Файл: Красюк Н.П. Электродинамика и распространение радиоволн учеб. пособие.pdf

При монохроматических колебаниях принцип перестановочной двойственности может быть распространен и на проводящую сре­ ду. При этом перестановка выполняется по схеме:

Чтобы рассматриваемый принцип применить для проводящей среды при немонохроматических колебаниях, необходимо ввести понятие о магнитной проводимости. При этом симметричная систе­ ма уравнений будет такой:

Для наиболее общей системы уравнений (5.6) схема перестанов­ ки имеет вид

Теорема взаимности

В основе теоремы взаимности лежит лемма Лоренца, которая устанавливает связь между сторонними токами в двух различных точках пространства и электромагнитными полями, возбужденны­ ми этими токами.

Пусть в линейной изотропной среде с параметрами ра, еа и уэ имеются две системы источников, одна из которых представляется

115

плотностью тока §эі, распределенного в объеме ДЕі (рис. 5.2),

другая — плотностью тока 5э2, распределенного в объеме ДЕ2. Первая система источников создает в каждой точке простран­

ства поле Еі, Нь вторая система — поле È2, Н2.

В силу независимости источников дифференциальные урав­

Для вывода леммы Лоренца умножим скалярно приведенные уравнения первой системы соответственно на векторы Е2, Н2, а

второй системы на векторы Éj, Нь После умножения вычтем из первого уравнения четвертое, а из третьего уравнения — второе. Тогда получим

Если каждая система сторонних токов локализована в ограни­ ченных объемах ДЕі » ДЕ2, то, распространяя границы интегриро­

вания на бесконечность и учитывая, что произведение ÉH в реаль­ ной среде (уэ=7^ 0) уменьшается с расстоянием быстрее чем 1/г2, получим, что в пределе интеграл по поверхности S, стоящий в левой части выражения (5.8а), будет равен нулю. При этом интеграл в правой части разбивается на два независимых интеграла по объ­ емам, где расположены источники, т. е.

Соотношение (5.9) является леммой Лоренца для бесконечно большого объема и представляет . собой математическую запись теоремы взаимности.

116

Аналогично можно показать, что при наличии источников маг­ нитного типа теорема, взаимности запишется в виде

Сущность теоремы взаимности наглядно можно пояснить на примере радиопередачи между двумя антеннами. Пусть в объемах ДК! и ДѴ2 находятся две антенны, представляющие собой два пря­ молинейных проводника (рис. 5.3):

Д І / j — Zj A S j И Д И 2—-

Положим, что в данный момент времени в каждом проводнике сторонний ток по его длине имеет одинаковую плотность. Тогда для первой антенны в соответствии с левой частью выражения (5.9) можно напи­ сать

где 11 — сторонний ток в первой антенне; Э 2\— э. д. с., наведенная

полем тока І Г в первой антенне.

Для второй антенны аналогично находим

f & ld V = I ? 3 n.

дѴ2

В соответствии с теоремой взаимности имеем

Из (5.96) следует, что отношение тока первой антенны к о*бусловленной им э. д. с. второй антенны равно отношению тока второй антенны к обусловленной им э. д. с. первой антенны. Следователь­ но, независимо от свойств промежуточного пространства между антеннами (лишь бы оно не содержало нелинейных и анизотроп­

117

/ст, обусловливает появление в приемной антенне той же э. д. с. Э, которую в передающей антенне вызвал бы аналогичный по величи­ не ток приемной антенны. Следовательно, процесс прием— переда­ ча не изменяется от взаимной замены передающей и приемной антенн.

Вопросы для самопроверки

1.В чем сущность принципа суперпозиции решений уравнений электромагнит­ ного поля?

2.Сформулируйте принцип перестановочной двойственности уравнений элект­

ромагнитного поля.

3.Поясните физический смысл теоремы взаимности.

§5.4. Д В А К Л АССА Н ЕЗАВИ СИ М Ы Х РЕШ ЕН И Й У РАВ Н Е Н И Й

МА К СВ ЕЛ Л А

Вобщем случае уравнения электромагнитного поля являются неоднородными [см. (2.25), (2.26), (5.6)]. Решение каждого такого уравнения состоит из решения однородного уравнения (известные члены правой части, характеризующие источники поля, равны нулю) и частного решения неоднородного уравнения. В силу этого при нахождении общего решения системы уравнений электромаг­ нитного поля можно независимо решать две самостоятельные груп­ пы уравнений, составленных из полной симметричной системы

(5.6) следующим образом: в первой труппе 'сохраняются только источники поля электрического типа (первое и третье уравнения — неоднородные, второе и четвертое — однородные), а во второй группе— только источники магнитного типа (первое и третье урав­ нения— однородные, второе и четвертое — неоднородные).

Запишем эти две группы уравнений (без введения величины ум, которая весьма редко используется даже в специальных приложе­ ниях) .

118