Файл: Красюк Н.П. Электродинамика и распространение радиоволн учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 243
Скачиваний: 9
Вторая группа:
Немонохроматические процессы rot Н — ея дЕdt —•ѴэЕ = 0
rotE -f р. |
dH |
5СТ |
dt |
(5.11) |
|
div Е = 0 , |
|
divH = — р".
Ра
Монохроматические процессы
rot Н — ушеаЕ = 0,
rot É4умр. Н = |
— " . |
||
^ |
|
а |
8 |
|
• (5.11а) |
||
div Ё = |
0 |
, |
|
div Н = — Рмт. |
) |
||
|
Н-а |
|
После решения первой (Еэ, Нэ) и второй (Ем, Нм) систем урав нений полученные результаты на основании принципа суперпози ции необходимо сложить, чтобы найти общее решение задачи:
Е = Е Э+ Е М, Н = НЭ+ НМ. |
(5.12) |
Чтобы решить системы дифференциальных уравнений поля (5.10), (5.10а), (5.11), (5.11а), необходимо привести их к волновым уравнениям относительно векторов поля или дополнительно вводи мых потенциальных функций. Приведение уравнений первой груп пы к волновым уравнениям подробно рассмотрено в главе 3. Вол новые же уравнения для векторов поля, соответствующие второй группе уравнений, легко найти из волновых уравнений первой груп пы, пользуясь принципом перестановочной двойственности.
Тогда на основании |
(3.1), (3.3) и |
схемы |
перестановки |
(5.7) |
будем иметь |
|||
(при уэ= Ум =0) |
V EM—fcäea |
d2E M —rotSM, |
|
|
|
|||
|
2 |
dß |
|
|
|
ÖS” |
|
|
V H M—Р-аЕа am,. |
grad р» |
+ |
а |
|
(5.13) |
|||
На |
|
|
|
|||||
2 |
dß |
|
|
|
|
dt |
|
|
Магнитный векторный потенциал вводится на |
основании |
того, |
что div D = 0. |
|||||
D m = |
— rot A „ или Ем = |
— — |
rot А м. |
|
(5.14) |
|||
|
|
|
|
Ea |
|
|
|
|
Произведя операции над второй группой уравнений, подобные операциям, выполненным в главе 3 над первой группой уравнений, или пользуясь свойством
перестановочной двойственности, |
получаем |
(при уэ = Ум= 0) |
(5.15) |
|||
Нм = |
- g r a d t f * - - ^ - , |
|||||
Ѵ А М — ЕаР-а |
d AM |
= — EaS? |
|
|||
2 |
|
|
2 |
|
(5.16) |
|
ЕаИ-а |
dß |
CT |
||||
|
||||||
Ѵ2,Гм — |
Ш и |
|||||
|
dß |
PM |
|
119
(5.12) |
учетом соотношений |
(3.4), (3.5), |
(5.14) |
и |
|
поля через электродина |
|
С |
|
|
(5.15) на основании равенства |
||||
|
можно написать общие выражения для векторов |
|
|||||
мические потенциалы: |
|
и э — |
дАэ |
|
1 |
|
|
|
Е = |
— grad |
|
at |
|
|
|
|
|
—— — — rot Ам, |
|||||
|
|
|
|
|
|
еа |
|
|
Н = |
— grad U M— |
öРк |
+ |
1 |
rot Аэ . |
|
(5.17) |
||
Соотношениями |
dt |
— |
|
|||||||
|
U |
Ра |
|
|
р.а |
|
вводится в рассмотрение |
|||
магнитный вектор Герца |
|
|
dt |
|
|
|
|
|||
Гм |
называемый также магнитным |
|
волновое уравне |
|||||||
|
|
Гм, |
|
|
|
|
|
|
поляризационным по |
|
тенциалом. Тогда системе (5.16) будет эквивалентно следующее |
|
|||||||||
ние относительно вектора |
|
(уэ = 0): |
2 |
|
— J |
|
> |
|
|
|
|
|
Ѵ2Г м ЕаРа ' д Гы = |
1 |
|
(5.18) |
|||||
|
|
|
|
âß |
|
|
|
|
|
|
где J " определяется из уравнения (3.12): —— = — 8 " .
Как указывалось, магнитные потенциалы и магнитные источники целесооб разно вводить в случае сторонних источников в виде замкнутых контурных токов.
Тогда можно показать, что J ” и 8'т связаны с контурными электрическими
токами 5 " , вместо которых они вводятся, соотношениями
rot J " |
= |
M " , |
rot 8” |
= |
— ра ' dt |
|
|
|
||||||
Введем в выражения (5.14) и (5.15) вектор Гм. Тогда напряженности поля |
||||||||||||||
будут определяться соотношениями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Е м — — |
dt, |
rot Г м, |
|
|
|
|
|
(5.19) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
н |
|
1 |
ал - |
г |
|
|
|
д2Гы |
|
|
(5.20) |
||
|
Н м = |
— grad div Г м — еа ■ |
|
dß |
|
|
||||||||
Вне источников ( j J T==0), |
Ра |
|
|
(5.18), |
находим |
|
|
|||||||
пользуясь |
|
|
||||||||||||
grad div Г м — rot rot Г„ |
|
ЕаРа |
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
д Г„ |
|
0 |
|
||||||||||
— grad div Г ы |
|
<?ГМ = |
|
— |
|
dß ■ = |
|
|||||||
|
|
rot rot Г м. |
|
|||||||||||
Pa |
|
|
|
|
2 |
|
|
Pa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d ß |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставляя последнее выражение в (5.20), получаем |
|
|
|
|||||||||||
|
|
Нм = |
— |
rot rot Гм. |
|
|
входящего |
(5.20а) |
||||||
Для раскрытия физического смысла |
вектора |
J ” |
, |
в правую часть |
||||||||||
уравнения для вектора |
|
введем |
Ра |
|
|
|
|
вектор |
||||||
Гм, |
в |
формулу |
(1.9) |
намагниченности |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J cr. создаваемый сторонними токами:
B = p 0(H + J + J CT).
120
|
Теперь |
|
вектор J будет определяться через векторы Н и JCT = H CT: |
||||||||||||||
|
Следовательно, |
|
|
|
|
J = |
(Н + |
J CT) |
|
|
|
|
|
||||
|
Введем |
выражение для |
В |
|
В = раН + |
|
|*aJ CT. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
во второе уравнение Максвелла. |
діст |
|||||||||||||
|
|
|
|
(Ш |
|
|
|
d JCT |
ИЛИ |
|
|
|
ÖH |
|
|
|
|
|
rot Е = — На ~Т7~ — 9а |
dt |
|
rot Е + На —— = |
|
dt |
|||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|||
|
Подставим выражения Е = Е М и Н = Н М из (5.19) |
и (5.20): |
|
||||||||||||||
|
— — |
rot rot Г м + |
— |
graddiv Г м — — |
еар.а |
^ |
|
= |
— — |
(p.aJ CT) |
|||||||
или |
dt |
|
|
|
dt |
s |
|
^ Г м |
dt |
at^ |
dt2 |
|
dt |
; |
|||
|
|
|
|
|
|
9 Г |
|
|
|
,CT |
“ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
^2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнивая это |
уравнение с |
|
находим, что |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Ѵ ГМ(5.18), |
|
|
'— |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
p.aJ CT = J J T |
или J CT = |
J " |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
-------. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9а |
|
|
|
|
|
Тогда уравнение связи со сторонними токами запишется так:
rot [i.ajCT = Р-а8" или rot J cr = 8 " ,
т. e. получаем обычное дифференциальное уравнение, связывающее стороннюю напряженность магнитного поля в среде с плотностью стороннего тока. При этом HaJCT представляет собой объемную плотность магнитного момента сторонних
токов:
Г |
|
2Рі’ |
\ J f V V = Ц а В Д = S P " или М ст = П.п |
— - , |
|
J |
ЛѴ^О |
Аі/ |
где in — ток в п - и |
контуре, S n — площадь «-го контура. |
|
На основании (3.13), (3.14), (5.19) и (5.20а) получаем выражения для век
торов полного поля через векторы Герца электрического и магнитного типов
(Ѵэ=0):
Е = — |
rotrot Г э — — rot Г м, |
еа |
dt |
(5.21)
д1
Н— — rot Г э + — rot rot Г м. ut [Ха
Из рассмотрения следует, что при наличии источников поля обоих типов векторы поля Е и Н могут быть найдены как функции составляющих векторов Герца электрического (например, в декартовой системе координат) Гэ*, Тзу, F3Z
и магнитного Г м*, Г м„, Г Мг типов.
В однородной среде при отсутствии сторонних токов электромагнитное поле можно выразить через вектор Герца электрического или магнитного типа, т. е.
121
через три составляющие вектора Герца любого типа, например:
|
|
Е (-г) = |
— |
rot rot (ГЭЛ.х0), Е (г/) = — rot rot (Гэг/у 0), |
||
|
|
|
|
Еа |
|
Еа |
|
|
|
|
|
|
Е (г) = — rotrot (Гэгг 0) . |
Здесь векторы Е ^ , |
Е ^ |
, |
еа |
|||
Е ^ не являются составляющими векторов соответст |
||||||
венно по осям |
X , у, z, |
а имеют в общем случае все три составляющие. Индексы |
||||
X, у, z |
при Е показывают, |
из какой составляющей вектора Гэ получают частное |
||||
|
решение для поля вектора Е.
Можно показать, что из приведенных трех систем уравнений, определяющих частные решения поля, независимыми остаются только две. Следовательно, в однородной изотропной среде в области, где отсутствуют сторонние токи, векто ры поля Е и Н в общем случае могут быть найдены через любые две составляю щие вектора Гэ (либо Г м) по ортогональным координатным осям, т. е. через две скалярные функции.
В прямоугольной декартовой системе координат вместо (3.11) (без правой
части, Р ст = 0) получим |
два независимых скалярных волновых уравнения |
(в каж |
дое из которых входит |
только одна проекция вектора Гэ), так как для этой си |
|
стемы координат справедливо соотношение |
(а) |
|
(Ѵ2Г э)д- = gradedіѵ Г э — rot^rot Г э = у2ГЭд> |
Тогда в каждое скалярное уравнение, получаемое из однородного векторного уравнения (3.11), будет входить только одна проекция вектора Герца. Так, на пример, для проекции на ось у будем иметь
(fl |
drэу |
|
Г,,?; |
(5.22) |
|
Ѵ2Гэі/ - в ара — ^ |
_ Тэ[ла — f ^ = 0 . |
|
ot* |
ot |
|
Часто приходится решать задачи в обобщенной цилиндрической системе координат, в которой одна из осей (г) является прямолинейной и две остальные координаты (а, ß) криволинейны. Частным случаем этих координат являются обычные цилиндрические координаты (г, р, <р).
Независимым уравнением будет уравнение для проекциифвектора Гэ на пря |
|||
молинейную ось г (т. е. для Г « ). |
Проекция же вектора Ѵ 2Г эна криволинейную |
||
ось не удовлетворяет соотношению |
вида (а), т. е. (Ѵ 2ГЭ) а |
Ѵ 1Га a. |
В выраже |
ние (V 2 Г э)я будет входить проекция вектора как на данную ось координат, так |
|||
и на другие криволинейные координаты (см. приложение III) . |
Поэтому получае |
||
мые при этом скалярные уравнения являются зависимыми. |
|
|
|
Так, например, в выражение для проекции однородного векторного уравне |
|||
ния (3.11) на ось ф обычной цилиндрической системы координат |
|
(_д2 |
|
J _ |
2 |
|
(fl |
\ |
^ |
+ |
|
|
|
[ |
_ |
|
_Ö _ |
+ dz2 |
|
|
|||||
|
dp2 |
+ |
р2 |
' d<p2 |
|
|
) |
|
|
|
|
Р / |
|
Р2 |
|
д<? |
Eaf4 |
d2T |
|
7эра " |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
dt2 |
|
ар = |
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
входит наряду с проекцией вектора на эту ось (Гэ^ ) также проекция вектора на ось р(Гэ р).
Из изложенного следует, что в координатной системе, у которой все три оси
криволинейны, в общем случае все три скалярных |
уравнения |
являются зави |
|||||
симыми. |
получить |
и для цилиндрической системы |
координат |
оба волновых |
|||
Чтобы |
|||||||
скалярных |
уравнения |
независимыми, |
возьмем одну |
составляющую (Гі) вектора |
|||
Герца по оси |
z |
(т. е. |
Г г= Г : = r iz 0), |
а вторую составляющую направим перпен- |
|||
|
122
дикулярно к оси 2 и возьмем ее в виде ротора вектора Т2г^ направленного по оси г:
Гг = rot (r2z0),
где Г2 — соответствующая функция координат и времени. Тогда
Гэ = Г х + Г 2 = TjZq + rot (Г2г0) и Е = Е 1 + Е 2 і Н = Hi + Н2,
где Е] и Hi определяются вектором Г ь а Е2 и Н2 — вектором Г 2.
Очевидно, |
что Е! и Н! находят по (3.13), (3.14), принимая Р ст = 0 и заменяя |
Гэ на Г1= Гг0 |
(уэ= 0 ): |
Е х = — rotrot
Еа
( T xZ q) и H x |
dt rot ( T x z 0) . |
(5.23) |
Из выражений (5.23) следует, что вектор напряженности магнитного поля Й!
не имеетксоставляющей по оси z, так как |
он определяется |
через ротор вектора, |
|||||||||
направленного параллельно этой оси (Гіг0). Таким образом, вектор Н[ перпенди |
|||||||||||
кулярен |
оси |
Z. |
выражениями (3.14) |
и |
(3.13) |
и |
введя |
обозначения |
|||
Воспользовавшись 2 |
|||||||||||
ді |
ь ))г 2= - Ь |
. |
получим, что |
при |
условии |
Р ст = 0 векторы поля Е2 |
|||||
|
£а |
|
р.а |
|
|
|
|
|
|
если в них положить |
|
и Н2 определяются с помощью выражений (5.19) и (5.20,а), |
|||||||||||
Гм = |
Г2г0. |
При этом вектор Е2 будет перпендикулярен к |
оси z, тогда |
как вектор |
|||||||
Н2 может иметь все три составляющие. |
Гх и Г 2 |
удовлетворяют одному и том^ |
|||||||||
Необходимо отметить, |
что векторы |
же скалярному однородному уравнению вида (5.22).
Таким образом, в случае цилиндрической системы координат в области одно родной изотропной среды, где отсутствуют сторонние токи, полное поле можно найти как сумму двух полей, определяемых векторами Герца электрического и магнитного типов, направленных параллельно оси z системы координат.
Отметим, что в сферической системе координат поле можно найти путем вве дения соответствующих векторов Герца, направленных по радиусу г.
§ 5.5. РЕШ ЕН И Е Н Е О Д Н О РО Д Н О ГО ВО Л Н О ВО ГО УРАВН ЕН ИЯ Д Л Я ПОЛЯ В Н ЕО ГРА Н Й Ч ЕН Н О И О Д Н О РО Д Н О Й СРЕ Д Е
Вое три вида рассматриваемых уравнений [(3.1) и (3.3), (3.7) и (3.8), (3.11)], а также соответствующие уравнения при наличии ис точников ма-гнитного типа (см. § 5.4) представляют собой один и тот же тип неоднородных волновых уравнений, который для век торных величин в общем виде может быть записан следующим 0,6- разом:
Ѵ2С — еар.а |
д2С |
дС |
(5.24) |
дР |
dt |
||
или в комплексной форме: |
|
£2С = - ш , |
(5.25) |
Ѵ2С + |
где С (или С) — один из векторов поля (Е, Н или Е, Н ), или вектор ных потенциалов (А, Г или А, Г); m (или т ) — заданная векторная функция координат, определяемая источниками поля (о , р )•
123