Файл: Красюк Н.П. Электродинамика и распространение радиоволн учеб. пособие.pdf

Для системы п заряженных проводящих тел с учетом постоян­ ства потенциала каждого проводника (£/эі) формула (4.29) прини­ мает вид

Для поля, создаваемого системой источников, принцип супер­ позиции при определении энергии поля неприменим. В случае не­ скольких полей Еь Е2, ... энергия результирующего поля не равна сумме энергий составляющих полей:

Это объясняется тем, что энергия есть квадратичная функция от напряженности поля. Так, например, если Е = Е] + Е2, то

= WBl+ Ws2 + 2W9li.

Таким образом, к собственной энергии системы (Wg\+ Wg2) до­ бавляется энергия взаимодействия или взаимная энергия (2 №эі2).

Выражения для собственной и взаимной энергии системы мож­ но получить в несколько ином виде, если представить потенциал каждого проводника следующей суммой:

где 0 Эі —-потенциал одиночного проводника; /Ли — потенциал того же проводника, обусловленный действием всех остальных провод­ ников.

80

щей цепи, как это следует из уравнения непрерывности. Так как

электрическое сопротивление цепи отлично от нуля, то прохожде­ ние в ней тока вызывает обычно па­ дение напряжения, и, следователь­ но, между различными участками проводников, по которым течет ток, имеется разность потенциалов. По­ этому в диэлектрике, окружающем эти проводники, и внутри самих проводников будет существовать не только магнитное, но и электриче­ ское поле.

Рассмотрим электрическое поле в диэлектрике и в проводниках с то­ ком.

Электрическое поле в диэлектри­ ке, окружающем проводники с то­ ком, как следует из главы 2, потен­

циально и описывается следующими дифференциальными уравне­ ниями:

rotE = 0, divD = 0, Е = —grad£/3, D = eaE.

При однородной среде (еа —const) электрический потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа: divgrad £Л> = Ѵ 2£/э = 0. Эти урав­ нения аналогичны уравнениям электростатического поля (4.2), (4.4) в областях, где отсутствуют накопленные заряды. Однако имеется определенное отличие граничных условий. В случае электростати­ ческой задачи поверхность любого проводника представляет собой поверхность равного потенциала и, следовательно, здесь справедли­ вы условия (4.17).

При прохождении по проводнику тока в нем имеет место паде­ ние напряжения, а, следовательно, поверхность проводника уже не является равнопотенциальной. Линии напряженности электрическо­ го поля в диэлектрике (рис. 4.8) направлены к поверхности про­ водника не под прямым углом. На поверхности проводника тан­ генциальная составляющая напряженности электрического поля Е х

90

отлична от нуля. По направлению она совпадает с направлением тока.

Однако во многих случаях указанное отличие граничных усло­ вий практически можно не учитывать, так как обычно тангенциаль­ ная составляющая на поверхности проводника ничтожно мала по сравнению с нормальной составляющей напряженности электриче­

трического поля в диэлектрике, окружающем проводники с посто­ янными токами, можно использовать решение соответствующих электростатических задач.

В проводниках, по которым протекают постоянные токи, суще­ ствует электрическое поле, описываемое в областях, где нет источ­ ников э. д. с. (см. главы 2 и 3), следующими уравнениями:

Из уравнений (4.34) и (4.35) следует, что стационарное электри­ ческое поле в проводниках так же, как и электрическое поле в окру­ жающем проводники диэлектрике, будет потенциальным.

Для сравнения запишем систему уравнений электростатического поля в среде, не содержащей зарядов:

Системы (4.36), (4.37) и (4.34), (4.35) по форме совершенно одинаковы. Между обоими полями существует формальная анало­ гия. Это означает, что уравнения электростатического поля перехо­ дят в уравнения электрического поля в проводящей среде, если в первых электрическую индукцию D заменить плотностью тока 8пр, а диэлектрическую проницаемость еа — удельной проводимостью уэ. Электростатическая аналогия используется при нахождении элек­ трического поля в проводящей среде. Так, например, если в рас­ сматриваемой задаче граничные поверхности имеют ту же форму, что и в некоторой электростатической задаче и вектор 8щ> ведет себя в первом случае на границах так же, как вектор D во втором случае, то можно использовать готовое решение электростатической задачи, произведя в нем замену D на бпр и еа на уэ.

На указанной же аналогии’базируется исследование электроста­ тического поля путем моделирования полей в электролитической ванне. С этой целью в электролитическую ванну помещают систему проводников, которым задают требуемые потенциалы, и измеряют плотность тока в различных участках электролита. Измеренное та­

91

ким способом поле плотности тока в электролите представляет со­ бой модель электростатического поля системы.

Из аналогии этих систем уравнений также следует, что гранич­ ные условия для векторов Е и 8 электрического поля в проводящей среде подобны по форме граничным условиям для векторов Е и D электростатического поля при отсутствии зарядов. Таким образом, на границе раздела двух проводящих сред векторы поля постоян­ ных токов удовлетворяют следующим граничным условиям:

Для существования тока / в замкнутой цепи L, имеющей сопро­ тивление R, необходимо наличие источника энергии неэлектриче­ ского происхождения, вызывающего движение зарядов. Тогда с учетом источников энергии получим

где Э сг — действующая в цепи сторонняя э. д. с.

Вопросы для самопроверки

1.В чем сущность электростатического экранирования?

2.В чем заключаетсяметод зеркальных изображений и для решения какого класса задач он применяется?

3.Что такое емкость и какие используются соотношения для ее определения?

4.Напишите в различном виде формулы, определяющие энергию электроста­

тического поля.

5.Что такое собственная и взаимная энергия?

6.Напишите систему уравнений электрического поля в диэлектрике, окружа­ ющем проводники с током, и расскажите об особенностях граничных условий на

поверхностях таких проводников.

7. Как используется электростатическая аналогия для расчета поля постоян­

оЧ\2

По условию задачи (L~>ay каждый шар в поле другого можно рассматри­ вать как точечный заряд, поэтому

92

По формуле (4.33) находим собственную энергию шаров

w3= ± (-ші- + -мц =_і_(А .+А )

§ 4.6, М АГНИТОСТАТИКА

Областям пространства, не содержащим токов (постоянные то­ ки или магниты имеются в смежных областях), соответствует си­ стема уравнений магнитостатики (3.27), аналогичная по форме си­ стеме уравнений (4.36), (4.37) для областей пространства вне за­ рядов.

Уравнение rot Н =0 позволяет формально написать

Из уравнения div В = 0 следует, что в среде с ца = const магнито­ статический потенциал, так же как электростатический потенциал, удовлетворяет уравнению Лапласа:

= 0. (4.39)

Учитывая совпадение граничных условий для векторов Н и В с граничными условиями для векторов Е и D, а именно:

можно установить, что решения задач магнитостатики формально идентичны решениям соответствующих электростатических задач и могут быть получены простой заменой величин Е на Н и еа на ца.

Следует, однако, помнить, что в природе нет свободных магнит­ ных зарядов и поток (£ BdS всегда равен нулю, в то время как в

s

электростатическом поле поток вектора D через произвольную замкнутую поверхность не равен нулю, если в объеме, ограничен­ ном этой поверхностью, алгебраическая сумма всех зарядов не рав­ на нулю.

В соответствии с § 2.3 наклон магнитных силовых линий (Н и В) на границе раздела сред определяется соотношением

ного поля оказываются нормальными к поверхности среды с ц->оо.

93