Файл: Красюк Н.П. Электродинамика и распространение радиоволн учеб. пособие.pdf

§ 4.8. И НДУКТИ ВНОСТЬ. ЭН ЕРГИ Я СТАЦ И О Н АРН О ГО М АГН И ТН ОГО ПОЛЯ

В теории цепей важным параметром является индуктивность. Найдем выражение для этого параметра как результат решения уравнений электромагнитного поля, в частном случае, уравнения Пуассона для векторного потенциала.

Любое стационарное магнитное поле создается системой замк­ нутых токов, протекающих по замкнутым контурам из проводников. Каждый из этих контуров пронизывается суммарным магнитным потоком Фі (иначе говоря, с каждым контуром сцеплен магнитный поток), состоящим из потока, создаваемого током рассматриваемо­ го контура (Фц), и потоков, создаваемых токами других контуров

(Фг'/і) ■

Если магнитная проницаемость постоянна, то в силу линейности уравнений поля (4.41), (4.42) магнитные потоки прямо пропорцио­ нальны токам, их вызывающим:

Для определения взаимной и собственной индуктивностей рас­ смотрим два контура весьма малого поперечного сечения или, как говорят, две элементарные трубки с током dU и dlk (контуры і и £,

рис. 4.13).

Определим поток, создаваемый током dU, протекающим по кон­ туру і, и пронизывающий контур k. Воспользовавшись формулой (3.4) и теоремой Стокса (см. приложение III), получим

где S k — поверхность, ограниченная контуром k длиной L h. После подстановки (4.46) в (4.57) находим

100

В случае контуров из линейных проводников, размеры попереч­ ных сечений которых весьма малы по сравнению с длиной контуров и расстоянием между ними, можно считать, что токи протекают по осям проводников и в формуле (4.58) можно заменить АФ/u и dU

Из формулы (4.59) следует, что M ki = M ik, так как результат интегрирования остается прежним при изменении порядка интегри­ рования.

Если же проводники нельзя считать линейными (рис. 4.14), то необходимо определить потокосцепление со всеми трубками конту­

101

Тогда

Отсюда коэффициент взаимной индукции двух объемных конту*

v і ѵ k

Из (4.61a) следует, что размерность коэффициента взаимной ин­ дукции не зависит от размерности тока, однако в общем случае его величина зависит от распределения токов по объемам контуров.

Коэффициент самоиндукции одного из контуров (например, і) получим из выражения (4.61а), принимая h = Ih и Vi—Vh-

Sib'-dVidV]

Г

ш { );

(4.616)

где Ьі — плотность тока в элементе dVn 6/ — плотность тока в эле­ менте dVi (см. рис. 4.14).

Виток из тонкого провода дает возможность упростить выраже­ ние для %і. Однако формулу (4.616) нельзя привести непосредст­ венно к виду (4.59), так как при двукратном интегрировании по оси проводника интеграл обращается в бесконечность.

Чтобы получить более простое выражение для Х и разделим маг­ нитный поток на две части (рис. 4.15, а): Ф = ФВнешн+ФвНутр. При этом Фвнешн определяется линиями магнитной индукции, располо­ женными целиком во внешней по отношению к проводнику среде, а Фвнутр — линиями магнитной индукции, проходящими внутри тела проводника. Следовательно,

102

Внешнюю индуктивность приближенно определяют как взаим­ ную индуктивность между контуром L u совпадающим с осью про­ водника, и контуром Ь2 (рис. 4.15, б), ограничивающим виток с внутренней стороны:

( « U l

£. £»

Величину Фвнутр принимают приближенно равной внутреннему потокосцѳплению в отрезке длиной L\ бесконечно длинного прямо­ линейного провода круглого сечения. Можно показать, что внутрен­ няя индуктивность такого провода длиной L\ равна [2, 4]

•

где ра.п — абсолютная магнитная проницаемость материала провод­ ника.

Приведем для двух практических случаев расчетные формулы, найденные на основании полученных выражений.

1. Индуктивность тонкого круглого витка (из неферромагнитно­ го материала), расположенного в воздухе

Перейдем к рассмотрению энергии стационарного магнитного поля. Энергия в некоторой области V, связанная с магнитным по­ лем, в соответствии с главой 2 и выражением (3.4) определяется интегралом:

V V

Пользуясь тождеством Н rot Аэ = біѵ[Аэ,Н] + Аэ rot Н, находим

103

С помощью равенства Остроградского — Гаусса первый член

преобразуется в поверхностный интеграл — ф [ А э, H]öfS, который

s

при удалении границы в бесконечность и локализации токов в огра­ ниченной области Го равен нулю.

Таким образом, учитывая всю энергию в пространстве, прихо­

Интеграл (4.66) выражает магнитную энергию не путем непо­ средственного учета ее распределения в пространстве, а через ток, связанный с магнитным полем. Интеграл обращается в нуль во всех областях безграничного пространства, не содержащих тока.

Преобразуем выражение (4.66) для случая линейных токов:

Тогда вместо (4.66) получим выражение

/Ф 5512

Для п контуров

Использовав (4.54), (4.55), получим

Первый член в правой части определяет собственную, а второй член —■ взаимную энергию системы.

Для двух контуров с учетом того, что M ih= M ki, находим

104