Файл: Красюк Н.П. Электродинамика и распространение радиоволн учеб. пособие.pdf

(( м). В силу замкнутости силовых линий магнитного поля следует вводить магнитные заряды обеих полярностей, равные по величине и находящиеся на некотором расстоянии друг от друга.

Совокупность двух точечных магнитных зарядов противополож­

ной полярности, находящихся на расстоянии I, образует магнитный диполь. При этом величина рм = <7м1 называется магнитным момен­ том диполя.

Из физики известно, что реальные источники постоянного маг­ нитного поля ограниченных размеров (намагниченное тело, виток или система витков с током и др.) имеют северный и южный полю­ сы, которым соответствуют равные положительные и отрицательные фиктивные магнитные заряды. Это дает основание сделать вывод о том, что магнитное поле на расстояниях, значительно превышаю­ щих размеры области, занимаемой его источниками, аналогично электростатическому полю нейтральной системы электрических за­ рядов и может быть рассчитано по формулам поля элементарного магнитного диполя.

§ 4.7. М АГНИТН ОЕ ПОЛЕ П О СТОЯН Н Ы Х ТОКОВ. ВЕКТОРНЫ Е УРАВН ЕН И Я П УАССОН А И Л А П Л А СА

В данном случае рассматривается все пространство, включая и области, где протекают постоянные токи. Магнитное поле описы­ вается следующей системой уравнений:

Векторы магнитного поля при заданном распределении в про­ странстве постоянных токов могут быть найдены путем непосред­ ственного решения уравнений (4.41), (4.42) или путем введения скалярного и векторного потенциалов магнитного поля и решения для них соответствующих уравнений.

Скалярный магнитный потенциал

Метод скалярного магнитного потенциала, как указывалось, применим только для определения магнитного поля вне проводни­ ков с током. С помощью этого метода можно в некоторых случаях определить структуру магнитного поля в области вне проводников с током путем сопоставления «магнитных» задач с соответствующи­ ми задачами электростатики. Так, например, структура магнитного

94

поля линейных токов совпадает со структурой электрического поля линейных,зарядов, если токи и заряды распределены в пространст­

ве одинаково (рис. 4.9).

Различие между ними заключается лишь в том, что на месте линий напряженности электрического поля располагаются линии равного магнитного потенциала, а на месте линий равного электри­ ческого потенциала — линии напряженности магнитного поля. Это положение называют принципом соответствия плоскопараллельных электрического и магнитного полей. Однако определение структуры

поля не решает полностью задачу нахождения магнитного поля. Не­ обходимо еще иметь количественную связь между напряженностью магнитного поля и постоянным током, создавшим это поле.

В отличие от электростатического поля, когда циркуляция век­

нитном поле каждый обход по замкнутому пути вокруг тока вызы­ вает приращение потенциала (работы): § Hdl— /, Поэтому, если

где k — число обходов пути интегрирования вокруг тока /. Следовательно, скалярный магнитный потенциал является мно­

гозначной функцией и не может быть использован для определения напряженности магнитного поля через создающий его ток.

Векторный потенциал магнитного поля

Задача по определению векторов магнитного поля по заданным токам однозначно решается через введенный в главе 3 [см. выраже­ ние (3.4)] векторный потенциал Аэ магнитного поля.

95

Дифференциальное уравнение для вектора Аэ стационарного магнитного поля можно получить из (3.7), приняв производные по времени, равными нулю:

векторный потенциал магнитного поля с током, вызвавшим его. Вне источников тока уравнение (4.43) переходит в векторное уравнение Лапласа (Ѵ 2Аэ = 0).

Найдем решение векторного уравнения Пуассона для однород­ ной безграничной среды при условии, что токи протекают в ограни­ ченном объеме V.

Напомним, что векторное уравнение (4.43) эквивалентно трем скалярным уравнениям, которые в декартовой системе координат записываются так:

vV L^ —|*А, v2A,= -ft&, ѴМг=-|*а8*.

Решения этих уравнений могут быть написаны по аналогии с реше­ нием уравнения Пуассона (4.3) для скалярного потенциала элек­ тростатического поля. Тогда, пользуясь первым слагаемым правой части выражения (4.8), можно, например, для А х записать:

Решение же (4.43), т. е. выражение для векторного потенциала, будет иметь вид

А э — Х0А_г+ У(А+ z0Аг= ~Г"

V

откуда

(4.45)

V

Формула (4.45) дает возможность по заданному току найти векторный потенциал Аэ и затем определить В и Н из соотношений

Ѵ-а

В случае линейного тока, когда поперечные размеры проводни­ ка (jAS) пренебрежимо малы по сравнению с его длиной (L) и рас­ стоянием до точки наблюдения (г), можно считать, что весь ток протекает по оси провода. Тогда формулы для векторного потен-

96

циала и напряженности магнитного поля упрощаются:

Здесь интегрирование ведется вдоль контура L, по которому проте­ кает ток I.

Преобразуем формулу (4.47). Из векторного анализа известно,

что

rot ба = ф rot а - f [grad Ф, а].

Так как поле вычисляется в точке наблюдения Р с координа­ тами X, у, z (рис. 4.11), а не в точке dl и сам элемент dl не за­ висит от координат точки Р, то первый член в правой части по­ следнего равенства обращается в нуль, и оно записывается следу­ ющим образом:

Подставив это выражение под знак интеграла в (4.47), получим

Формула (4.48) представляет собой закон Био — Савара в инте­ гральной форме, дающий возможность находить напряженность магнитного поля, создаваемого линейно распределенным током. Следует отметить, что закон Био — Савара.вначале был установлен опытным путем. В дифференциальной форме этот закон записы­ вается как

Закон (4.48а) определяет напряженность dH магнитного поля, создаваемого в точке наблюдения Р элементом тока / dl.

Необходимо обратить внимание, что в случае цилиндрического проводника бесконечной длины для определения поля внутри и вне проводника целесообразнее пользоваться законом полного тока [первая формула системы (4.42)].

Задача. По круглому витку радиуса р0 протекает ток / (рис. 4.12). Опреде­ лить на большом расстоянии от витка (гс >Ро) векторный потенциал и показать, что при этом виток действует как магнитный диполь.

Idlr

к плоскости витка, а отсчет азимутального угла ср будем производить от плоско­

Создаваемые ими составляющие векторного потенциала в соответствии с форму­

98