Файл: Красюк Н.П. Электродинамика и распространение радиоволн учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 239

Скачиваний: 9

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

нения системы, а затем то же сделаем совторым решением. Далее, взяв разность между соответствующими частями первых и вторых уравнений, получим для разностного поля Е' = Еі— Е2, Н/ = Ні— Н2 уравнения, в которых сторонние токи отсутствуют:

 

 

rotH/ =

Y E, +

—

, r o t E ' = - — .

 

 

 

 

 

8

1

dt

 

dt

 

 

 

Начальные

значения

(при

/ = 0)

векторов

разностного поля

Ео и Но

равны нулю,

так как по условию а) начальные значения

векторов

поля

должны

быть одинаковыми

для обоих

решений

(например, Ei = E = E0, поэтому Е' = Е 10— Е

—0).

 

Е т

 

0

20

 

 

 

 

20

 

 

1

На поверхности 5 тангенциальная

составляющая Я х или

 

равна нулю в течение

всего

рассматриваемого

времени,

так как

по условию б) зачения тангенциальных составляющих на этой по­

верхности должны также быть2одинаковыми для обоих указанных

решений

(например, Я і , = Я

т— Я т,

поэтому Я х= Я і х — Я

2х = 0).

Теорема Пойнтинга3E ' W

(2.42) для разностногоd V +поля§

запишется0

.

в виде

j у

+

$ (e ' ^ - +

Н' - ^ 1 )

s

[E'H'] d S =

(*)

V

 

V

 

 

 

 

 

 

Проанализируем приведенное уравнение баланса энергии для разностного поля с учетом начальных и граничных условий.

Выражение под знаком третьего интеграла можно представить таким образом:

[ E 'H 'Jd S ^ n U s ,

где П „' — нормальная к поверхности S составляющая вектора Пойнтинга ІГ.

Составляющая ГТ/ определяется тангенциальными составляю­ щими Е х и Я х векторов разностного поля на поверхности 5.

Ввекторном виде она может быть представлена как

п; = [ е ;н ;].

 

Поскольку

£ х= 0

или Я х= 0 , §

=

§ [E'H'] dS = 0. Тогда

из уравнения

(*) находим следующее выражение для скорости из­

менения энергии разностного электромагнитного поля

V :

(7 е '

— — | - Н/'—

=

dt

запасенной

в объеме

J

[

dt ^

dt J

 

 

 

 

 

 

 

 

dW

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

Интеграл в правой части положителен или равен нулю, поэтому

последнее выражение формально дает

 

 

 

 

 

 

d W <^0

или

dW

 

 

 

 

 

 

dt

 

dt

 

 

ПО

C

 

 

 

 

dW'

. 0

 

 

 

 

 

 

 

что ■

 

<С

_

, то имеет место противоре­

Если предположить,

 

 

чие с условием а) для разностного поля. Действительно, при

t =

О

векторы поля

Но=Ео

=

0

и запас энергии

W = 0.

Уменьшение от­

 

 

 

сутствующего запаса энергии не имеет физического смысла, поэто­

му производная

дим

не может быть отрицательной. Тогда необхо­

димо положить

В результате энергия разностного электро­

магнитного поля в течение всего рассматриваемого времени остает­ ся равной нулю, и, следовательно, разностное поле отсутствует, т. е.

Е '= Н ' = 0. Отсюда вытекает, что решение задачи единственно:

E[ = E

2

и

Н] = Н2.

 

 

 

 

 

Аналогично доказывается теорема единственности и для неог­ раниченного пространства, однако при этом вместо условия б) должно соблюдаться иное условие, так как нельзя задать танген­ циальную составляющую вектора Е или Н на бесконечно удален­ ной от источников поля поверхности 5. В этом случае следует убе­

диться, что поток энергии

разностного поля через

замкнутую

поверхность при ее бесконечном увеличении равен нулю:

(5.1)

lim

(j) [E'H'] dS = 0 .

Увеличение поверхности S, которую можно рассматривать как сферическую поверхность, пропорционально квадрату радиуса сфе­ ры г2. Чтобы при беспредельном увеличении радиуса (г-ѵоо) интег­ рал (5.1) стремился к нулю, подынтегральная функция должна

уменьшаться несколько

1быстрее величины

1

/г и, следовательно,

 

 

2

убывание векторов поля с расстоянием должно происходить в об­ щем случае быстрее чем /г.

Математически это можно записать в виде [1, 11]

 

(5.2)

 

 

 

Ііш гЕ(г) =

0

;

ішг//(г) =

0

.

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

Кроме того, необходимо положить, что все источники поля на­

7 0

 

 

 

 

 

 

от начала

отсчета.

В

реальном

ходятся на конечном расстоянии

пространстве (включая и межзвездные среды)

 

всегда есть потери

(уэ=^

), связанные с наличием частиц вещества. Учет этих потерь,

как увидим в дальнейшем,

 

 

 

1/г

 

 

 

 

 

 

приводит к более быстрому убыванию

векторов поля с расстоянием, чем

 

(по закону —-----),

и, следо­

вательно,

к выполнению условия (5.2).

 

 

 

 

 

Может

быть

t,

ход рассуждений

 

для доказательства

и другой

 

единственности

 

с,

 

 

 

 

 

 

Если

взять ограни­

решений уравнений поля [11].

 

ченный период времени то поле,

 

 

ri = ct.

 

 

распространяющееся в простран­

стве с

конечной скоростью

 

за

этот период

 

времени

достигнет

поверхности 5 Ь находящейся

на расстояние

 

 

 

На

любой же

111

поверхности 5, расположенной далее г\, интеграл Ф[E 'H ']d S = 0.

Дальнейшее доказательство ничем не отличается от предыдущего. Следовательно', при неустановившемся в безграничном прост­ ранстве режиме электромагнитных колебаний решения уравнений Максвелла единственны, в том числе в случае идеализированного пространства, лишенного потерь, когда векторы поля убывают об­

ратно пропорционально первой степени расстояния (1 /г).

На основании изложенного для решения внешней задачи, кро­ ме рассмотренных начальных и граничных условий, приходится вводить дополнительные условия, определяющие поведение поля в бесконечно удаленных точках. При этом электромагнитное поле во внешней области должно уходить от источника в пространство. Иными словами, оно должно удовлетворять в бесконечности прин­ ципу излучения.

Для гармонических электромагнитных полей, которые нас и будут главным образом интересовать, нет необходимости, в на­ чальных условиях, поскольку рассматриваются установившиеся волновые процессы. В этом случае для удовлетворения требовани­ ям единственности решения уравнения поля при временном множи­ теле е^“ ' должно выполняться соотношение

г

(\—dr— 4'

-

jk Ü

(5.2а)

гlim-»соL

J

где Ü — составляющие векторов

 

или непосредственно

векторы

É и Н.

Соотношение (5.2а) называют условием излучения [см. § 5.7]. Условие (5.2а) удовлетворяется как для среды с потерями, так и для идеализированного пространства, лишенного потерь (идеаль­ ного диэлектрика). В этом можно легко убедиться, подставив вмес­ то О функцию e~ihr/r, которая, как увидим в дальнейшем, характери­ зует зависимость модулей и фаз векторов гармонического поля от расстояния точки наблюдения до источника.

Таким образом, в соответствии с теоремой единственности при заданных начальных и граничных условиях не может быть двух разных решений уравнений электромагнитного поля. Поэтому на практике, найдя каким-нибудь методом решение уравнений Мак­ свелла или соответствующих им волновых уравнений при заданных начальных и граничных условиях, можно быть уверенным, что оно реализуется на самом деле и что другого решения искать не надо.

Обосновав единственность решений задач электродинамики, перечислим некоторые из строгих методов их получения. Имеются

различные методы решения задач электродинамики,

в том числе:

1

) метод решения задач на излучение заданными

источниками

 

 

в неограниченной однородной среде с использованием электроди­ намических потенциалов;

2 ) метод разделения переменных;

3)метод, основанный на использовании формулы Кирхгофа;

4)метод зеркальных изображений.

112

Первые три метода излагаются в настоящей главе, метод же зеркальных изображений применительно к решению задач электро­ динамики рассматривается в главе 11 (см. § 11.4).

Перед изложением указанных методов рассмотрим дополни­ тельные теоремы, используемые при решении задач электродина­ мики.

Вопросы для самопроверки

1. Что понимается под отражением и дифракцией электромагнитных волн?

2.Изложите постановку задачи об определении электромагнитного поля.

3.Сформулируйте теорему единственности решения уравнений электро­ динамики.

4.Чем отличается доказательство единственности решений уравнения поля для внешних и внутренних задач?

5.Перечислите строгие методы решения задач электродинамики.

§5.3. П РИ Н Ц И П Ы СУП ЕРП О ЗИ Ц И И И П ЕРЕСТАН ОВОЧН ОЙ

Д ВО Й СТВЕН Н О СТИ УРАВН ЕН И Й М АКСВЕЛ Л А . ТЕОРЕМ А ВЗАИМ НОСТИ

В ряде случаев решение задач электродинамики ускоряется благодаря использованию свойства перестановочной двойственно­ сти уравнений Максвелла, принципа суперпозиции (наложения) их решений и теоремы взаимности.

Принцип суперпозиции

Для линейной изотропной среды, как это следует-из глав 2 и 3, дифференциальное уравнение относительно любого вектора элек­ тромагнитного поля остается линейным. Из курса математического анализа известно, что сумма частных решений всякого линейного дифференциального уравнения также является его решением. Из этого положения вытекает важный для теории электромагнетизма принцип суперпозиции, согласно которому поле, образованное не­ сколькими источниками, представляет собой сумму (векторную) полей каждого из источников.

В качестве примера напишем выражение для векторов поля, создаваемого распределенными в рассматриваемой области п систе-

5»СТ л С Т

, - . . ,

в«СТ

М Э М И И С Т О Ч Н И К О В В В И Д е Т О К О В С П Л О Т Н О С Т Я М И ©э 1, ©э

2

° э п-

 

 

 

Пусть при отсутствии всех других систем источников за исключени­

ем первой ( 5 эІ 4= 0 ) создается поле напряженности Е ь Нь Вторая система при отсутствии других систем источников создает поле Е 2, Н2, а п-система при тех же условиях — поле Е„, Н„. Тогда в соответствии с принципом суперпозиции все п систем источников при прежнем их распределении и одновременном действии будут создавать полное поле, напряженность которого определяется сле­ дующими векторными суммами:

Н(3СзТ,

SU,, ... ,

§ э л ) =

Е

1 ( S ^ i

)

— Е

2(832)

— . . .

- } - Е л ( $ эл) ,

Е ( § э і ,

 

 

 

 

 

 

8СЙТ, . . . ,

8") =

Н1(8с,Т)+

Н2( 8 Ш + . . . + Н лт а . (5.3)

113

Необходимо заметить, что принцип суперпозиции нельзя приме­ нять при определении мощности (энергии), так как мощность пол­ ного поля в рассматриваемом объеме не равна сумме мощностей полей каждого из источников. Например, для вектора Пойнтинга имеем

П = [Е Н] =

*[(Е1+ Е2+ . . . + Е л)(Н1+ Н2+ . . .

. . . + Н„)]

[ Е А Ж Е Л Н - . . •+ [ Е „ н л].

Принцип перестановочной двойственности

Принцип перестановочной двойственности, вытекает из симмет­ рии уравнений Максвелла. Уравнения Максвелла для диэлектрика

в области, где отсутствуют сторонние источники, симметричны:

, и

ÖE

, с

dH

rotn =

.s — - , rot Е = —

——- ,

 

dt

div Е =

dt

 

div Н = 0 ,

0.

Соответствующие волновые уравнения для каждого вектора будут иметь одинаковый вид (3.2). Из рассмотрения приведенных

уравнений следует, что можно перейти от одного уравнения к дру­ гому и обратно простой заменой вектора Н на Е, вектора Е на Н, величины еа на —ца и величиныра на —еа.

Это дает возможность сформулировать принцип перестановоч­ ной двойственности уравнений электромагнитного поля. -Предполо­ жим, что имеются две электродинамические задачи, сформулирован­ ные таким образом, что все условия для вектора Н (или Е) одной задачи при указанной перестановке переходят в условия для векто­ ра Е (или Н) другой задачи. При этом геометрическая конфигура­ ция границы области в обоих случаях одинакова. Тогда, если известно решение первой задачи, то решение второй задачи может быть получено из первой путем той же перестановки, символически записываемой таким образом:

Н ^± Е и еа5± —[V

Например, если найденовыражение для вектора Е и постоян­ ные интегрирования определены из условия, что тангенциальная составляющая этого вектора равна нулю на некоторой граничной поверхности, то выполнив в этом выражении перестановку, полу­ чим решение для вектора Н, тангенциальная составляющая кото­ рого на отмеченной поверхности также равна нулю.

В общем -случае в результате перестановки получаем решение электродинамической задачи, для которой граничные условия нахо­ дят путем выполнения той же перестановки.

Принцип перестановочной двойственности, впервые сформули­ рованный советским ученым А. А. Пистолькорсдм, можно распрост­ ранить и на случай наличия в рассматриваемой области сторонних источников. При- это-м в уравнения должны быть введены и сторон­

114

Смотрите также файлы