалами всех проводников:

Qi

—

С n {Uэі — U эХ)-\-С12{Uэ1 — U л )-\-. . . -\-Сп

X

 

 

X

(£Л»г — 0) + •••+

C ik (і/ы

—-

U 9k).

 

 

 

 

 

 

 

(4.19)

Коэффициент

Сц

называется собственной емкостью /-го провод­

ника, а коэффициент С Х — взаимной емкостью.

проводников в

Необходимо отметить; что собственные

емкости

системе отличаются от емкости уединенных проводников. Подобно этому взаимные емкости отдельных пар проводников определяются не только этими, но и всеми остальными проводниками системы.

Чтобы найти емкость, необходимо воспользоваться равенством

Гаусса — Остроградского (2.6) и выражением (4.5)

или

(4.6).

В результате получим соотношение, выражающее

q

через

потен­

 

циал или разность потенциалов. Затем, подставляя в (4.18) вместо q указанное соотношение, находим емкость С. В некоторых случаях для этого приходится пользоваться методом зеркальных изобра­ жений.

В качестве примера определим емкость плоского и цилиндриче­ ского конденсаторов, а также емкость на единицу длины двухпро­ водной линии. При расчете емкости конденсатора будем предпола­ гать, что расстояние между обкладками конденсатора настолько мало по сравнению с их линейными размерами, что влиянием неод­ нородности поля на краях обкладок можно пренебречь.

Емкость плоского конденсатора

Если к обкладкам плоского конденсатора приложить напряже­

ние (разность

потенциалов)

U 12

(рис. 4.6,

а),

то через некоторое

время на одной из обкладок конденсатора накопится заряд

+ q ,

а

на другой —

q.

вокруг одной

из обкладок

замкнутую поверхность

Построим

так, чтобы одна ее часть была плоской и проходила внутри ди­ электрика параллельно обкладке конденсатора, а другая часть охватывала обкладку со всех остальных сторон. Так как напряжен­ ность поля Е перпендикулярна к обкладке и имеет место лишь в

84

t

промежутке между обкладками, то поток вектора смещения будет отличен от нуля только через первую (плоскую) часть поверхности на площади, равной площади обкладки:

(J)D dS=

aE S k= q .

J eaEdS = s

S

Sfo=ab

Разность потенциалов будет равна

U №— Ed.

По (4.18) находим емкость

п

Ч

E S k

С =

—2— = & .

і - = е

 

U 12

 

 

Ed

a

S k

(4,20)

.d

я —-

 

Емкость цилиндрического конденсатора

В этом случае напряженность поля Е направлена по радиусам, проведенным от оси цилиндров. Как и в плоском конденсаторе, часть замкнутой поверхности интегрирования в равенстве Гаусса — Остроградского, где Е=/=0, выберем совпадающей с эквипотенци­ альной поверхностью. Это будет цилиндрическая поверхность ра­ диуса г, проходящая между обкладками конденсатора (рис. 4.6, б). Тогда на этой части поверхности интегрирования вектор Е = const и нормален к поверхности. В остальных же частях замкнутой поверх­ ности (на рис. 4.6, б сечение замкнутой поверхности интегрирова­ ния показано пунктиром) Е = 0. Тогда согласно равенсту Гаусса — Остроградского

DdS: eaEdS = sa£2nr/~ ■ q или Е--

Jh ü r

85

По (4.6) находим разность потенциалов:

 

г

 

 

 

Tt

 

-

 

 

U 12 =

 

L U r

 

q

гV"J,

-dr

е32я /

ту

Гі1 рнг

—

еа2я/

г^ иг

 

J

 

 

\

 

—

q Іи

Л2

 

Г

 

 

 

 

 

По (4.18) находим емкость

С =

-Un

пі г\

2лI

(4.21;

In г

3 -

Іп-^

2

 

 

а2

 

Емкость двухпроводной линии на единицу длины

Для определения этой емкости найдем потенциал, создаваемый двухпроводной линией, предполагая радиусы проводов а одинако­ выми, а заряды равными по величине, но противоположными по знаку (+ q и —q, рис.

U3 = const

3> I

S)-.^777777777,

о7

jf ;

I

 

 

)

 

 

 

 

 

Рис.

4.7

Г1\

 

 

Е ,

Я

тI

 

еа2я/

еа2яI

где т — линейная плотность заряда. Находим потенциалы:

Ѵ 'э = 1 dr —

*' 2jt£o

4.7, а )•

Принимаем L^>a. Это дает возможность пола­ гать, что заряды на по­ верхности проводов рас­ пределены равномерно, а следовательно, для опре­ деления потенциала мож­ но воспользоваться пре­ дыдущими результатами.

Тогда напряженность поля, создаваемого заря­ женным проводом 1 в точке Р, будет равна

1

Гі 2яЕд Гі

2яSc (ln rx— ln a),

(4.22)

U э

? -— — • —

 

d r = — — ( l n r 2 — I n a ) .

 

а 2Я£а

I

2Я£я

Потенциал суммарного поля

u9= u ’a+ u l= - ln rr

2яе

Т . r2 =

X

 

 

ln

----- ln-ÜL

(4.23)

2я£а

Гі

2я е

 

 

 

86

Пользуясь выражением (4.23), определим емкость двухпровод­ ной линии. Для этого вначале найдем потенциалы проводов в точ­ ках 1' и 2

U

31 =

% І П — И U s2-

х

, а

 

2Яе

2яе,

ІП —

Разность потенциалов между проводами

и 12= и э1- и э2

=

2

х

l n { ± V

CL

 

\

CL

)

 

 

 

яе а

 

 

Емкость на единицу длины двухпроводной линии

Т

ЗТ

(4,24)

Un

 

Чтобы определить емкость однопроводной линии, подвешенной параллельно поверхности Земли на расстоянии k^>a (рис. 4.7, б), найдем выражение для разности потенциалов между линией и по­ верхностью Земли.

Для решения этой задачи следует воспользоваться методом зер­ кальных изображений. Тогда потенциал поля однопроводной линии в верхнем полупространстве может быть определен по (4.23).

Потенциал провода

U

ЭІ

т j - 2аh]

 

2 л е а

Потенциал поверхности Земли

и *

т In — = 0 .

Разность потенциалов

2Яе

 

U a = U al- U 9i= - l ~ \ n - 2h

2іГ£д

Следовательно, емкость

С

1(Г

 

а

2яей

(4.25)

X , 2 А

іп-

2

h

 

 

 

 

2 я е а

 

 

 

 

--------- I n ---------

 

 

 

Если условие малости радиуса провода не выполняется, то ем­ кости Сі и Сю будут определяться выражениями [16]:

87

С учетом влияния поверхности Земли при сравнительно малом радиусе провода емкость двухпроводной линии (рис. 4.7, в) на 1 м длины находят по формуле

С 1

(4.26)

V 4Л2+ I 2)

При 2h^>L выражение (4.26) переходит в формулу (4.24), вы веденную без учета влияния поверхности Земли.

§ 4.4. ЭНЕРГИ Я ЭЛ ЕК ТРОСТАТИ ЧЕСКОГО ПОЛЯ

Общее выражение для определения энергии электрического по­ ля было получено в главе 2:

WB= ± - ^ E D d V .

V

Преобразуем это выражение применительно к определению электростатического поля через заряды и емкость. Для этого, поль­ зуясь (4.2), выразим Е через потенциал. Тогда

^ 8 = _ " M D grad U J V .

(4.27)

Воспользуемся векторным тождеством

D grad £/3= d iv (7/3D) — £Â,div D.

Тогда

2

V

U 3é iv D d V

—■

J

div (£/9D)

d V .

*)

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заменяя в первом слагаемом div D на рэ, а во втором объемный интеграл на поверхностный, находим

Vj p ^ ^ - “

s^ s DdS-

(4.28)

Если заряд сосредоточен в ограниченной области Ѵо, то при уда­ лении поверхности 5 в бесконечность поверхностный интеграл исче­ зает, так как площадь этой поверхности растет, как г2, а произве­ дение (t/3D) уменьшается аналогично произведению для поля то­ чечного заряда, т. е. как 1/г3 [см. формулы (4.11) и (4.11а)]. Поэто­ му электростатическая энергия зарядов, находящихся в ограничен­ ной области Ѵо, будет равна

^ в= - М рsV J V -

(4.29)

Ѵо

88

Смотрите также файлы