Файл: Красюк Н.П. Электродинамика и распространение радиоволн учеб. пособие.pdf

Г л а в а 5

ОСНОВНЫ Е МЕТОДЫ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫ Е ТЕОРЕМЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫ Е ПРИ РЕШ ЕНИИ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

§5.1. О БЩ И Е С В ЕД ЕН И Я . ЗАД АЧ И , РЕШ АЕМ Ы Е СТРОГИМ И

ИП РИ БЛ И Ж ЕН Н Ы М И М ЕТОДАМ И

Большинство задач электродинамики связано с анализом элек­ тромагнитных процессов в изотропных линейных средах. На мето­ дах решения таких задач и будет сосредоточено внимание в настоя­ щей главе.

Многочисленные задачи электродинамики в соответствии с про­ странственным изменением электромагнитных параметров в рас­ сматриваемой области можно разбить на три основные группы:

1. Задачи по определению поля в однородной (безграничной) среде согласно заданному распределению в пространстве источни­ ков поля (при быстро-переменных электромагнитных процессах обычно их называют задачами на излучение).

2. Задачи по определению поля в неоднородной среде со срав­ нительно плавным изменением электромагнитных параметров от точки к точке (например, задача по распространению электромаг­ нитных волн в неоднородно-слоистой атмосфере).

3. Задачи по расчету поля при наличии резких границ раздела сред, т. е. когда рассматриваемая область состоит из участков про­ странства, заполненных однородными средами с существенно раз­ ными электромагнитными параметрами. Это имеет место, если в рассматриваемой области содержатся сплошные тела, электромаг­ нитные параметры которых значительно отличаются от параметров окружающей среды (металлическая сфера в свободном простран­ стве), или когда область полностью или частично ограничена сре­ дой с существенно отличающимися электромагнитными параметра­ ми (полость внутри металлического тела). Возможны и смешанные случаи.

Неоднородность пространства, особенно наличие в нем границ раздела сред с резким изменением электромагнитных параметров (границы воздух — металл, воздух — земля, воздух — вода), суще­ ственно влияет на распространение, излучение и прием электромаг­ нитных волн. В одних случаях неоднородность пространства затрудняет распространение электромагнитных волн, в других слу­ чаях наоборот (например, влияние ионизированного слоя атмосфе­ ры на распространение радиоволн коротковолнового диапазона, приводящее к увеличению дальности действия радиостанций).

Рассмотрим качественную сторону влияния границы раздела

106

ходит через нее — преломляется, частично же отражается от грани­ цы, которая при этом является как бы источником отраженной вол­ ны. В самом деле, при падении электромагнитной волны на границу раздела сред поле волны во второй среде вызывает вынужденные колебания свободных и связанных зарядов. Эти колебания создают во второй среде (теле) и в первой среде (окружающем простран­ стве) вторичные электромагнитные поля, изменяющиеся во времени с частотой падающей волны. Направления прошедшей и отражен­ ной волн на рис. 5.1, а показаны соответственно векторами Пойнтинга Ппр и Потр*

Рис. 5.1

При падении электромагнитных волн на тело ограниченных раз­ меров (порядка или меньше длины волны, рис. 5.1, б) наблюдается принципиально аналогичное, однако значительно более сложное яв­ ление, приводящее к изменению структуры поля падающей волны. При этом суммарное электромагнитное поле, характеризующееся вектором Пойнтинга П сум (рис. 5.1, в), имеет место и в так назы­ ваемой геометрической тени, т. е. электромагнитные волны как бы огибают тело. Наряду с этим электромагнитное поле будет прони­ кать и внутрь тела, если только проводимость его не бесконечно велика (Ппр, рис. 5.1, б).

В физике явление огибания волнами препятствий (тел, объек­ тов) называют дифракцией электромагнитных волн. Однако изме­ нение структуры поля первичной волны далеко не всегда полностью характеризуется огибанием препятствий. Поэтому под дифракцией будем понимать любое изменение структуры поля волны при паде­

107

нии ее на тело или совокупность тел. Следовательно, понятию «ди­ фракция» будем придавать более широкий смысл. Дифракция элек­ тромагнитных волн является также более общим понятием по срав­ нению с их отражением от плоской границы раздела сред.

Возможна классификация задач электродинамики и по другим признакам. Так, часто эти задачи делят на внутренние и внешние. При этом под внутренней понимается такая задача, когда требует­ ся найти электромагнитное поле в области, ограниченной извне ко­ нечной поверхностью, удовлетворяющее на этой поверхности соот­ ветствующим граничным условиям. Примером внутренней задачи является определение поля в замкнутой металлической полости — объемном резонаторе (см. главу 9).

Внешняя задача соответствует случаю, когда необходимо опре­ делить поле во всем бесконечном пространстве вне конечной обла­ сти, ограниченной замкнутой поверхностью, удовлетворяющее за­ данным граничным условиям на этой поверхности и соответствую­ щим условиям в бесконечности. Примерами внешних задач могут служить задачи дифракции электромагнитных волн на металличе­ ских телах. Частным случаем внешних задач являются также зада­ чи на излучение электромагнитных волн заданными источниками в свободном пространстве.

Приведенная классификация в определенном смысле условна. Имеются задачи, например изучение распространения электромаг­ нитных волн-в волноводе (см. главу 8), в которых переплетаются свойства внутренних и внешних задач [15].

Следует заметить, что задачи определения поля, в которых за­ даны граничные условия и дифференциальные уравнения для этого поля д рассматриваемой части пространства или плоскости, называютсй также краевыми. К ним можно отнести все указанные зада­ чи электродинамики с известными граничными условиями на по­ верхности, ограничивающей извне или изнутри рассматриваемую область пространства.

Краевые задачи и в их числе задачи на дифракцию электромаг­ нитных волн характерны математической сложностью, обусловлен­ ной сложностью механизма волновых процессов. К настоящему вре­ мени наряду с имеющимися решениями задач по отражению и преломлению электромагнитных волн на плоской границе раздела сред получены строгие решения дифракционных задач для шара и бесконечного цилиндра, а также частных случаев дифракционных задач для некоторых других тел правильной формы (идеально про­ водящих бесконечного конуса и клина, образованного двумя пере­ секающимися бесконечными полуплоскостями, сфероида при неко­ торой его ориентировке в падающем поле и др.).

поверхностях, которыми, в частности, являются поверхность Земли (тары, населенные пункты, лес и т. д.) и взволнованная поверх­

108

ность моря, и другие задачи. Для решения таких весьма сложных задач применяются те или иные приближенные методы. Точность приближенных методов проверяется либо экспериментально, либо на примерах приложения их к задаче, для которой известно точное решение.

Таким образом, широкое разнообразие • имеющихся методов решения электродинамических задач можно объединить в две груп­ пы — точные (строгие) и приближенные методы.

При изучении статических и стационарных полей (см. главу 4) были рассмотрены некоторые методы решения задач по определе­ нию этих полей. Строгие методы решения задач электродинамики являются более общими, чем соответствующие методы решения задач электростатики и магнитостатики, так как уравнения стати­ ческих полей являются частным случаем полных уравнений пере­ менных электромагнитных полей. Следовательно, решения стати­ ческих задач обычно могут быть получены как частные случаи точ­ ных решений соответствующих задач электродинамики. Подобной связи, как правило, нет между приближенными, методами.

§ 5.2. ЕД И Н СТВЕН Н О СТЬ РЕШ ЕНИЯ ЗАДАЧ ЭЛ ЕК ТРОД ИН АМ И К И

Задача определения электромагнитного поля в общем случае формулируется следующим образом. В пространстве задано распре­ деление источников поля как функций времени. Известы также на­ чальные (значения векторов поля в момент ^ = 0) и граничные усло­ вия. Требуется найти решение уравнений Максвелла или соответст­ вующих им волновых уравнений, удовлетворяющих начальным и граничным условиям.

Методы решений уравнений электромагнитного поля могут быть различными. Поэтому необходимо доказать, что решение, получен­ ное любым возможным методом, единственное, если оно действи­ тельно удовлетворяет уравнению поля и соответствующим началь­ ным и граничным условиям.

Теорема единственности решений уравнений электромагнитного поля доказывается сначала для ограниченного пространства и за­ тем распространяется на неограниченное пространство. Для огра­ ниченного объема V, замкнутого поверхностью S, пользуясь теоре­ мой Пойнтинга о балансе электромагнитной энергии, можно дока­

Е2, Н2), удовлетворяющих одинаковым начальным и граничным ус­ ловиям. Подставим сначала первое решение в первое и второе урав­

109